2025-2026学年人教A版数学选择性必修一单元检测第二章　直线和圆的方程（含解析）

第二章　直线和圆的方程
(考查范围：第二章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．过A(－2，－3)，B(1，0)两点的直线的倾斜角是(　　)
A．45 B．60
C．120 D．135
2．已知直线l1：－m2x＋y－1＝0，直线l2：(2m－3)x＋y－3＝0，则“m＝－3”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴围成三角形的面积等于6的直线的方程是(　　)
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
4．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们之间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
5．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则过A，B及原点O三点的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋4x－3y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0
D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0
6．过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于A，B两点，若△ABC为正三角形，则直线l的斜率为(　　)
A． B．
C．± D．±
7．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是(　　)
A．(－4，0) B．(0，－4)
C．(4，0) D．(4，0)或(－4，0)
8．已知直线y＝kx＋m(m为常数)与圆x2＋y2＝4交于点M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝(　　)
A．±1 B．±
C．± D．±2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(　　)
A．l2始终过定点
B．若l1∥l2，则a＝1或a＝－3
C．若l1⊥l2，则a＝0或a＝2
D．当a>0时，l1始终不过第三象限
10．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝10，则下列说法正确的是(　　)
A．圆O与圆C有四条公切线
B．
C．圆O与圆C的公共弦所在直线的方程为x＋y＝2
D．圆O与圆C的公共弦的长为2
11．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点 A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
13．已知点A(1，m)，B，若圆C：x2＋y2＋2x＝0上有且只有一点P，使得PA⊥PB，则实数m的一个值为________．(写出满足条件的一个值即可)
14．已知A为圆C：x2＋(y－1)2＝上的动点，B为圆E：(x－3)2＋y2＝上的动点，P为直线y＝的动点，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)我国的隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”；或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路；但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门．某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为16m（AB=16m），洞门最高处距路面4m(CD=4m)．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程；
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2m宽的隔墙．某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2m，高3.6m，则此货车能否通过该洞门？并说明理由．
16．(15分)已知点P(x，y)在圆x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．
17．(15分)已知方程x2＋y2－2x＋4y＋4m＝0.
(1)若此方程表示圆，求正整数m的值；
(2)在(1)的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点M(－4，1)发出的光线经过直线y＝－x反射，反射光线恰好平分圆C，求反射光线所在直线l1的一般式方程．
18．(17分)已知半径为4的圆C与直线l1：3x－4y＋8＝0相切，圆心C在y轴的负半轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l2：kx－y＋3＝0与圆C相交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l2的方程．
19．(17分)已知圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0和圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r>0)．
(1)若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，且＝4（O为原点），求实数k的值；
(3)若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
第二章　直线和圆的方程
(考查范围：第二章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．过A(－2，－3)，B(1，0)两点的直线的倾斜角是(　　)
A．45 B．60
C．120 D．135
A　解析：已知A(－2，－3)，B(1，0)，则kAB＝＝1.设直线AB的倾斜角为θ，则tan θ＝kAB＝1，得θ＝45 .
2．已知直线l1：－m2x＋y－1＝0，直线l2：(2m－3)x＋y－3＝0，则“m＝－3”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
A　解析：因为l1∥l2 －m2＝2m－3 m＝1或m＝－3，所以“m＝－3”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选A．
3．过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴围成三角形的面积等于6的直线的方程是(　　)
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
A　解析：设所求直线的方程为＝1(a>0，b>0)，则有ab＝6，且＝1.由解得故所求直线的方程为＝1，即为3x＋y－6＝0.
4．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们之间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
A　解析：由题意两条直线平行，所以n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝0.
5．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则过A，B及原点O三点的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋4x－3y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0
D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0
A　解析：由题意不妨设A(0，3)，B(－4，0)，圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－3y＝0.
6．过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于A，B两点，若△ABC为正三角形，则直线l的斜率为(　　)
A． B．
C．± D．±
C　解析：根据题意，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0即(x－3)2＋y2＝4，圆心为C(3，0)，半径r＝2.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，
若直线l与圆C相交于A，B两点且△ABC为正三角形，
则圆心C到直线l的距离d＝，即，解得k＝±.
7．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是(　　)
A．(－4，0) B．(0，－4)
C．(4，0) D．(4，0)或(－4，0)
A　解析：当顶点C的坐标是(－4，0)时，△ABC的重心坐标为，在欧拉线上，对于其他选项，△ABC的重心都不在欧拉线上．
8．已知直线y＝kx＋m(m为常数)与圆x2＋y2＝4交于点M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝(　　)
A．±1 B．±
C．± D．±2
C　解析：由题意可得圆心为(0，0)，半径为2，
所以圆心到直线的距离d＝，则弦长为|MN|＝2.
当k＝0时，弦长＝2，解得m＝±.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(　　)
A．l2始终过定点
B．若l1∥l2，则a＝1或a＝－3
C．若l1⊥l2，则a＝0或a＝2
D．当a>0时，l1始终不过第三象限
ACD　解析：选项A，l2：a(x－2y)＋3y－1＝0，令得过点，故A正确；
选项B，当a＝1时，l1，l2重合，故B错误；
选项C，当l1⊥l2时，由1×a＋a×(3－2a)＝0，得a＝0或a＝2，故C正确；
选项D，当a>0时，l1：y＝－x＋1始终过点(0，1)，斜率为负，所以不会过第三象限，故D正确．
故选ACD．
10．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝10，则下列说法正确的是(　　)
A．圆O与圆C有四条公切线
B．
C．圆O与圆C的公共弦所在直线的方程为x＋y＝2
D．圆O与圆C的公共弦的长为2
BCD　解析：由题意知，O(0，0)，C(3，3)，rO＝2，rC＝，则，故B正确；
又2＋>3>－2，即rC－rO<联立整理得x＋y＝2，
故圆O与圆C的公共弦所在直线l的方程为x＋y＝2，故C正确；
圆心O到直线l的距离为d＝，
所以圆O与圆C的公共弦长为2故D正确．
11．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
AB　解析：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.
由题意可知所以或
故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点 A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
－2　　解析：由题意可知kAC＝－，所以直线AC的方程为y＋1＝－(x＋2)．把(0，m)代入直线AC的方程得m＝－2，此时r＝|AC|＝.
13．已知点A(1，m)，B，若圆C：x2＋y2＋2x＝0上有且只有一点P，使得PA⊥PB，则实数m的一个值为________．(写出满足条件的一个值即可)
＋2(答案不唯一)　解析：由题意知，圆C：x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，
圆心为C(－1，0)，半径r＝1.
设线段AB的中点为M.
因为A(1，m)，B，则M＝2，
所以以AB为直径的圆M为(x－1)2＋2＝2.
因为圆C：x2＋y2＋2x＝0上有且只有一点P，使得PA⊥PB，所以圆C与圆M相切．
又＝3，
即有＋1＝3或－1＝3，
解得m＝±2或m＝±4.
14．已知A为圆C：x2＋(y－1)2＝上的动点，B为圆E：(x－3)2＋y2＝上的动点，P为直线y＝的动点，则的最大值为________．
＋1　解析：设E(3，0)关于直线y＝x的对称点为E′(m，n)，
则解得所以E′，
则圆E关于直线y＝x对称的圆E′的方程为.
要使的值最大，则P，A，B′(其中B′为圆E关于直线y＝x的对称圆E′上的点)三点共线，且该直线过C，E′两点，如图，
其最大值为＋1.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)我国的隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”；或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路；但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门．某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为16m（AB=16m），洞门最高处距路面4m(CD=4m)．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程；
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2m宽的隔墙．某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2m，高3.6m，则此货车能否通过该洞门？并说明理由．
解：(1)以点D为坐标原点，AB，DC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则点C(0，4)，B(8，0)．
由圆的对称性可知，圆心在y轴上，
设圆心坐标为(0，b)，圆的半径为r，则圆弧AB所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
因为点C，B在圆上，所以解得b＝－6，r＝10.
所以圆弧AB所在圆的方程为x2＋(y＋6)2＝100，
因此圆弧AB的方程为x2＋(y＋6)2＝100(0≤y≤4)．
(2)此货车不能通过该洞门．理由如下：
由题意可知，隔墙在y轴右侧1m，而车宽2m，车高3.6m，
所以货车右侧的最高点的坐标为(3，3.6)．
因为32＋(3.6＋6)2>100，所以此货车不能通过该洞门．
16．(15分)已知点P(x，y)在圆x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．
解：(1)圆的方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，
即该圆以(3，3)为圆心，2为半径．
因为，所以即为(0，0)与该圆上一点确定的直线的斜率．
设过(0，0)与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切的直线方程为kx－y＝0(斜率不存在时直线与圆是相离的)，则有2＝，解得k＝.
所以.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示点(x，y)与点(－1，0)距离的平方加上2.
因为点(x，y)在圆上，点(－1，0)在圆外，
所以所求最大值为2＋2＝51，
所求最小值为2＋2＝11.
17．(15分)已知方程x2＋y2－2x＋4y＋4m＝0.
(1)若此方程表示圆，求正整数m的值；
(2)在(1)的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点M(－4，1)发出的光线经过直线y＝－x反射，反射光线恰好平分圆C，求反射光线所在直线l1的一般式方程．
解：(1)若此方程表示圆，则(－2)2＋42－4×4m>0，解得m<.
因为m为正整数，所以m＝1.
(2)在(1)的条件下，方程表示圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝1.
由l1恰好平分圆C，得l1经过圆心C(1，－2)．
设点M关于直线y＝－x的对称点为N(x，y)，
则直线MN与直线y＝－x垂直，且线段MN的中点在直线y＝－x上，
则有解得所以N(－1，4)．
所以直线CN即为直线l1，且＝－3，
所以反射光线所在直线l1的方程为y＋2＝－3(x－1)，即3x＋y－1＝0.
18．(17分)已知半径为4的圆C与直线l1：3x－4y＋8＝0相切，圆心C在y轴的负半轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l2：kx－y＋3＝0与圆C相交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l2的方程．
解：(1)结合题意，因为圆心C在y轴的负半轴上，且半径为4，
所以可设圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝16，b<0，此时圆心为C(0，b)．
因为直线l1：3x－4y＋8＝0与圆C相切，所以圆心C(0，b)到直线l1的距离为4，
即＝4，解得b＝7(舍去)或b＝－3，
所以圆C的方程为x2＋(y＋3)2＝16.
(2)由(1)可得圆C：x2＋(y＋3)2＝16的圆心为C(0，－3)，半径r＝4，
所以圆心C到直线l2：kx－y＋3＝0的距离为d＝，
结合圆的弦长公式得.
因为直线l2与圆C相交于A，B两点，所以0所以S△ABC＝＝＝8，
当且仅当d2＝16－d2，即d＝2时，△ABC的面积取得最大值8.
所以d＝，解得k＝±.
所以直线l2的方程为x－2y＋6＝0或x＋2y－6＝0.
19．(17分)已知圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0和圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r>0)．
(1)若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，且＝4（O为原点），求实数k的值；
(3)若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
解：(1)圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0的标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝4，则圆心C1(－3，1)，r1＝2，
圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r>0)的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2(r>0)，
则圆心C2(4，5)，r2＝r，
所以.
因为圆C1与圆C2相交，所以<解得－2所以r的取值范围为.
(2)已知直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立
得(1＋k2)x2＋6x＋5＝0，
由Δ＝16－20k2>0，得k∈，
所以
因为＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋6＝4，解得k＝.
因为k∈，所以k＝.
(3)如图，设点P的坐标为(m，n)，直线l1，l2的方程分别为y－n＝t(x－m)，y－n＝－(x－m)，
即tx－y＋n－tm＝0，－m＝0.
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等且两圆半径相等，
所以圆心C1到直线l1的距离与圆心C2直线l2的距离相等，即，
化简得(2－m－n)t＝m－n－3或(m－n＋8)t＝m＋n－5.
因为存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，
所以关于t的方程有无穷多解，从而有或
解得或
所以点P的坐标为或.