27.4 多边形和圆-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

(共31张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第27章　圆
27.4 多边形和圆
推进新课


外接圆和内切圆
知识点1
分别画出图中各正多边形的对称轴.看看能发现什么结果？
思考：正n边形共有多少条对称轴？
27.4 多边形和圆 教学过程
一、情境激趣，导入新课（5分钟）
师：同学们，在我们的生活中，圆与多边形的组合无处不在。大家看大屏幕上的图片——故宫的圆形藻井周围环绕着正八边形的装饰，老钟表的表盘是圆形，刻度却分布在正十二边形的边框上，还有我们熟悉的足球，表面是由正五边形和正六边形拼接而成的。这些精美的设计，都藏着圆与多边形的数学联系。
师：大家有没有想过，这些多边形和圆之间究竟有怎样的关系？什么样的多边形能完美地“贴合”在圆上？今天我们就一起来探索“多边形和圆”的奥秘，揭开这些设计背后的数学原理（板书课题）。
【设计意图】从生活中的典型实例切入，让学生直观感受多边形与圆的紧密联系，激发对新知的探究欲望，同时建立数学与生活的联结。
二、核心概念，精准解读（10分钟）
1. 外接圆与内接多边形
师：我们先回顾圆的基本性质——圆上有无数个点，平面内不在同一直线上的三点确定一个圆。那如果是四点、五点呢？大家看黑板上的图1（画出一个圆，再画出内接四边形）：这个四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样，顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，而这个圆就叫做这个多边形的外接圆。
师：请大家判断，任意四边形都有外接圆吗？（引导学生动手画图尝试）其实并不是，只有特定的四边形才有外接圆，比如矩形、正方形，它们的四个顶点就共圆，这个圆的直径就是矩形的对角线。
2. 内切圆与外切多边形
师：再看黑板上的图2（画出一个圆，再画出外切四边形，圆与四边形各边都相切）：这个四边形的四条边都与同一个圆相切，这样的多边形叫做圆外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆。大家熟悉的正多边形，比如正三角形、正六边形，既有外接圆也有内切圆，这两个圆是同心圆。
师：现在请大家结合概念，完成表格（课件出示表格，学生填空）：
| 多边形类型 | 与圆的位置关系 | 圆的名称 | 关键特征 |
|------------------|----------------------|----------------|------------------------|
| 圆内接多边形 | 顶点在圆上 | 外接圆 | 顶点共圆 |
| 圆外切多边形 | 各边与圆相切 | 内切圆 | 各边都与圆有唯一公共点 |
三、性质探究，深化理解（15分钟）
1. 圆内接四边形的性质
师：我们重点研究圆内接四边形的性质。请大家拿出圆规和直尺，画一个圆内接四边形ABCD，连接对角线AC，观察四边形的四个内角与圆周角的关系（学生动手操作，教师巡视引导）。
师：∠A和∠C分别是哪段弧所对的圆周角？
生：∠A对的是弧BCD，∠C对的是弧BAD。
师：非常好！弧BCD和弧BAD合起来是整个圆周，也就是360°，那么它们所对的圆周角有什么关系？
生：圆周角的度数是弧的一半，所以∠A + ∠C = 1/2弧BCD + 1/2弧BAD = 1/2×360° = 180°。
师：太棒了！这就说明圆内接四边形的对角互补（板书性质1：圆内接四边形的对角互补）。大家再看看邻角，∠A和∠B的关系呢？它们的和不一定是180°，但它们的外角与内角有什么联系？
师：延长AB到点E，∠CBE是四边形的外角，它与∠D有什么关系？（引导学生推导）因为∠ABC + ∠CBE = 180°，而∠ABC + ∠D = 180°（对角互补），所以∠CBE = ∠D。这就是圆内接四边形的第二个性质：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（板书性质2）。
2. 圆外切四边形的性质
师：接下来探究圆外切四边形的性质。请大家画一个圆外切四边形ABCD，圆与各边的切点分别为E、F、G、H，连接圆心与各切点（学生操作）。我们知道，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。那么从点A引圆的两条切线AE和AH，长度有什么关系？
生：AE = AH！
师：同理，点B引的切线BE = BF，点C引的切线CF = CG，点D引的切线DG = DH。现在请大家把这些相等的线段相加，看看能得出什么结论？（学生计算）
生：AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，也就是AB + CD = AD + BC。
师：完全正确！这就是圆外切四边形的重要性质：圆外切四边形的两组对边之和相等（板书性质）。这个性质在计算边长时非常实用，大家要牢记。
四、例题讲解，巩固应用（15分钟）
例1：圆内接四边形性质应用
（课件出示题目）已知圆内接四边形ABCD中，∠A = 60°，∠B = 90°，求∠C和∠D的度数。
师：大家思考，这道题该用哪个性质解决？
生：圆内接四边形对角互补！
师：没错。∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，所以可以直接利用性质计算。请大家独立完成，然后举手汇报。
生：∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°；∠D = 180° - ∠B = 180° - 90° = 90°。
师：计算准确！大家要注意，找到对应的对角是解题关键，避免与邻角混淆。
例2：圆外切四边形性质应用
（课件出示题目）一个圆外切四边形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，求第四条边的长度。
师：题目给出了圆外切四边形的三条边，求第四条边，应该用哪个性质？
生：两组对边之和相等！
师：非常好。我们设第四条边的长度为x cm，然后确定哪两条边是对边。假设3cm和5cm是一组对边，4cm和x是另一组对边，根据性质可得3 + 5 = 4 + x，解得x = 4cm。大家有没有其他的对边组合方式？（引导学生思考）
生：也可以是3cm和4cm为一组对边，5cm和x为另一组，这时3 + 4 = 5 + x，x = 2cm；或者3cm和x为一组，4cm和5cm为另一组，3 + x = 4 + 5，x = 6cm。
师：这位同学考虑得很全面！题目没有明确对边关系，所以需要分情况讨论，但无论哪种情况，都要依据“两组对边之和相等”这个核心性质，大家在解题时要注意分类思考，避免漏解。
例3：综合应用问题
（课件出示题目）已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为2cm，求正六边形的边长和周长。
师：正六边形是特殊的圆内接多边形，它的顶点都在圆上，所以它的边长与圆的半径有什么关系？请大家连接OA、OB（OA、OB为⊙O的半径），观察△OAB的形状。
生：OA = OB = 2cm，正六边形的每个内角对应的圆心角是360°÷6 = 60°，所以△OAB是等边三角形，AB = OA = 2cm。
师：完全正确！正六边形的边长等于它外接圆的半径，这是正六边形的重要特征。所以周长就是6×2 = 12cm。通过这道题我们知道，特殊的圆内接多边形，边长与圆的半径存在固定关系，利用这个关系可以快速解题。
五、课堂练习，强化提升（10分钟）
师：为了检验大家的学习效果，我们做几道练习题，独立完成后同桌互相检查。
1. 圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C = 2∶3∶4，求∠D的度数。（答案：90°）
2. 圆外切四边形的一组对边分别为5cm和7cm，另一组对边中一条边长为3cm，求另一条边的长度。（答案：9cm）
3. 正三角形内接于半径为4cm的圆，求正三角形的边长。（提示：连接圆心与顶点，作高构造直角三角形，答案：4√3 cm）
（学生完成后，教师针对易错点讲解，强调性质的灵活运用和特殊图形的辅助线添加方法）
六、课堂小结，梳理脉络（3分钟）
师：今天的学习接近尾声，大家回顾一下，我们都掌握了哪些知识？
生1：知道了圆内接多边形和圆外切多边形的概念，以及对应的外接圆和内切圆。
生2：圆内接四边形的性质是对角互补，外角等于内对角；圆外切四边形的性质是两组对边之和相等。
生3：特殊的圆内接正多边形，比如正六边形，边长等于外接圆半径。
师：大家总结得很全面！我们从概念入手，通过动手操作推导性质，再用性质解决问题，形成了完整的知识链条。关键是要理解概念的本质，牢记性质并灵活运用到实际计算中。
七、布置作业，拓展延伸（2分钟）
1. 基础作业：完成教材对应课后习题，巩固圆内接、外切四边形的性质应用。
2. 实践探究：观察生活中含有圆与多边形组合的物体（如井盖、钟表、装饰图案），判断其中的多边形是圆内接还是圆外切多边形，记录下来并简单说明理由。
师：今天的课就上到这里，希望大家能带着数学的眼光观察生活，发现更多数学之美，同学们再见！

推进新课
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
O
以正五边形为例，我们发现正五边形有 对称轴,而且这些对称轴 .
根据对称轴的性质，我们知道这些对称轴是正五边形各边的 ，因而点O到正五边形各个顶点的 ，记为R.
以点O为圆心、R为半径的圆过正五边形的各个顶点，它是该正五边形的 .
五条
交于一点O
垂直平分线
距离相等
外接圆

推进新课
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
O
这些对称轴也是各内角的 .
根据角平分线的性质，点O到各边的距离都 ，记为r.
相等
以点O为圆心、r为半径的圆与正五边形的各条边相切，它是该正五边形的 .
内切圆
平分线


思考
试一试其他的正多边形是否也有类似的结论
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆
　


.
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆或内切圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离.
A
B
C
D
E
F


O
中心角
边心距把△BOC分成2个 的直角三角形.
A
B
C
D
E
F
全等
.
练习


如果正n边形的中心角等于24°，求这个正多边形的边数.
解：由题意得：
24×n=360
n=15
这个正多边形的边数为15.


如图，在⊙O中， ，那么弦AB、BC、CD、DE、EA之间有什么关系？∠A、∠B、∠C、∠D、∠E之间又有什么关系？
在同一个圆中，等弧对等弦，
因此AB=BC=CD=DE=EA,
而根据圆周角定理，有∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，
因此五边形ABCDE是正五边形.
正多边形的画法
知识点2
　


这样我们就得到下面正多边形与圆的关系：
把圆分成n（n>2）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形.
　


例 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.
解：内接正方形的做法：
（1）用直尺任作圆的一条直径AC；
（2）作与直径AC垂直的直径BD；
（3）顺次连结所得的圆上四点，则四边形ABCD即为所求作的正方形.
　


内接正六边形的作法：
（1）用直尺任作圆的一条直径AD；
（2）以点A为圆心、OA为半径作圆，与⊙O交于点B、F；
（3）以点D为圆心、OD为半径作圆，与⊙O交于点C、E；
（4）顺次连结所得的圆上六点，则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形.
尺规作图
例 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.
　


内接正六边形的做法：
（1）任意作圆的一条半径OA；
（2）沿半径OA用量角器量出正六边形中心角的度数（60°），与⊙O交于点B；
（3）依次量出C、D、E、F ；
（4）顺次连结所得的圆上六点，则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形.
例 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.
量角器作图
　


试一试
你还有别的方法来作出已知圆的内接正六边形吗？
作法：（1）作⊙O 的任意直径 BE，分别以 B，E 为圆心，以圆的半径长为半径作圆，与⊙O分别相交于点 A，C 和 F，D.
（2） 依次连结 AB，BC，CD，DE，EF， FA，则六边形 ABCDEF 就是所求作的⊙O 的内接正六边形.
1. 下列叙述中，正确的有(　　)
①正多边形和圆既是轴对称图形又是中心对称图形；
②各边相等的多边形各角也相等；
③正多边形的中心与其内切圆的圆心重合；
④正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
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2. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图①)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图②是其平面示意图，则∠1的度数为(　　)
A. 130° B. 120°
C. 110° D. 60°
B
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3. 如图，点A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为(　　)
A. 10 B. 12
C. 15 D. 20
A
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B
5. [2025忻州模拟]如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P是优弧MN上的一点，则∠MPN的度数为(　　)
A. 55° B. 60° C. 72° D. 80°
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【答案】C
6. 如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连结AH，则tan∠HAB等于(　　)
【答案】B
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7. 如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作 ，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________.
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8. 要在边长为8 m的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水. 假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3 m的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B


1.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
2.这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
3.正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.


课堂小结
正多边形与圆的关系：
把圆分成n（n>2）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形.


课堂小结
尺规作图
量角器作图
作内接多边形的方法
谢谢观看！