27.1.3圆周角-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

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2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第27章　圆
27.1.3圆周角
探究1：圆周角的概念
观察∠ACB、 ∠ADB、 ∠AEB，这样的角有什么特点？
C
A
O
B
D
E
讨论：点C，D，E在什么位置？
∠ACB、 ∠ADB、 ∠AEB的顶点都在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角.
（1）
（2）
（3）
（4）
找一找下面哪些是圆周角？
圆周角的顶点在圆上,它的两边与圆相交.
圆周角与其他角的区别
27.1.3 圆周角 教学过程
幻灯片1：情境对比，引入新课（5分钟）
旧知回顾：上节课我们学习了圆心角，谁能说说什么是圆心角？它有什么性质？（学生回答：顶点在圆心的角是圆心角，同圆或等圆中，等圆心角对等弧、等弦）
情境展示：播放足球比赛片段，球门两侧的球员（点A、点C）观察球门中央的球（点B），形成的角∠BAC和∠BCA与圆心O形成的∠BOC有什么不同？
师问1：这些角的顶点不在圆心，而在圆上，这样的角是什么角？它与圆心角之间存在怎样的关系？今天我们就来探究圆周角的定义和性质。
设计意图：以足球比赛为生活化情境，通过与圆心角的对比，建立新旧知识的关联，激发学生对“顶点在圆上的角”的探究兴趣。
幻灯片2：定义辨析，明确概念（10分钟）
自主观察：展示下列图形，引导学生判断哪些角是圆周角，并总结共同特征：
1. 图形1：顶点在圆上，两边都与圆相交；
2. 图形2：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边在圆内；
3. 图形3：顶点在圆内，两边与圆相交；
4. 图形4：顶点在圆上，两边都与圆相切。
圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
定义关键词：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，二者缺一不可。
即时辨析：判断下列说法是否正确：
1. 顶点在圆上的角一定是圆周角；（错误，需两边与圆相交）
2. 圆周角的两边一定经过圆上的两个点；（正确，两边与圆相交，交点为圆上点）
3. 圆心角是特殊的圆周角。（错误，圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上）
图形标注：在⊙O中画出圆周角∠BAC，标注顶点A（圆上）、两边AB和AC（分别交圆于B、C），明确圆周角的构成要素。
幻灯片3：实验探究，推导圆周角定理（15分钟）
实验准备：每位同学准备一张圆形纸片（标注圆心O）、量角器，完成以下操作：
1. 在⊙O中任意画一条弧BC，在弧BC所对的圆上取点A，画出圆周角∠BAC；
2. 画出弧BC所对的圆心角∠BOC；
3. 用量角器测量∠BAC和∠BOC的度数，记录数据；
4. 在弧BC所对的圆上再取不同的点A 、A ，画出圆周角∠BA C、∠BA C，测量度数并记录。
小组交流：观察测量数据，你发现圆周角与它所对的圆心角之间有什么关系？同一弧所对的不同圆周角之间有什么关系？
猜想结论：同一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同一弧所对的圆周角相等。
定理证明：教师引导学生分三种情况证明（圆心在圆周角的一边上、内部、外部），以圆心在一边上为例：
1. 已知：在⊙O中，∠BAC是圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，圆心O在AB上。
2. 求证：∠BAC＝1/2∠BOC。
3. 证明：∵OA＝OC（半径相等），∴∠C＝∠BAC；∵∠BOC是△AOC的外角，∴∠BOC＝∠BAC＋∠C＝2∠BAC，故∠BAC＝1/2∠BOC。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
幻灯片4：探究推论，拓展应用（15分钟）
推论1推导：由圆周角定理，同一弧所对的圆周角都等于该弧所对圆心角的一半，可得：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2探究：画出直径AB所对的圆周角∠ACB，测量其度数，思考：直径所对的圆周角有什么特点？
推论2结论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
证明：∵AB是直径，∴∠AOB＝180°；∠ACB是弧AB所对的圆周角，∴∠ACB＝1/2∠AOB＝90°，故直径所对的圆周角是直角。
生活应用：展示“测径器”图片，说明工人师傅利用“90°的圆周角所对的弦是直径”的原理，测量圆形工件的直径。
推论3：圆内接四边形的对角互补（简要介绍圆内接四边形定义，为后续学习铺垫）。
易错强调：“同弧或等弧”是推论1成立的前提，若不是同弧或等弧，即使在同圆或等圆中，圆周角也不一定相等。
幻灯片5：典例解析，巩固方法（15分钟）
例题1：如图，在⊙O中，弧AB＝弧CD，∠AOB＝60°，求∠ACB的度数。
解题步骤：
1. ∵弧AB＝弧CD，∴∠AOB＝∠COD＝60°（等弧对等圆心角）；
2. ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角；
3. 根据圆周角定理，∠ACB＝1/2∠AOB＝30°。
例题2：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，求∠ABC和∠BOC的度数。
解题步骤：
1. ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）；
2. 在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°；
3. ∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°。
方法总结：解决圆周角问题时，关键是找准“圆周角所对的弧”和“该弧所对的圆心角”，利用定理实现角度之间的转化，若有直径，优先考虑“直径所对的圆周角是直角”。
幻灯片6：变式练习，强化提升（10分钟）
基础练习：在⊙O中，弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是多少度？（答案：50°）
易错辨析：判断下列说法是否正确：
1. 同圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等；（正确，推论1逆用）
2. 90°的角所对的弦是直径；（错误，需是圆周角）
3. 同圆中，圆周角是圆心角的一半。（错误，需同弧所对）
提升练习：如图，⊙O中，∠A＝∠B，求证：弧AC＝弧BD。（提示：利用“等圆周角对等弧”证明）
幻灯片7：课堂总结，布置作业（5分钟）
核心回顾：
1. 圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交；
2. 核心定理：同弧所对的圆周角＝1/2同弧所对的圆心角；
3. 关键推论：同弧或等弧对等圆周角；直径对直角，直角对直径；
4. 核心思想：转化思想，将圆周角转化为圆心角解决问题。
作业布置：
1. 基础题：①教材习题，已知⊙O中，∠AOB＝120°，求弧AB所对的圆周角；②利用“直径所对的圆周角是直角”，用直尺和圆规作一个直角；
2. 提升题：在⊙O中，AB是直径，点C、D在圆上，∠BCD＝130°，求∠ABD的度数；
3. 拓展题：观察生活中利用圆周角性质的实例，如自行车支架、三角尺测直径等，记录并说明原理。
探究2：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
线段AB是⊙O的直径 ，点C是⊙O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB 就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎样的角？
A
B
C
O
？
A
B
C
O
？
我们可以看到，OA = OB = OC , 所以△AOC、△BOC 都是等腰三角形，因而
∠OAC = ∠OCA , ∠OBC = ∠OCB
又因为
∠OAC + ∠OBC + ∠ACB = 180°
所以

A
B
C
O
？
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B外），∠ACB总等于90°，即：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
对于一般的弧所对的圆周角,又有什么规律呢
探究3：圆周角定理
D
B
C
O
A
∠ADB ∠ACB
=
C′
量一量：
变动点C在圆周上的位置，你发现其中有什么规律吗
可以发现圆周角的度数没有变化
D
B
C
O
A
∠ACB ∠AOB
量一量：
=

我们发现圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
怎样证明这些结论呢？
在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？
共有三种情况：（1）圆心在圆周角的一边上; （2）圆心在圆周角的内部; （3）圆心在圆周角的外部.
C
A
O
B
C
A
O
B
D
1
2
C
A
O
B
1
2
（1）
（2）
（3）
分别就这三种情况证明这一猜想.
已知：在⊙O的一条弦 , 所对的圆周角是∠ACB，
所对的圆心角是∠AOB.
求证：∠ACB = ∠AOB.

C
A
O
B
C
A
O
B
D
1
2
C
A
O
B
1
2
（1）
（2）
（3）
C
A
O
B
证明
（1）圆心在∠ACB的边CB上.
∵ OA = OC，
∴ ∠OAC = ∠ACB ，
∵ ∠AOB 是△OAC的外角，
∴ ∠AOB = ∠ACB +∠OAC = 2∠ACB ，
∴ ∠ACB = ∠AOB .

C
A
O
B
D
1
2
（3）圆心在∠ACB的外部.
作直径CD.
∴ ∠1 = ∠AOD ，
∴ ∠ACB = ∠1－∠2= （∠AOD －∠BOD）
C
A
O
B
1
2
D

∠2 = ∠BOD ，


= ∠AOB .

由此我们可以得到：
圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等.
探究4：外接圆、内接多边形
由圆周角定理，可以得到以下推论:
推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.
推论2：圆内接四边形的对角互补.
如右图 ∠BAD + ∠BCD = 180°
∠ABC + ∠ADC = 180°
A
B
C
D
60°
x
B
A
C
E
F
D
20°
x
30°
（1）
（2）
解
（1）∵同弧对的圆周角相等，
∴∠ x = 60°.
解
（2）连接BF，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ABF = ∠D = 20°，
∠FBC = ∠E = 30°，
∴∠ x = ∠ABF + ∠FBC= 50°.
B
A
C
E
F
D
20°
x
30°
（2）
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1. 下列四个选项中，∠x是圆周角的是(　　)
C
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B
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3. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器(　　)
A. 2台 B. 3台
C. 4台 D. 5台
C
【答案】A
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5. 如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°.
90
6. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为________.
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(1)【证明】∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB＋2∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠AOC＝180°，∴OC∥AD.
(2)【解】如图，连结BD，交OC于点E.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
∵OC∥AD，∴OC⊥BD，
∴点E为BD的中点.
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
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8. [2025临沂模拟]如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连结CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(　　)
A. 61° B. 63°
C. 65° D. 67°
【答案】B
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【答案】B
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顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
A
B
C
O
∟
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等.
推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
推论2：圆内接四边形的对角互补.
A
B
C
D
谢谢观看！