第26章　二次函数【章末复习】-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

(共36张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章　二次函数
章末复习
实际问题
二次函数的图象
二次函数
二次函数的性质
二次函数的应用
知识结构
第26章 二次函数 章末复习 教学过程
幻灯片1：明确目标，构建复习框架（5分钟）
复习目标：1. 系统梳理二次函数的概念、图象、性质及表达式求解方法；2. 掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系；3. 能运用二次函数模型解决实际最值问题。
知识框架导入：展示“二次函数知识树”思维导图（核心枝干：概念、图象性质、表达式、实际应用、关联问题），告知学生本节课将围绕这五大板块展开，逐一夯实基础、突破难点。
设计意图：让学生明确复习方向，通过知识框架建立全局认知，避免复习碎片化。
幻灯片2：板块一：二次函数的核心概念与表达式（10分钟）
概念回顾：
1. 定义：形如y＝ax ＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数，其中a是二次项系数，决定函数类型；b是一次项系数，c是常数项。
2. 三种表达式：①一般式y＝ax ＋bx＋c（已知三点时用）；②顶点式y＝a(x-h) ＋k（已知顶点或最值时用，顶点(h,k)）；③交点式y＝a(x-x )(x-x )（已知与x轴交点时用，x 、x 为交点横坐标）。
即时辨析：判断下列函数是否为二次函数：①y＝3x ＋2x；②y＝2x＋1；③y＝3x ＋(x-1)(1-x)（化简为y＝2x-1，不是）。
方法总结：表达式选择口诀：“三点一般，顶点顶点，交点交点”，代入求解后需检验a≠0。
幻灯片3：板块二：二次函数的图象与性质（15分钟）
核心性质梳理：以y＝ax ＋bx＋c（a≠0）为例，结合顶点式y＝a(x-h) ＋k总结：
性质
a＞0（开口向上）
a＜0（开口向下）
开口方向与大小
向上，|a|越大开口越窄
向下，|a|越大开口越窄
对称轴
直线x＝-b/(2a)（顶点式中为x＝h）
顶点坐标
(-b/(2a)，(4ac-b )/(4a))或(h,k)
最值
最小值为(4ac-b )/(4a)（x＝-b/(2a)时）
最大值为(4ac-b )/(4a)（x＝-b/(2a)时）
增减性
x＜-b/(2a)时y随x增大而减小；x＞-b/(2a)时增大
x＜-b/(2a)时y随x增大而增大；x＞-b/(2a)时减小
平移规律：y＝ax →y＝a(x-h) ＋k，“左加右减针对h，上加下减针对k”，平移不改变开口方向与大小。
典例应用：已知y＝-2(x＋1) ＋3，说出开口方向（向下）、对称轴（x＝-1）、顶点（-1,3）、最值（最大值3）及平移方式（y＝-2x 左移1个单位，上移3个单位）。
幻灯片4：板块三：二次函数的关联问题（15分钟）
1. 与一元二次方程的关系：
二次函数y＝ax ＋bx＋c与x轴交点的横坐标，就是方程ax ＋bx＋c＝0的实数根，判别式Δ＝b －4ac决定关联情况：
1. Δ＞0：抛物线与x轴有两个不同交点，方程有两个不等实根；
2. Δ＝0：抛物线与x轴有一个交点（顶点），方程有两个相等实根；
3. Δ＜0：抛物线与x轴无交点，方程无实根。
2. 与一元二次不等式的关系：
设方程ax ＋bx＋c＝0的两根x ＜x （Δ＞0），则：
1. a＞0时，ax ＋bx＋c＞0的解集为x＜x 或x＞x ；ax ＋bx＋c＜0的解集为x ＜x＜x ；
2. a＜0时，ax ＋bx＋c＞0的解集为x ＜x＜x ；ax ＋bx＋c＜0的解集为x＜x 或x＞x 。
即时练习：已知y＝x －3x－4，求与x轴交点（-1,0）、(4,0)，解不等式x －3x－4＜0（-1＜x＜4）。
幻灯片5：板块四：二次函数的实际应用（15分钟）
应用核心：建立二次函数模型解决利润最值、面积最值、运动轨迹等问题，步骤为“审—设—列—解—答”，关键是确定自变量取值范围。
典例解析：某超市销售进价为20元/千克的苹果，售价30元/千克时，每天售100千克，售价每涨1元，销量减5千克，求售价定为多少时，每天利润最大？最大利润是多少？
解题步骤：
1. 设售价为x元/千克，利润为y元；
2. 列关系式：销量＝100－5(x－30)＝250－5x，y＝(x－20)(250－5x)＝-5x ＋350x－5000（x≥30且250－5x≥0→x≤50）；
3. 求最值：y＝-5(x－35) ＋1125，a＜0，顶点(35,1125)在范围内；
4. 答：售价35元/千克时，最大利润1125元。
易错提醒：实际问题中需结合题意限定自变量范围，若顶点横坐标不在范围内，需用端点值求最值。
幻灯片6：综合演练与课堂总结（10分钟）
综合例题：已知二次函数过点(0,2)、(1,3)、(2,6)，求表达式并回答：①开口方向；②对称轴；③当x为何值时y随x增大而减小？
解答过程：设一般式y＝ax ＋bx＋c，代入得{c＝2，a＋b＋2＝3，4a＋2b＋2＝6}，解得a＝1，b＝0，表达式y＝x ＋2；①开口向上；②对称轴x＝0；③x＜0时y随x增大而减小。
课堂总结：师生共同完善知识树，强调：
1. 核心主线：a的符号决定开口与最值，顶点是性质的“核心点”；
2. 关键思想：数形结合（图象辅助理解性质与关联问题）、建模思想（实际问题转化为函数问题）；
3. 易错点：表达式求解时a≠0、自变量范围、符号问题。
幻灯片7：分层作业，巩固提升（5分钟）
作业布置：
1. 基础题：①求y＝-2x ＋4x＋1的顶点坐标与最值；②解不等式-2x ＋4x＋1＞0；
2. 提升题：某矩形场地周长20米，设长为x米，面积为y平方米，求y与x的函数关系式及最大面积；
3. 拓展题：已知二次函数顶点(2,1)，与x轴交于两点，且两点距离为4，求表达式。
释疑解惑
1.二次函数解析式的二种表示方法：
（1）顶点式：______________________
（2）一般式：______________________
y = a(x - h)2 + k（a ≠ 0）
y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）
2.填表：
y 轴
（0，0）
y 轴
（0，k）
x = h
（h，0）
x = h
（h，k）
向上
向下
3. 二次函数 y = ax2+ bx + c，当 a > 0 时，在对称轴右侧，
y 随 x 的增大而______，在对称轴左侧， y 随 x 的增大
而_______；当 a < 0 时，在对称轴右侧，y 随 x 的增大
而_______，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而______.
增大
减小
减小
增大
4. 抛物线 y = ax2+ bx + c，当 a > 0 时图象有最_____点，
此时函数有最____值_______；
当 a < 0 时图象有最_____点，此时函数有最____值
________.
低
小
高
大
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考点1 二次函数的定义
1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是(　　)
A. y＝(x＋1)2－x2
B. y＝ax2＋bx＋c　
C. y＝x(2x－3)
D. y＝2x＋5
C
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2. 已知二次函数y＝(k－1)xk2－3k＋4＋2x－1，当x＝0. 5时，y的值为________.
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考点2 二次函数图象的性质
3. 在同一平面直角坐标系中，画出直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx，这个图形可能是(　　)
D
4. 在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是二次函数y＝－x2＋4x－1图象上三点. 若0＜x1＜1，x2＞4，则y1________y2(填“＞”或“＜”)；若对于m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2＜m＋2，m＋2＜x3＜m＋3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是____________.
＞
－＜m＜1
【点拨】∵y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝2. ∵0＜x1＜1，x2＞4，∴|x1－2|<|x2－2|. ∴y1>y2. ∵m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2x3－2>|x2－2|. ∴x1＋x3＜4，且x2＋x3＞4. ∵2m＋24，解得－ 返回
考点3 确定二次函数的表达式
5. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2＋bx＋c经过点B，点C不与点B重合.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，连结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数表达式.
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考点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
6. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集为(　　)
A. x＞－1
B. x＜3
C. －1＜x＜3
D. x＜－3或x＞1
C
7. 如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①2a＋b＝0；②方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－2和－1之间；③方程ax2＋bx＋c－
＝0一定有两个不相等的实数根；④b－a<2. 其中，正确的结论有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
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考点5 二次函数的实际应用
8. 有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆形，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆形的半径约为0. 35 m时，透光面积最大，约为1. 05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m，利用图③，解答下列各题：
(1)若AB长为1 m，求此时窗户的透光面积.
(2)若设AB的长度为x m，请问当x的值为多少时，窗户的透光面积最大？与例题相比，透光的
最大面积是否变大？通过计算说明.
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9. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，2025年的主题是“弘扬自强与助残精神，凝聚团结奋进力量”，某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆. 公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
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10. 一把油纸伞，千年江南韵. 油纸伞(图①)是汉族古老的传统用品之一，亦传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等地. 如图②，油纸伞中轴截面可看作是抛物线的一部分，已知锁扣为点C，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离PQ＝1. 2 m，已知OQ＝1 m，OD＝0. 7 m.
(1)求该抛物线的表达式；(无需写出自变量的取值范围)
(2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架AC，BC，若A，B间的距离为0. 6 m，且∠ACB＝120°，求油纸伞锁扣到水平面的距离CQ的长度. (参考数据：
，结果精确到0. 01 m)
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