27.1.2.2 垂径定理及其推论-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

(共26张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第27章　圆
27.1.2.2 垂径定理及其推论
通过之前的学习我们知道了：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
O
怎样证明圆是轴对称图形呢？
27.1.2.2 垂径定理及其推论 教学过程
幻灯片1：情境激趣，提出问题（5分钟）
生活情境：展示一张破损的圆形古钱币图片，提问：“考古学家发现一枚破损的圆形古币，只残留一部分圆弧，如何根据这部分残片确定古币的圆心和半径，从而复原古币？”
旧知衔接：回顾上节课内容——圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。今天我们将利用圆的对称性，探究一条特殊的直线（垂直于弦的直径）与弦及弧之间的关系，解决这类实际问题。
设计意图：以考古复原古币的实际问题激发学生兴趣，通过圆的对称性铺垫，自然引出本节课探究的核心——垂直于弦的直径的性质。
幻灯片2：动手实验，探究性质（10分钟）
实验准备：每位同学准备一张圆形纸片（标注圆心O）、直尺、圆规、铅笔，完成以下操作：
1. 在⊙O中任意画一条弦AB，用圆规画出AB的中点M；
2. 过点M画直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，标记CD与AB的交点M，以及CD与⊙O的交点C、D；
3. 将圆形纸片沿直径CD对折，观察弦AB被对折后的两部分是否重合，弧AC与弧BC、弧AD与弧BD是否重合。
小组讨论：对折后你发现了哪些等量关系？垂直于弦的直径CD对弦AB和所对的弧分别产生了什么影响？
实验结论：对折后弦AB的两部分完全重合，弧AC与弧BC、弧AD与弧BD也完全重合，说明CD平分AB，平分⌒AB和⌒ADB。
幻灯片3：推理论证，得出定理（15分钟）
定理推导：结合实验现象，用几何推理证明结论：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。
证明过程：
1. 连接OA、OB，∵OA＝OB（圆的半径相等），∴△OAB是等腰三角形；
2. ∵CD⊥AB，根据等腰三角形“三线合一”性质，AE＝BE；
3. ∵CD是直径，且CD⊥AB，将△OAB沿CD对折，点A与点B重合，故⌒AC与⌒BC重合，⌒AD与⌒BD重合；
4. ∴⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
定理解读：定理的条件包含两个核心要素——“直径”和“垂直于弦”，结论包含三个要素——“平分弦”“平分弦所对的优弧”“平分弦所对的劣弧”，可简化记忆为“知二推三”。
符号表示：在⊙O中，若CD是直径，CD⊥AB于E，则AE＝BE，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。
幻灯片4：探究推论，拓展延伸（15分钟）
反向思考：若将垂径定理的条件和结论互换，比如“直径平分弦（不是直径）”，那么这条直径是否垂直于弦且平分弦所对的弧？
推论推导：已知在⊙O中，CD是直径，AB是弦（非直径），CD平分AB于E，求证：CD⊥AB，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。（学生模仿定理证明过程，自主推导，教师引导）
核心推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
易错强调：推论中“弦不是直径”是重要前提，若弦是直径，平分直径的直径不一定垂直于该弦（如两条互相平分的直径，夹角可任意）。
推论拓展：师生共同梳理，得出其他等价表述：
1. 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；
2. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
方法总结：垂径定理及其推论的本质是利用圆的对称性，核心是“圆心到弦的距离”“半径”“弦长的一半”构成直角三角形，为后续计算奠定基础。
幻灯片5：典例解析，掌握应用（15分钟）
例题1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解题步骤：
1. 过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理，OC平分AB，故AC＝AB/2＝4cm；
2. 在Rt△OAC中，OC＝3cm（圆心到弦的距离），AC＝4cm，OA为半径r；
3. 由勾股定理得OA ＝AC ＋OC →r ＝4 ＋3 ＝25→r＝5cm；
4. 答：⊙O的半径为5cm。
例题2：解决开篇问题——如何根据圆形残片确定圆心和半径？
解决方案：
1. 在残片的圆弧上任意取三点A、B、C；
2. 连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；
3. 连接OA（或OB、OC），OA的长度即为圆的半径。
方法提炼：涉及弦长、半径、圆心到弦的距离的计算，常通过“作垂线构直角三角形”，利用垂径定理和勾股定理求解，即“弦长一半 ＋圆心距 ＝半径 ”。
幻灯片6：变式练习，巩固提升（10分钟）
基础练习：在⊙O中，直径CD＝10cm，弦AB⊥CD于E，若OE＝3cm，求弦AB的长。（答案：8cm）
易错辨析：判断下列说法是否正确：
1. 垂直于弦的直线平分弦所对的弧；（错误，需“直线过圆心”）
2. 平分弦的直径垂直于弦；（错误，弦需“不是直径”）
3. 弦的垂直平分线必过圆心。（正确，符合推论）
提升练习：在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，若AE＝BE，且∠CEB＝90°，CD＝10cm，求圆心O到AB的距离。（提示：连接OA、OB，利用垂径定理，答案：5cm）
幻灯片7：课堂总结，布置作业（5分钟）
核心回顾：
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧（知二推三）；
2. 关键推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦及弧；
3. 核心方法：作垂线构造直角三角形，用勾股定理计算弦长、半径等。
作业布置：
1. 基础题：①教材习题，已知⊙O半径为5cm，弦AB＝6cm，求圆心O到AB的距离；②用直尺和圆规作一个圆，使它经过已知三点（非共线），并说明理由；
2. 提升题：在⊙O中，弦AB＝10cm，CD是直径，CD⊥AB于E，若DE＝2cm，求⊙O的半径；
3. 拓展题：收集生活中应用垂径定理的实例，如管道检修、隧道设计等，简要说明原理。
新课探究
在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB , 垂足为点 P , 再将纸片沿着直径 CD 对折, 你发现了什么？
对折后 , AP与 BP、
与 分别重合，即它们都是相等的.
如何来证明呢？
A
P
B
D
C
O
（A）
求证：AP = BP , = , = .
已知：AB是⊙O的一条弦 , CD为直径 , CD⊥AB.
A
P
B
D
C
O
证明
连结 CA、CB、OA、OB , 则 OA = OB , 即△AOB是等腰三角形.
∵ CD⊥AB ,
∴ AP = BP .
又∵ CP = CP ,
∴ Rt△APC ≌ Rt△BPC ,
∴ AC = BC .
∴ =
（在同一个圆中,如果弦相等,
那么它们所对的弧相等）.
由此易得 =
A
P
B
D
C
O
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
由上面的证明可知，如果⊙O的直径 CD 垂直于弦 AB , 垂足为 P ,那么点 A 、B 是关于 CD 所在直线的对称点，则AP =BP . 把⊙O沿 CD对折时， 与 重合，即 = .
A
P
B
D
C
O
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 , 并且平分这条弦所对的两条弧;
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
不是直径
为什么强调这里的弦不是直径？
N
O
A
B
M
C
D
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形。
a
d
r
A
P
B
D
O
C
b
a + b = r
在a，b，r，d中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
返回
1. 下列说法正确的是(　　)
A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 垂直于直径的弦平分这条直径
D. 过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧
D
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2. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D. 若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
B
3. [2025咸阳模拟]如图，这是一扇拱形门的示意图，BC为门框底，∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2 m，门框顶部是一段圆心角为90°的圆弧，
【点拨】如图，连结AD，设圆弧的圆心是O，连结OE交AD于点H，连结OA，OD，则OE⊥AD，AH＝DH. 易知AD＝2 m，
【答案】B
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4. AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的直径为10，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________.
1或7
【点拨】如图所示，连结OA，OC. 过点O作直线EF⊥AB于E，交CD于F. ∵AB∥CD，∴EF⊥CD. ∵⊙O的直径为10，∴OA＝OC＝5. ∵OE⊥AB，OF⊥CD，
如图①，当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF－OE＝1；如图②，当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7. 综上，AB与CD之间的距离为1或7.
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5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为________.
(2，6)
【点拨】 ∵四边形OCDB是平行四边形，B(16，0)，∴CD∥OA，CD＝OB＝16. 如图，过点C作CE⊥OA于点E. 过点M作MF⊥CD于点F，
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6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F(点E在点F的左侧).
(1)当⊙C经过点A时，求CP的长；
(2)连结AP，CE，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. 当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形. 又∵CP＝CE，∴四边形APCE是菱形，∴PA＝CP. 设PA＝CP＝x，则PH＝4－x. 在Rt△APH中，由勾股定理得AH2＋PH2＝PA2，即32＋(4－x)2＝x2，
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课堂小结
CD是直径，
AB是弦，
CD⊥AB
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
垂径定理
D
O
A
B
P
C
∟
AP ＝ BP
＝
＝
五个条件中的任意2个条件都可以推出其他3个结论。
谢谢观看！