27.2.2 直线与圆的位置关系-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

(共30张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第27章　圆
27.2.2 直线与圆的位置关系
大家也许看过日出，如图所示的照片中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，和地平线会有怎样的位置关系？
探究新知
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，注意观察直线与圆的公共点的个数.
a(地平线)
27.2.2 直线与圆的位置关系 教学过程
幻灯片1：类比迁移，情境导入（5分钟）
旧知回顾：上节课我们学习了点与圆的位置关系，核心是通过什么判断的？（点到圆心的距离d与圆的半径r的数量关系）
生活情境：展示三组图片——①夕阳下，海平面与太阳的位置（太阳逐渐沉入海中，光线与海面从相离到相切再到相交）；②高速旋转的砂轮切割金属丝，火星的轨迹与砂轮边缘的位置；③直尺与自行车轮的位置（直尺靠近、接触、远离车轮）。
师问1：这些场景中，直线（海面、金属丝、直尺）与圆（太阳、砂轮、车轮）的位置有几种不同情况？能否类比点与圆的研究方法，探究直线与圆的位置关系？
设计意图：以类比思想衔接新旧知识，用生活化场景建立直观认知，激发探究直线与圆位置关系的兴趣。
幻灯片2：直观分类，明确位置关系（10分钟）
动手操作：请同学们在练习本上画一个半径为3cm的⊙O，再用直尺当作直线l，移动直尺，观察直线l与⊙O的交点情况，记录不同位置时的交点个数。
位置分类：结合操作结果，根据直线与圆的交点个数，总结三种位置关系：
1. 相离：直线与圆没有公共点，如图中直线l ，移动直尺时无交点；
2. 相切：直线与圆有唯一公共点（这个公共点叫做切点），如图中直线l ，移动中仅有一个交点；
3. 相交：直线与圆有两个公共点（这两个公共点叫做交点，直线叫做圆的割线），如图中直线l ，移动中有两个交点。
即时判断：观察教室中日光灯管（看作直线）与吊扇转盘（看作圆）的位置关系，说出属于哪一种；转动吊扇，观察位置关系的变化，体会动态中的三种情况。
幻灯片3：探究数量关系，推导判定定理（15分钟）
核心问题：类比点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系能否通过“数量关系”判定？这里的“数量关系”指什么？（直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系）
概念明确：直线到圆心的距离d——过圆心O作直线l的垂线段OA，垂线段的长度OA即为圆心O到直线l的距离d。
实验测量：针对刚才画出的三种位置关系，分别测量圆心到直线的距离d：
1. 相离（l ）：d＝4cm＞r＝3cm，无交点；
2. 相切（l ）：d＝3cm＝r＝3cm，唯一交点；
3. 相交（l ）：d＝2cm＜r＝3cm，两个交点。
判定定理：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
- 直线l与⊙O相离 d＞r；
- 直线l与⊙O相切 d＝r；
- 直线l与⊙O相交 d＜r。
性质对应：上述关系可逆，即由直线与圆的位置关系可推出d与r的数量关系，如直线与圆相切，则d＝r。
幻灯片4：聚焦相切，探究切线性质（15分钟）
问题探究：当直线l与⊙O相切于点A时，圆心O到直线l的距离OA（d＝r）与直线l有什么特殊位置关系？
实验操作：在相切的图形中，连接OA（半径），用量角器测量∠OAL的度数（L在直线l上），发现∠OAL＝90°。
切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
证明思路：反证法——假设切线l不垂直于过切点A的半径OA，过O作OB⊥l于B，则OB＜OA（垂线段最短），即d＜r，与相切时d＝r矛盾，故假设不成立，切线垂直于过切点的半径。
符号表示：若直线l是⊙O的切线，A为切点，则OA⊥l。
推论：过圆心且垂直于切线的直线必过切点；过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
即时应用：已知⊙O的切线l与半径OA垂直，OA＝5cm，求圆心O到直线l的距离（答案：5cm，因d＝r）。
幻灯片5：典例解析，巩固方法（15分钟）
例题1：已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝3cm、5cm、6cm，分别判断直线l与⊙O的位置关系，并说明直线l与⊙O的交点个数。
解答：①d＝3cm＜5cm，相交，2个交点；②d＝5cm＝5cm，相切，1个交点；③d＝6cm＞5cm，相离，0个交点。
例题2：如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，且∠A＝30°，求∠B的度数及OC与AB的位置关系。
解题步骤：
1. ∵直线l是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥l（切线性质）；
2. OA＝OC（半径相等），∴∠A＝∠ACO＝30°；
3. AB是直径，∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角）；
4. 在Rt△ABC中，∠B＝90°－30°＝60°；OC是半径，AB是直径，OC＝AB/2，且OC⊥l（与AB的位置关系需结合图形，若l平行于AB，则OC垂直AB）。
方法总结：判定位置关系紧扣d与r的大小；涉及切线问题，优先连接“圆心与切点”，利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形。
幻灯片6：实际应用，拓展提升（10分钟）
应用1：判断直线是否为切线：工人师傅要检验一个圆形工件的边缘是否为直线，已知工件半径为2cm，如何用刻度尺和直角三角板判断？（方法：过圆心作直线的垂线段，测量长度，若等于2cm则相切，边缘是直线切线）
应用2：台风影响范围：台风中心O位于某市A的正西方向，台风影响范围是半径为100km的圆形区域，一条东西向高速公路l经过A市，已知OA＝120km，求高速公路l与台风影响区域的位置关系；若台风向北移动，移动多少千米后，高速公路开始受影响？（提示：d＝120km＞100km，相离；移动距离为120－100＝20km）
即时练习：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，当r＝2.4cm时，判断AB与⊙C的位置关系（提示：先求C到AB的距离d＝2.4cm，d＝r，相切）。
幻灯片7：课堂总结，布置作业（5分钟）
核心回顾：
1. 三种位置关系：相离（d＞r，0交点）、相切（d＝r，1交点）、相交（d＜r，2交点）；
2. 切线核心性质：切线垂直于过切点的半径，推论可定位圆心或切点；
3. 核心思想：类比思想（类比点与圆）、数形结合（位置关系与数量关系转化）。
作业布置：
1. 基础题：①已知⊙O半径r＝6cm，圆心到直线l的距离d＝4cm，判断位置关系并求交点数；②画一个圆，作其切线，并证明切线与半径垂直；
2. 提升题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，以B为圆心，r为半径作圆，当r为何值时，⊙B与AC相切？
3. 拓展题：探究“如何过圆外一点作圆的切线”，记录尺规作图步骤。
a(地平线)
按直线与圆的公共点的个数可分为：
个公共点
个公共点
个公共点
0
1
2
现在你能总结出直线与圆的位置关系了吗？
0个公共点
1个公共点
2个公共点
直线与圆相离
直线与圆相切
切线
切点
直线与圆相交
交点
割线
判断直线和圆的位置关系
已知，直线与圆的位置关系有 种，分别是 、 、 .
三
相离
相切
相交
怎么判断直线和圆的位置关系呢？
从直线与圆公共点的个数可以判断出直线与圆的位置关系.
方法一：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，利用d与r之间的关系即可判断直线与圆的位置关系.
方法二：
归纳
判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
两
（1）根据定义，由__________________的个数来判断；
直线与圆的公共点
（2）由 大小关系来判断.
圆心到直线的距离d与半径r
在实际应用中，常采用第二种方法判定.
例1
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6.以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边AB所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由.
（1）r=4；（2）r=4.8；（3）r=5.
解
作斜边AB上的高CD.
在Rt△ABC中，
由三角形的面积公式，可得
CD·AB=AC·BC.
∴
即点C到直线AB的距离d=4.8.
(1)当r=4时，d＞r，因此⊙C与AB相离；
(2)当r=4.8时，d=r，因此⊙C与AB相切；
(3)当r=5时，d＜r，因此⊙C与AB相交.
当r=8、9时，⊙C和线段AB有几个公共点？
返回
1. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是(　　)
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 平行
B
返回
2. 已知⊙O的半径是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相交或相切
D
3. 在平面直角坐标系中，已知点M(4，3)，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为(　　)
A. 0C. 4【点拨】∵点M的坐标是(4，3)，∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4. ∵以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，∴r的取值范围是3＜r＜4. 故选D.
【答案】D
返回
4. 平面直角坐标系中有点A(3，4)，以A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y＝－x与⊙A的位置关系是________.
相交
返回
【点拨】如图，作AB垂直于直线y＝－x于点B，连结AO.
∵A(3，4)，∴AO＝5. ∵点A到直线y＝－x的距离为AB的长，易得AB＜AO＝5，∴直线y＝－x与⊙A的位置关系是相交.
5. 已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5，若以M为圆心，r为半径作圆，那么：
(1)当直线OA与⊙M相离时，r的取值范围是____________；
(2)当r＝________时，直线OA与⊙M相切；
(3)当直线OA与⊙M有公共点时，r的取值范围是__________.
返回
6. 如图，P是抛物线y＝x2－4x＋3上的一动点，以P为圆心，1个单位为半径作⊙P，且⊙P与x轴相切，满足条件的圆共有________个.
3
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7. 在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm.
(1)若以点C为圆心，2 cm为半径画⊙C，判断直线AB与⊙C的位置关系；
(2)若直线AB与半径为r cm的⊙C相切，求r的值；
(3)若线段AB与半径为r cm的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围.
【解】(1)∵AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm，
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.
过点C作CD⊥AB于点D.
易得CD＝ ＝2. 4 cm>2 cm.
∴若以点C为圆心，2 cm为半径画⊙C，
直线AB与⊙C的位置关系是相离.
返回
(2)由(1)知CD⊥AB，CD＝2. 4 cm.
∴当r＝2. 4时，直线AB与半径为r cm的⊙C相切.
(3)线段AB与半径为r cm的⊙C有唯一公共点，分两种情况：
①当⊙C与AB相切时，即r＝2. 4.
②当点A在⊙C内部，点B在⊙C上或在⊙C外部时，
即3综上，r的取值范围是38. 如图，已知在 ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝ ，点E是BC边上的动点，当以CE为半径的圆C与边AD最多有一个交点时，半径CE的取值范围是(　　)
A. 0＜CE≤8 　　 B. 0＜CE≤5
C. 0＜CE≤3或5＜CE≤8 　　 D. 3＜CE≤5
【点拨】如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝5.
∴AM＝CN.
【答案】C
直线与圆的位置关系
相离
相切
相交
大致图象
数量关系（d、r）
交点个数
0
1
2
d＞r
d=r
d＜r
谢谢观看！