第27章　圆【章末复习】-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

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2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第27章　圆
章末复习
知识结构
圆
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
圆中的计算
正多边形和圆
弧、弦与圆心角
圆周角及其与同弧上圆心角的关系
圆的对称性
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆的切线
切线长
切线
知识梳理
1.圆的定义：
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.与圆相关的概念：
①弦和直径；
②弧、半圆、优弧、劣弧；
③等圆；
④等弧；
⑤圆心角.
．
O
n
一、回顾本章，明确目标（5分钟）
师：同学们，第27章“圆”的内容已经学完了。圆是初中几何中最完美的图形，它的性质广泛应用于生活和数学问题中。大家回忆一下，这一章我们都学习了哪些核心内容？
生：（自由发言）圆的基本要素、垂径定理、圆周角定理、圆与直线的位置关系、圆与圆的位置关系、正多边形和圆、圆的面积和弧长公式……
师：大家记得很全面！今天我们就进行章末复习，重点梳理这些知识的内在联系，突破高频考点，辨析易错点，让大家能熟练运用圆的知识解决问题（板书课题：第27章 圆 章末复习）。
二、知识梳理，构建体系（10分钟）
1. 核心概念网络
师：请大家结合大屏幕上的知识框架图（课件出示），和同桌互相补充。我们先从圆的基本要素开始：圆的位置由圆心决定，大小由半径决定，直径是圆中最长的弦。与圆相关的角有圆心角、圆周角，它们的关系是——
生：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半！
师：非常好。再看圆的对称性，圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，而垂径定理就是轴对称性的重要体现，谁能说说垂径定理的内容？
生：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
师：没错，反过来，平分弦（不是直径）的直径也垂直于弦。接下来是圆与直线的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，分为相离、相切、相交三种情况，其中相切是重点，切线的判定和性质大家一定要掌握。
2. 公式与定理梳理
师：我们把本章的核心公式和定理整理成表格，大家快速记忆（课件出示表格，教师强调重点）：
| 知识模块 | 核心定理/公式 |
|----------------|------------------------------------------------------------------------------|
| 圆的性质 | 垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、圆内接四边形对角互补 |
| 切线 | 判定：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；性质：切线垂直于过切点的半径 |
| 弧长与面积 | 弧长l = nπr/180，扇形面积S = nπr /360 = 1/2lr，圆锥侧面积S侧 = πrl |
师：这些是解决圆的问题的“工具”，大家要明确每个定理和公式的适用条件，避免混用。
三、考点突破，典例精析（20分钟）
考点1：垂径定理的应用
（课件出示例题）已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，求圆心O到弦AB的距离。
师：这道题是垂径定理的典型应用，大家思考该如何添加辅助线？
生：过圆心O作OC⊥AB于点C，连接OA，这样OC就是圆心到弦的距离，AC = 1/2AB = 4cm。
师：非常标准的辅助线做法！接下来利用勾股定理，OA = OC + AC ，代入数值计算。请大家动手算一下。
生：OC = √(OA - AC ) = √(5 - 4 ) = 3cm。
师：正确。垂径定理的应用往往需要结合勾股定理，核心是构造“半径、弦心距、半弦长”的直角三角形，这是解决圆中弦长问题的常用方法。
考点2：圆周角定理的应用
（课件出示例题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB = 40°，求∠ABC和∠ADC的度数。
师：大家先找图中的关键条件，AB是直径，这意味着什么？
生：直径所对的圆周角是直角，所以∠ACB = 90°！
师：对。在Rt△ABC中，已知∠CAB = 40°，∠ABC的度数就很容易求了。另外，∠ADC和∠ABC有什么关系？
生：它们都对弧AC，所以∠ADC = ∠ABC。
师：很好。大家计算一下结果。（学生计算后汇报）∠ABC = 90° - 40° = 50°，∠ADC = 50°。这里要记住，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，这两个结论在圆的角度计算中经常用到。
考点3：切线的判定与性质
（课件出示例题）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A = 30°，求∠D的度数。
师：题目中说DC是切线，我们可以用切线的什么性质？
生：连接OC，切线垂直于过切点的半径，所以OC⊥DC，∠OCD = 90°。
师：非常关键。OA和OC都是半径，所以∠A = ∠ACO = 30°，那么∠COD是多少度？
生：∠COD是△AOC的外角，等于∠A + ∠ACO = 60°。
师：在Rt△OCD中，∠D = 90° - 60° = 30°。这道题告诉我们，解决切线问题时，连接圆心和切点是常用的辅助线，能快速构造直角三角形。
考点4：弧长与扇形面积计算
（课件出示例题）一个扇形的圆心角为120°，半径为6cm，求该扇形的弧长和面积。
师：大家直接代入弧长和扇形面积公式计算，注意公式中n是圆心角度数，r是半径。
3.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴.
．
4.垂径定理及垂径定理推论.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵CD是圆O的直径，CD⊥AB
∴AP=BP，
AC=BC
AD=BD
．
A
D
B
P
C
5.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系：
.
A
O
B
C
D
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等.
6.圆周角：
定义：顶点在圆上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
性质1：在同一个圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
性质2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
∵∠BDC与∠BEC、∠BAC是同弧所对的圆周角，
∴∠BDC =∠BEC =∠BAC.
性质3：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).
性质4：90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°.
7.点与圆的位置关系：
.
A
O
B
C
.
.
.
（2）点在圆上；
（3）点在圆外.
（1）点在圆内；
8.直线与圆的位置关系：
(1) 相离：
一条直线与一个圆没有公共点，叫做直线与这个圆相离.
(2) 相切：
一条直线与一个圆只有一个公共点，叫做直线与这个圆相切.
(3) 相交：
一条直线与一个圆有两个公共点，叫做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别：
r
d
r
d
r
d
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
(1)当直线与圆相离时， d＞r；
(2)当直线与圆相切时， d=r；
(3)当直线与圆相交时， d＜r.
9.切线的性质定理及推论：
切线的识别方法：
a.与圆有一个公共点的直线.
b.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
c.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
A
∵OA是半径，OA⊥ l
∴直线l是⊙O的切线.
切线的性质：
(1)圆的切线垂直于经过切点的半径；
(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；
(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
A
∴ OA⊥ l .
∵直线l是⊙O的切线，切点为A，
切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠APO=∠BPO
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
10.弧长及扇形的面积：
n°
11.圆锥的相关计算：
A
O
r
h
l
R
B
O
C
a
n
12.正多边形与圆的关系：
（1）有关概念
（2）常用的方法
（3）正多边形的作图
13.正多边形与圆的关系：
E
F
C
D
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心：该正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径：外接圆的半径.
正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
A
B
返回
考点1 圆的有关概念
1. 下列说法中，正确的是(　　)
A. 过圆心的直线是圆的直径
B. 直径是圆中最长的弦
C. 相等长度的两条弧是等弧
D. 优弧一定比劣弧长
B
返回
B
返回
A
返回
考点3 垂径定理及其推论
4. 如图，圆弧形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2. 5 m，则拱门所在圆的半径为(　　)
A. 1. 25 m B. 1. 3 m
C. 1. 4 m D. 1. 45 m
B
返回
5
返回
考点4 圆周角定理及其推论
6. 如图是用⊙O制作的表盘模型，其中点A，B分别位于表盘上的“2”，“6”处，要使∠ABC＝90°，则点C应位于(　　)
A. “7”处 B. “8”处
C. “9”处 D. “10”处
B
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7. 如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为 的中点. 连结OA，OB，AB，AC，若∠BAC＝35°，则∠AOB等于(　　)
A. 140° B. 120° C. 110° D. 70°
A
8. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝130°，点E是 上任意一点，连结BE，CE，BC，则∠BEC的度数为(　　)
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
【点拨】连结AC. 由题意可知四边形ABCD为半圆O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°－130°＝50°. ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－50°＝40°，∴∠BEC＝∠BAC＝40°. 故选C.
【答案】C
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考点5 点和圆、直线和圆的位置关系
9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，如果以点A为圆心，AC长为半径作⊙A，那么斜边AB的中点D在⊙A________. (填“内”“上”或“外”)
上
10. [2025广州模拟]在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2. 5，直线l的表达式为y＝ x＋3，那么直线l与⊙O的位置关系是________.
相交
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20
2
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13. [2025达州]如图，在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点，连结CD，CE，∠DCE＝∠P＝α.
(1)试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若α＝60°，CD : CE＝1 : 2，试求4AD
＋BE与⊙O半径r的数量关系.
【解】(1)PB是⊙O的切线. 理由如下：
如图，连结OA，OB.
∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠BAO＋∠PAB＝90°，
∴∠PBO＝∠ABO＋∠PBA＝90°.
又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线.
(2)∵∠P＝60°，PA＝PB，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝PA＝PB，∠PAB＝∠PBA＝60°.
∵∠DCE＝60°，
∴∠BCE＋∠ACD＝180°－∠DCE＝120°.
∵∠ADC＋∠ACD＝180°－∠PAB＝120°，
∴∠ADC＝∠BCE，∴△ADC∽△BCE，
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考点7 三角形的外接圆与三角形的内切圆
14. 《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步. 问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：
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如图，根据勾、股，求得弦长. 用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘股，再乘2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于________步(注：“步”为长度单位).
6
15. 将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C.
(1)画出该轮子的圆心；
(2)若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16 cm，腰AB＝10 cm，求该轮子的半径R.
【解】(1)如图所示，分别作弦AB和AC的垂直平分线，
交点O即为所求的圆心.
(2)如图，连结AO，OB，设BC交OA于点D.
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【点拨】如图，设两半圆的圆心分别为O，P，两半圆分别交于点E，F，连结EF，OP相交于点G，连结OE，OF，则OE＝OF，OP⊥EF，EG＝FG.
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考点9 圆锥侧面积与全面积
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，△ABC绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积为________，全面积为________.
15π
24π
考点10 正多边形和圆
19. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，BD是⊙O的内接正四边形的一边，连结CD，则CD是⊙O的内接正________边形的一边.
十二
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思想1 方程思想
20. 如图，这是一张圆形光盘，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的外直径是(　　)
A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
C
思想2 分类讨论思想
21. 如图所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为(－2，0).
(1)线段AD所在直线的函数表达式为_____________________.
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