27.3.1 弧长和扇形面积-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

(共36张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第27章　圆
27.3.1 弧长和扇形面积
问题1：圆的周长如何计算？圆的面积如何计算？
问题2：圆周长所对的圆心角是多少度？
C=2πr
S=πr2
360°
27.2.3.2 切线长定理及三角形的内切圆 教学过程
幻灯片1：温故引新，提出问题（5分钟）
旧知回顾：上节课我们学习了切线的判定与性质，谁能说说：①如何判定一条直线是圆的切线？②圆的切线有什么核心性质？（学生回答：判定可通过d＝r或过半径外端且垂直半径；性质是切线垂直于过切点的半径）
情境提问：展示从圆外一点P引圆的两条切线PA、PB的图形，提问：“从圆外一点能引圆的几条切线？这两条切线的长度之间有什么关系？”（引导学生观察猜想：两条切线长度相等）
引出课题：从圆外一点引圆的切线，这点与切点之间的线段长度叫做切线长。今天我们就来探究切线长的性质（切线长定理），以及与三角形内切圆相关的知识。
设计意图：以旧知激活认知，通过图形观察提出猜想，自然引出“切线长”概念和本节课探究核心。
幻灯片2：实验探究，推导切线长定理（15分钟）
动手操作：请同学们在练习本上画一个半径为2cm的⊙O，在圆外取一点P，过P作⊙O的两条切线PA、PB，A、B为切点，连接OA、OB、OP，完成以下任务：
1. 用刻度尺测量PA、PB的长度，记录数据；
2. 用量角器测量∠APO与∠BPO的度数，观察关系。
猜想结论：从测量结果看，PA＝PB，∠APO＝∠BPO，即OP平分∠APB。
定理证明：
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。
求证：PA＝PB，OP平分∠APB。
证明：
1. ∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线性质），即∠OAP＝∠OBP＝90°；
2. 在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA＝OB（圆的半径），OP＝OP（公共边）；
3. ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL定理）；
4. ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO（全等三角形对应边相等、对应角相等）。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
符号表示：若PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，则PA＝PB，OP平分∠APB。
幻灯片3：应用切线长定理，解决基础问题（10分钟）
例题1：如图，从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，A、B为切点，已知∠APB＝60°，OP＝10cm，求切线长PA及⊙O的半径OA。
解题步骤：
1. 由切线长定理，OP平分∠APB，∴∠APO＝∠APB/2＝30°；
2. ∵OA⊥PA（切线性质），∴Rt△OAP中，∠OAP＝90°；
3. ∠APO＝30°，OP＝10cm，∴OA＝OP/2＝5cm（30°角所对直角边是斜边一半）；
4. 由勾股定理，PA＝√(OP －OA )＝√(10 －5 )＝5√3 cm。
方法总结：涉及切线长问题，常连接“圆心—切点”“圆心—圆外点”，构造直角三角形，利用切线长定理和勾股定理求解，核心是“见切线连半径，见切线长连圆心与外点”。
即时练习：已知PA、PB是⊙O的切线，PA＝8cm，求PB的长度及∠OAB与∠APB的关系（提示：PA＝PB＝8cm；OA＝OB，PA＝PB，OP垂直平分AB，故∠OAB＋∠APB/2＝90°）。
幻灯片4：探究三角形的内切圆（15分钟）
问题探究：能否作一个圆，使它与三角形的三条边都相切？如果能，这个圆的圆心和半径如何确定？
动手操作：画△ABC，作∠A和∠B的角平分线，交于点I，过I作ID⊥AB于D，以I为圆心、ID为半径画圆，观察圆与AC、BC的位置关系（相切）。
核心概念：
1. 三角形的内切圆：与三角形的三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；
2. 内心性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等（距离即为内切圆半径）。
图形标注：在△ABC中画出内切圆⊙I，标注切点D（AB上）、E（AC上）、F（BC上），明确ID＝IE＝IF＝r（内切圆半径），I是∠A、∠B、∠C的角平分线交点。
即时辨析：三角形的内心与外心有什么区别？（外心是三边垂直平分线交点，到顶点距离相等；内心是三角平分线交点，到边距离相等）
幻灯片5：内切圆相关计算与综合应用（15分钟）
例题2：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，求△ABC内切圆的半径r。
解题步骤：
1. 由勾股定理，AB＝√(AC ＋BC )＝√(6 ＋8 )＝10cm；
2. 设内切圆⊙I与三边相切于D、E、F，连接ID、IE、IF，ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，ID＝IE＝IF＝r；
3. △ABC的面积S＝(AC·BC)/2＝(6×8)/2＝24cm ；
4. 同时S＝S△IAC＋S△IBC＋S△IAB＝(AC·IE)/2＋(BC·ID)/2＋(AB·IF)/2＝(6r＋8r＋10r)/2＝12r；
5. ∴12r＝24→r＝2cm。
例题3：如图，△ABC的内切圆⊙I与AB、BC、AC分别相切于D、E、F，已知AB＝10cm，BC＝14cm，AC＝12cm，求AD、BE、CF的长度。
解题步骤：
1. 由切线长定理，AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF；
2. 设AD＝AF＝x，BD＝BE＝y，CE＝CF＝z；
3. 根据三边长度列方程组：x＋y＝10，y＋z＝14，x＋z＝12；
4. 解得x＝4，y＝6，z＝8；故AD＝4cm，BE＝6cm，CF＝8cm。
方法总结：求三角形内切圆半径，常用“面积法”；涉及内切圆的切线长问题，利用“从一点引圆的两条切线长相等”设未知数，列方程求解。
幻灯片6：易错辨析与拓展提升（10分钟）
易错点梳理：
1. 混淆“切线”与“切线长”：切线是直线，切线长是线段长度；
2. 三角形内心与外心混淆：内心在三角形内，是角平分线交点；外心位置不确定，是垂直平分线交点；
3. 应用切线长定理时，忽略“从同一点引切线”的前提。
拓展练习：已知△ABC的内切圆半径r＝1，周长为10，求△ABC的面积（提示：面积S＝(周长×r)/2＝5）。
实际应用：要制作一个三角形铁皮零件，需在内部挖去一个最大的圆形孔，如何确定圆孔的圆心和半径？（方法：作三角平分线找内心，过内心作边的垂线，垂线段长即为半径）
幻灯片7：课堂总结，布置作业（5分钟）
核心知识梳理：
1. 切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与外点连线平分夹角；
2. 三角形内切圆：与三边相切，内心是角平分线交点，到边距离等于半径；
3. 核心方法：面积法求内切圆半径，方程法求切线长，构造直角三角形解题。
作业布置：
1. 基础题：①已知PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝80°，求∠AOB的度数；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝13cm，内切圆半径r＝2cm，求AC＋BC的长度；
2. 提升题：△ABC的内切圆与AB相切于D，AD＝2，BD＝3，∠C＝60°，求内切圆半径；
3. 拓展题：探究正三角形内切圆半径与边长的关系。
探究新知
问题
如图所示是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100m，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗？(精确到0.01m)
如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？
思考
下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
180°
90°
45°
n°
（1）
（2）
（3）
（4）
探索
(1)圆心角是180°，占整个圆周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
(2)圆心角是90°，占整个圆周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
探索
(3)圆心角是45°，占整个圆周角的______，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
(4)圆心角是1°，占整个圆周角的______，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
探索
(5)圆心角是n°，占整个圆周角的______，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长的计算公式为：
r
结论
练
一
练
1.半径为r，140°圆心角所对的弧长是多少？
2.已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______.
60°
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
半径r
O
圆心角n
弧长l
A
B
怎样计算圆心角是n°的扇形面积？
思考
下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？
180°
90°
45°
n°
探索
(1)圆心角是180°，占整个圆周角的 ，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的_______；
(2)圆心角是90°，占整个圆周角的______，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的_______；
探索
(3)圆心角是45°，占整个圆周角的______，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的_______；
(4)圆心角是1°，占整个圆周角的______，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的_______；
探索
(5)圆心角是n°，占整个圆周角的______，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的_______；
半径为 r 的圆中，圆心角为 n°的扇形的面积为
比较扇形面积（ S ）公式和弧长（ l ）公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？
n°
例1
如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.(精确到0.01cm2和0.01cm)
60°
解：因为n=60，r=10cm，所以扇形的面积为
扇形的周长为
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1. 如图，C是⊙O的优弧AB上一点，OA＝2，∠ACB＝60°，则劣弧AB的长度为(　　)
C
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2. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6. 则线段AB扫过的图形(阴影部分)面积为(　　)
D
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3. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3π cm，则滑轮上的点F旋转了(　　)
A. 60° B. 90°
C. 120° D. 45°
B
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4. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则该扇形的面积为________.
3π
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5. [2025无锡期中]如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A′BC′，BC′交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为________.
6. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素. 如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连结而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，
8π
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7. 如图①，在正方形ABCD内，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，点P从圆弧的端点B出发，
【答案】C
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8. 如图，在 ABCD中，AD＝6，以AD为直径的⊙O恰好经过点B，交BC于点E，当点E为 的中点时，下列结论错误的是(　　)
【答案】B
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9. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交
于点D，点E为半径OB上一动点. 若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为(　　)
【答案】A
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n°
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