27.2.3.1 切线的性质与判定-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.2.3.1 切线的性质与判定-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-16 18:03:55 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第27章 圆
27.2.3.1 切线的性质与判定
新课导入
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.
仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？
27.2.3.1 切线的性质与判定 教学过程
幻灯片1：温故引新，聚焦核心（5分钟）
旧知回顾：上节课我们学习了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，有什么特征？（学生回答：唯一公共点、圆心到直线距离d＝半径r、切线垂直于过切点的半径）
情境提问：展示工人用砂轮磨刀具的场景，火星沿切线方向飞出。思考：①如何判断一把直尺是否为圆形工件的切线？②已知直线是圆的切线，能得到哪些隐含的数量关系或位置关系？
引出课题：切线的“判定”和“性质”是解决圆的相关问题的核心，今天我们将系统探究切线的判定方法和性质的灵活应用。
设计意图：以旧知衔接激活认知，用生活情境提出“判定”和“性质”两大核心问题，明确本节课学习目标。
幻灯片2：探究切线的判定定理（15分钟）
问题探究：已知⊙O，点A在圆上，如何过点A作⊙O的切线？（学生动手尝试，教师引导：连接OA，过A作l⊥OA）
观察分析：所作直线l满足两个条件：①经过圆上一点A；②垂直于过该点的半径OA。此时直线l与⊙O的位置关系是什么？（相切）
切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
定理解读：判定定理的两个“关键词”——“半径外端”（直线过圆上一点）、“垂直于半径”，二者缺一不可。
反例辨析：展示两个图形：①直线过半径外端但不垂直于半径；②直线垂直于半径但不过外端。提问：这两条直线是圆的切线吗？（都不是，强化定理条件的必要性）
符号表示：若直线l经过⊙O的半径OA的外端A，且l⊥OA，则直线l是⊙O的切线。
幻灯片3：切线判定的两种方法及应用（15分钟）
方法梳理：结合上节课知识，总结切线的两种判定方法：
1. 数量法：圆心到直线的距离d＝圆的半径r（适用于未明确直线与圆公共点的情况）；
2. 判定定理法：直线过半径外端且垂直于半径（适用于已知直线与圆有公共点的情况）。
例题1（判定定理法）：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD⊥CD于D，且∠BCD＝∠BAC，求证：CD是⊙O的切线。
证明步骤：
1. 连接OC（已知公共点C，连半径）；
2. ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA（等边对等角）；
3. 又∠BCD＝∠BAC，∴∠OCA＝∠BCD；
4. ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角），即∠OCA＋∠OCB＝90°；
5. ∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即OC⊥CD；
6. ∵OC是半径，CD过半径外端C且垂直于OC，∴CD是⊙O的切线（判定定理）。
例题2（数量法）：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC中点，以O为圆心的圆与AB相切于D，求证：⊙O与AC也相切。
证明思路：过O作OE⊥AC于E，证明OE＝OD（OD是半径），利用d＝r判定相切（学生自主完成，教师点评）。
幻灯片4：深化切线的性质及推论（15分钟）
性质回顾：上节课我们得出切线的核心性质——圆的切线垂直于过切点的半径。如何用它解决问题？
性质应用关键：“见切线，连半径”，构造直角三角形，为几何计算和推理提供条件。
推论拓展：结合圆的对称性，推导切线的两个重要推论：
1. 推论1：过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
2. 推论2：过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
例题3：如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于C，∠B＝30°，OA＝3cm，求BC的长度。
解题步骤：
1. ∵AB是切线，A为切点，∴OA⊥AB（切线性质），即∠OAB＝90°；
2. 在Rt△OAB中，∠B＝30°，OA＝3cm，∴OB＝2OA＝6cm（30°角所对直角边是斜边一半）；
3. ∵OC是半径，OC＝OA＝3cm，∴BC＝OB－OC＝6－3＝3cm。
即时练习：已知切线l与⊙O切于A，OE⊥l于E，求证：A、E两点重合（用推论1证明，强化推论应用）。
幻灯片5：综合应用，突破易错点（15分钟）
综合例题：如图，AB是⊙O的直径，PA、PC分别切⊙O于A、C，连接BC，若∠P＝60°，PA＝6cm，求BC的长度。
解题步骤：
1. ∵PA、PC是切线，∴PA＝PC（切线长定理，暂作铺垫），∠PAO＝90°；
2. ∠P＝60°，∴△PAC是等边三角形，∠PAC＝60°；
3. ∠BAC＝90°－60°＝30°（∠PAO是直角）；
4. AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AB＝OB＋OA，先求AB：在Rt△PAO中，∠P＝60°，PA＝6，AO＝PA·tan30°＝2√3，AB＝4√3；
5. BC＝AB·sin30°＝4√3×1/2＝2√3 cm。
易错点辨析：
1. 判定切线时，忽略“过半径外端”或“垂直”条件；
2. 应用性质时，忘记“连半径”构造直角三角形；
3. 混淆“判定”与“性质”的因果关系（判定：由条件推切线；性质：由切线推结论）。
幻灯片6：课堂总结，布置作业（5分钟）
核心知识梳理：
1. 切线判定：两种方法（d＝r；过半径外端且垂直于半径），“知公共点连半径，不知公共点作垂线”；
2. 切线性质：切线垂直于过切点的半径，推论可定位圆心或切点，关键是“见切线连半径”；
3. 核心思想：数形结合、转化思想（将切线问题转化为直角三角形问题）。
作业布置：
1. 基础题：①已知⊙O半径5cm，直线l到圆心距离5cm，判断l与⊙O的位置关系并证明；②如图，AB切⊙O于B，OA＝10，OB＝6，求AB；
2. 提升题：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线；
3. 拓展题：探究“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”，并证明。
工人用砂轮磨一把刀，在接触的一瞬间，擦出的火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？
都是沿切线方向飞出去的.
探究新知
做
一
做
如图，画一个圆O及半径OA，经过⊙O的半径OA的外端点A画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？
直线l是⊙O的切线吗？你能说明理由吗？由此，你能得到什么结论？
切线的判定定理
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判断：
1. 过半径的外端点的直线是圆的切线 （ ）
2. 与半径垂直的直线是圆的切线 （ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 （ ）
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
×
×
×
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端点；(2)直线与这条半径垂直.
问题：判断一条直线是圆的切线，你现在会哪几种方法？
有以下三种方法：
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？
由于l是⊙O的切线，圆心О到直线l的距离等于半径，所以半径OA就是圆心О到直线l的垂线段，即l⊥OA.
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径.
如图所示，直线AB经过⊙O上的点A，且AB=OA， ∠OBA = 45°.求证：直线AB是⊙O的切线.
例2
证明：∵AB=OA，∠OBA=45°，
∴∠AOB=∠OBA=45°，
∴∠OAB=90°.
又∵点A在圆上，
∴直线AB是⊙O的切线（切线的判定定理）.
1. 已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上的一点A(点E，F在点A的两旁)，下列条件：
①OA＝5； ②OE＝OF；
③OA⊥EF； ④O到直线EF的距离是5.
其中能判定直线EF与⊙O相切的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点方法】切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【答案】B
返回
返回
A
返回
3. [2025天津南开区期中]如图，⊙O的半径为3，A为⊙O上一点. 按以下步骤作图：
①连结OA；
②以点A为圆心，3为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OB；④连结AC.
则下列说法中错误的是( )
A. ∠AOB＝60° B. AC为⊙O的切线
C. AC＝6 D. ∠ACO＝30°
C
返回
4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A. 点(0，3) B. 点(1，3) C. 点(6，0) D. 点(6，1)
B
5. 如图，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是__________________________. (写一个条件即可)
∠TAC＝∠B(答案不唯一)
【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠B＋∠BAC＝90°. 当∠TAC＝∠B时，∠TAC＋∠BAC＝90°，即∠OAT＝90°. ∵OA是⊙O的半径，∴直线AT是⊙O的切线. 故答案为∠TAC＝∠B(答案不唯一).
返回
50°或110°
【点拨】如图，设射线BA旋转后与⊙O相切于点D，连结OD，则OD⊥BD. ∵OD＝ OB，∴∠OBD＝30°. 当点D在射线BC上方时，∠ABD＝∠ABC－∠OBD＝80°－30°＝50°；当点D在射线BC下方时，∠ABD′＝∠ABC＋∠OBD′＝80°＋30°＝110°. 综上，射线BA应绕点B按
顺时针方向旋转50°或110°.
返回
返回
【答案】B
【答案】A
返回
9. 如图①是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图. 如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，
课堂小结
切线的判定定理：
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
谢谢观看！
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第27章 圆
27.2.3.1 切线的性质与判定
新课导入
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.
仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？
27.2.3.1 切线的性质与判定 教学过程
幻灯片1：温故引新，聚焦核心（5分钟）
旧知回顾：上节课我们学习了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，有什么特征？（学生回答：唯一公共点、圆心到直线距离d＝半径r、切线垂直于过切点的半径）
情境提问：展示工人用砂轮磨刀具的场景，火星沿切线方向飞出。思考：①如何判断一把直尺是否为圆形工件的切线？②已知直线是圆的切线，能得到哪些隐含的数量关系或位置关系？
引出课题：切线的“判定”和“性质”是解决圆的相关问题的核心，今天我们将系统探究切线的判定方法和性质的灵活应用。
设计意图：以旧知衔接激活认知，用生活情境提出“判定”和“性质”两大核心问题，明确本节课学习目标。
幻灯片2：探究切线的判定定理（15分钟）
问题探究：已知⊙O，点A在圆上，如何过点A作⊙O的切线？（学生动手尝试，教师引导：连接OA，过A作l⊥OA）
观察分析：所作直线l满足两个条件：①经过圆上一点A；②垂直于过该点的半径OA。此时直线l与⊙O的位置关系是什么？（相切）
切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
定理解读：判定定理的两个“关键词”——“半径外端”（直线过圆上一点）、“垂直于半径”，二者缺一不可。
反例辨析：展示两个图形：①直线过半径外端但不垂直于半径；②直线垂直于半径但不过外端。提问：这两条直线是圆的切线吗？（都不是，强化定理条件的必要性）
符号表示：若直线l经过⊙O的半径OA的外端A，且l⊥OA，则直线l是⊙O的切线。
幻灯片3：切线判定的两种方法及应用（15分钟）
方法梳理：结合上节课知识，总结切线的两种判定方法：
1. 数量法：圆心到直线的距离d＝圆的半径r（适用于未明确直线与圆公共点的情况）；
2. 判定定理法：直线过半径外端且垂直于半径（适用于已知直线与圆有公共点的情况）。
例题1（判定定理法）：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD⊥CD于D，且∠BCD＝∠BAC，求证：CD是⊙O的切线。
证明步骤：
1. 连接OC（已知公共点C，连半径）；
2. ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA（等边对等角）；
3. 又∠BCD＝∠BAC，∴∠OCA＝∠BCD；
4. ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角），即∠OCA＋∠OCB＝90°；
5. ∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即OC⊥CD；
6. ∵OC是半径，CD过半径外端C且垂直于OC，∴CD是⊙O的切线（判定定理）。
例题2（数量法）：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC中点，以O为圆心的圆与AB相切于D，求证：⊙O与AC也相切。
证明思路：过O作OE⊥AC于E，证明OE＝OD（OD是半径），利用d＝r判定相切（学生自主完成，教师点评）。
幻灯片4：深化切线的性质及推论（15分钟）
性质回顾：上节课我们得出切线的核心性质——圆的切线垂直于过切点的半径。如何用它解决问题？
性质应用关键：“见切线，连半径”，构造直角三角形，为几何计算和推理提供条件。
推论拓展：结合圆的对称性，推导切线的两个重要推论：
1. 推论1：过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
2. 推论2：过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
例题3：如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于C，∠B＝30°，OA＝3cm，求BC的长度。
解题步骤：
1. ∵AB是切线，A为切点，∴OA⊥AB（切线性质），即∠OAB＝90°；
2. 在Rt△OAB中，∠B＝30°，OA＝3cm，∴OB＝2OA＝6cm（30°角所对直角边是斜边一半）；
3. ∵OC是半径，OC＝OA＝3cm，∴BC＝OB－OC＝6－3＝3cm。
即时练习：已知切线l与⊙O切于A，OE⊥l于E，求证：A、E两点重合（用推论1证明，强化推论应用）。
幻灯片5：综合应用，突破易错点（15分钟）
综合例题：如图，AB是⊙O的直径，PA、PC分别切⊙O于A、C，连接BC，若∠P＝60°，PA＝6cm，求BC的长度。
解题步骤：
1. ∵PA、PC是切线，∴PA＝PC（切线长定理，暂作铺垫），∠PAO＝90°；
2. ∠P＝60°，∴△PAC是等边三角形，∠PAC＝60°；
3. ∠BAC＝90°－60°＝30°（∠PAO是直角）；
4. AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AB＝OB＋OA，先求AB：在Rt△PAO中，∠P＝60°，PA＝6，AO＝PA·tan30°＝2√3，AB＝4√3；
5. BC＝AB·sin30°＝4√3×1/2＝2√3 cm。
易错点辨析：
1. 判定切线时，忽略“过半径外端”或“垂直”条件；
2. 应用性质时，忘记“连半径”构造直角三角形；
3. 混淆“判定”与“性质”的因果关系（判定：由条件推切线；性质：由切线推结论）。
幻灯片6：课堂总结，布置作业（5分钟）
核心知识梳理：
1. 切线判定：两种方法（d＝r；过半径外端且垂直于半径），“知公共点连半径，不知公共点作垂线”；
2. 切线性质：切线垂直于过切点的半径，推论可定位圆心或切点，关键是“见切线连半径”；
3. 核心思想：数形结合、转化思想（将切线问题转化为直角三角形问题）。
作业布置：
1. 基础题：①已知⊙O半径5cm，直线l到圆心距离5cm，判断l与⊙O的位置关系并证明；②如图，AB切⊙O于B，OA＝10，OB＝6，求AB；
2. 提升题：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线；
3. 拓展题：探究“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”，并证明。
工人用砂轮磨一把刀，在接触的一瞬间，擦出的火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？
都是沿切线方向飞出去的.
探究新知
做
一
做
如图，画一个圆O及半径OA，经过⊙O的半径OA的外端点A画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？
直线l是⊙O的切线吗？你能说明理由吗？由此，你能得到什么结论？
切线的判定定理
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判断：
1. 过半径的外端点的直线是圆的切线 （ ）
2. 与半径垂直的直线是圆的切线 （ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 （ ）
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
×
×
×
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端点；(2)直线与这条半径垂直.
问题：判断一条直线是圆的切线，你现在会哪几种方法？
有以下三种方法：
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？
由于l是⊙O的切线，圆心О到直线l的距离等于半径，所以半径OA就是圆心О到直线l的垂线段，即l⊥OA.
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径.
如图所示，直线AB经过⊙O上的点A，且AB=OA， ∠OBA = 45°.求证：直线AB是⊙O的切线.
例2
证明：∵AB=OA，∠OBA=45°，
∴∠AOB=∠OBA=45°，
∴∠OAB=90°.
又∵点A在圆上，
∴直线AB是⊙O的切线（切线的判定定理）.
1. 已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上的一点A(点E，F在点A的两旁)，下列条件：
①OA＝5； ②OE＝OF；
③OA⊥EF； ④O到直线EF的距离是5.
其中能判定直线EF与⊙O相切的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点方法】切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【答案】B
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A
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3. [2025天津南开区期中]如图，⊙O的半径为3，A为⊙O上一点. 按以下步骤作图：
①连结OA；
②以点A为圆心，3为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OB；④连结AC.
则下列说法中错误的是( )
A. ∠AOB＝60° B. AC为⊙O的切线
C. AC＝6 D. ∠ACO＝30°
C
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4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A. 点(0，3) B. 点(1，3) C. 点(6，0) D. 点(6，1)
B
5. 如图，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是__________________________. (写一个条件即可)
∠TAC＝∠B(答案不唯一)
【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠B＋∠BAC＝90°. 当∠TAC＝∠B时，∠TAC＋∠BAC＝90°，即∠OAT＝90°. ∵OA是⊙O的半径，∴直线AT是⊙O的切线. 故答案为∠TAC＝∠B(答案不唯一).
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50°或110°
【点拨】如图，设射线BA旋转后与⊙O相切于点D，连结OD，则OD⊥BD. ∵OD＝ OB，∴∠OBD＝30°. 当点D在射线BC上方时，∠ABD＝∠ABC－∠OBD＝80°－30°＝50°；当点D在射线BC下方时，∠ABD′＝∠ABC＋∠OBD′＝80°＋30°＝110°. 综上，射线BA应绕点B按
顺时针方向旋转50°或110°.
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【答案】B
【答案】A
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9. 如图①是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图. 如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，
课堂小结
切线的判定定理：
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
谢谢观看！