2025-2026学年人教A版数学选择性必修一单元检测第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学选择性必修一单元检测第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-15 00:00:00 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
(考查范围：第三章 时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A． B．2
C．2 D．4
2．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．3
4．过点P(2，1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点．若P是线段AB的中点，则直线l的方程是( )
A．6x－y－11＝0 B．6x＋y－13＝0
C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－4＝0
5．(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
6．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
7．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
8．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C：＝1的两个焦点为F1，F2，P是C上任意一点，则( )
A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．|F1F2|＝2
C．|PF1|≤5＋ D．|PF1|·|PF2|≤25
10．(2024·新高考全国Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
11．某载人飞船返回舱的轴截面可近似地看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图．在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与半椭圆交于点A，与半圆交于点B，则( )
A．椭圆的长轴长为4
B．线段AB长度的最大值为2＋2
C．△AFG的周长为4＋4
D．在x轴上方的半椭圆上存在M，N两点，使得∠FMG＝∠FNG＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·新高考全国Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
13．给出四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＝1的离心率e＝；③抛物线x＝2y2的准线方程是x＝－；④双曲线＝－1的渐近线方程是y＝x.其中是假命题的是____________.(填序号)
14.两点．若△ABF2的内切圆的面积为π，则△ABF2的面积为________，|y1－y2|＝________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)双曲线C与椭圆＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
16．(15分)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝6，MN垂直于x轴，垂足为点N．
(1)求点M的横坐标；
(2)求△MNF的面积．
17．(15分)(2024·北京卷)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
18．(17分)已知O为坐标原点，双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为＝2．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求证：k1k2为定值．
19．(17分)已知l1，l2是过点(0，2)的两条互相垂直的直线，且l1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，l2与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线l1的斜率k的取值范围；
(2)若线段AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN经过一个定点．并求出此定点的坐标．
第三章 圆锥曲线的方程
(考查范围：第三章 时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A． B．2
C．2 D．4
D 解析：3x2－y2＝9化为标准方程为＝1，所以a2＝3，b2＝9．
因为c2＝a2＋b2＝12，所以c＝2，所以2c＝4.
2．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
A 解析：由题意知抛物线y2＝－4x的焦点为(－1，0)，所以c＝1．
又离心率e＝，所以a＝2，所以b＝，所以椭圆的方程为＝1．
3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．3
B 解析：由题意得F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，
即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1．
不妨设点A在x轴上方，代入得A(1，2)，
所以|AB|＝.故选B．
4．过点P(2，1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点．若P是线段AB的中点，则直线l的方程是( )
A．6x－y－11＝0 B．6x＋y－13＝0
C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－4＝0
A 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由P(2，1)是线段AB的中点，得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，将A，B代入双曲线方程得
两式作差，得直线l的斜率为k＝＝6．
又直线l过点P(2，1)，所以直线l的方程为6x－y－11＝0．
经检验，此时直线l与双曲线有两个交点，满足题意．
5．(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
A 解析：设点M(x0，y0)，y0>0，则P(x0，2y0)．
又点P在曲线C上，所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
故点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．
6．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
C 解析：设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，所以e＝＝2．
故选C．
7．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D 解析：因为椭圆的离心率为，
所以e＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
代入椭圆方程得＝1，即＝1，
所以x2＝b2，x＝±b2，y＝±b，则在第一象限内双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b2＝16，
解得b2＝5，a2＝4b2＝20，所以椭圆C的方程为＝1．
8．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
B 解析：因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)，所以双曲线的渐近线方程是y＝±x.
直线x＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，
不妨设D在第一象限，E在第四象限．
联立解得故D(a，b)．
联立解得故E(a，－b)．
所以|ED|＝2b，
所以△ODE的面积为S△ODE＝×a×2b＝ab＝8．
因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)，所以其焦距为2c＝2＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．
所以C的焦距的最小值为8．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C：＝1的两个焦点为F1，F2，P是C上任意一点，则( )
A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．|F1F2|＝2
C．|PF1|≤5＋ D．|PF1|·|PF2|≤25
BCD 解析：对A，B，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，
因为4＜25，所以a2＝25，b2＝4，c2＝25－4＝21，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝，故A错误，B正确；
对C，设F1，
则当点P为椭圆的右顶点时，|PF1|max＝＋5，
即|PF1|≤＋5，当P(5，0)时，等号成立，故C正确；
对D，由椭圆的定义及基本不等式可知|PF1|·|PF2|≤＝5时，等号成立，故D正确．
10．(2024·新高考全国Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
ABD 解析：A选项，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
⊙A的圆心A(0，4)到直线x＝－1的距离为1，等于圆的半径，
故准线l与⊙A相切，A选项正确．
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则yP＝4，
由＝4xP，得xP＝4，故P(4，4)，
此时|PA|＝4，切线长|PQ|＝，B选项正确．
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，则yP＝±2，故P(1，2)或P(1，－2)，
当P(1，2)时，B(－1，2)，又A(0，4)，所以kPA＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P(1，－2)时，B(－1，－2)，又A(0，4)，所以kPA＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1，
于是PA⊥AB不成立，C选项错误．
D选项，(方法一：利用抛物线定义转化)
如图，根据抛物线的定义，可得|PB|＝|PF|，
于是|PA|＝|PB|时点P的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时点P的存在性问题．
因为A(0，4)，F(1，0)，AF的中点为，所以线段AF中垂线的斜率为－，
线段AF的中垂线方程为y＝.与抛物线方程y2＝4x联立消去x，可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，所以AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
(方法二：设点直接求解)
设P，t)，由PB⊥l，可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
所以根据两点间的距离公式，得＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个不相等的解，
即存在两个这样的点P，使得|PA|＝|PB|，D选项正确．
故选ABD．
11．某载人飞船返回舱的轴截面可近似地看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图．在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与半椭圆交于点A，与半圆交于点B，则( )
A．椭圆的长轴长为4
B．线段AB长度的最大值为2＋2
C．△AFG的周长为4＋4
D．在x轴上方的半椭圆上存在M，N两点，使得∠FMG＝∠FNG＝
ABC 解析：由题意可知，椭圆的半焦距c＝2，短半轴长b＝2，得长半轴长a＝2，则椭圆的长轴长为2a＝4，故A正确；
因为2≤|OA|≤2＝2，所以|AB|＝，故B正确；
因为点F，G是椭圆的两个焦点，所以△AFG的周长为|FG|＋|AF|＋|AG|＝4＋2a＝4＋4，故C正确；
由题意知|MF|<|MG|，在△MFG中，
cos ∠FMG＝>＝0，所以∠FMG不可能为直角，所以在x轴上方的椭圆上不存在点M，使得∠FMG＝，故D错误．
故选ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·新高考全国Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
解析：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A＝＝10，|F2A|＝＝5．
由|F1A|－|F2A|＝2a，得|F1A|＝|F2A|＋2a＝5＋2a＝13，解得a＝4．代入＝5，得b2＝20，
则c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝.
13．给出四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＝1的离心率e＝；③抛物线x＝2y2的准线方程是x＝－；④双曲线＝－1的渐近线方程是y＝x.其中是假命题的是____________.(填序号)
①②④ 解析：①方程表示的图形是一个点(1，0)；②e＝；④渐近线方程为y＝±x；③正确．
14．如图，设椭圆两点．若△ABF2的内切圆的面积为π，则△ABF2的面积为________，|y1－y2|＝________.
6 3 解析：因为△ABF2的内切圆的面积为π，
所以△ABF2内切圆的半径r＝1，
所以△ABF2的面积S＝AF2BF2＝2a＝6．
又△ABF2的面积S＝×2c＝×2×2＝6，
所以|y1－y2|＝3．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)双曲线C与椭圆＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
解：由题意设双曲线C的方程为＝1(a＞0，b＞0)．
由椭圆＝1，求得两焦点分别为(－2，0)，(2，0)，
所以对于双曲线C可得c＝2．
又y＝x为双曲线C的一条渐近线，
所以，解得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－＝1．
16．(15分)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝6，MN垂直于x轴，垂足为点N．
(1)求点M的横坐标；
(2)求△MNF的面积．
解：(1)由抛物线方程为y2＝4x，可得p＝2且焦点为F(1，0)，设点M(x1，y1)．
因为|MF|＝6，由抛物线的定义，可得|MF|＝x1＋＝x1＋1＝6，
解得x1＝5，即点M的横坐标为5．
(2)由(1)知x1＝5，代入抛物线方程，可得＝20，解得y1＝±2.
又因为MN⊥x轴于点N(如图)，且F(1，0)，所以N(5，0)，
所以S△MNF＝＝×(5－1)×2.
17．(15分)(2024·北京卷)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
解：(1)由题意可知b＝，所以a＝＝2，
故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0．
所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0．
由根与系数的关系得 ①
因为直线BD的斜率为0，所以由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)．
因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，
所以，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0．
由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得－(x1＋x2)＝0，
整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0， ②
所以2k·＋(t－1)·＝0，解得t＝2．
18．(17分)已知O为坐标原点，双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为＝2．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求证：k1k2为定值．
(1)解：因为||PF1|－|PF2||＝2，由双曲线的定义知2a＝2，所以a＝1．
又因为e＝，所以c＝，所以b2＝c2－a2＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1．
(2)证明：设P(x0，y0)，则＝1．
因为A(－1，0)，B(1，0)，所以k1＝，
所以k1k2＝＝2．
故k1k2为定值2．
19．(17分)已知l1，l2是过点(0，2)的两条互相垂直的直线，且l1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，l2与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线l1的斜率k的取值范围；
(2)若线段AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN经过一个定点．并求出此定点的坐标．
(1)解：根据题意，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，
则直线l1，l2的方程分别为y＝kx＋2，y＝－x＋2．
联立消去y，得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0．
由Δ＝(16k)2－4×12(4k2＋1)＞0，得4k2＞3，则k＜－或k＞.
同理4＞3，则－＜k＜.
所以k的取值范围为∪.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，
所以x1＋x2＝－，则xM＝，
所以yM＝kxM＋2＝－，则M.
同理N，
则直线MN的方程为y－，
化简整理得y＝.
因此直线MN经过一个定点，该定点的坐标为.
(考查范围：第三章 时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A． B．2
C．2 D．4
2．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．3
4．过点P(2，1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点．若P是线段AB的中点，则直线l的方程是( )
A．6x－y－11＝0 B．6x＋y－13＝0
C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－4＝0
5．(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
6．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
7．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
8．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C：＝1的两个焦点为F1，F2，P是C上任意一点，则( )
A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．|F1F2|＝2
C．|PF1|≤5＋ D．|PF1|·|PF2|≤25
10．(2024·新高考全国Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
11．某载人飞船返回舱的轴截面可近似地看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图．在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与半椭圆交于点A，与半圆交于点B，则( )
A．椭圆的长轴长为4
B．线段AB长度的最大值为2＋2
C．△AFG的周长为4＋4
D．在x轴上方的半椭圆上存在M，N两点，使得∠FMG＝∠FNG＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·新高考全国Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
13．给出四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＝1的离心率e＝；③抛物线x＝2y2的准线方程是x＝－；④双曲线＝－1的渐近线方程是y＝x.其中是假命题的是____________.(填序号)
14.两点．若△ABF2的内切圆的面积为π，则△ABF2的面积为________，|y1－y2|＝________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)双曲线C与椭圆＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
16．(15分)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝6，MN垂直于x轴，垂足为点N．
(1)求点M的横坐标；
(2)求△MNF的面积．
17．(15分)(2024·北京卷)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
18．(17分)已知O为坐标原点，双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为＝2．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求证：k1k2为定值．
19．(17分)已知l1，l2是过点(0，2)的两条互相垂直的直线，且l1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，l2与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线l1的斜率k的取值范围；
(2)若线段AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN经过一个定点．并求出此定点的坐标．
第三章 圆锥曲线的方程
(考查范围：第三章 时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A． B．2
C．2 D．4
D 解析：3x2－y2＝9化为标准方程为＝1，所以a2＝3，b2＝9．
因为c2＝a2＋b2＝12，所以c＝2，所以2c＝4.
2．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
A 解析：由题意知抛物线y2＝－4x的焦点为(－1，0)，所以c＝1．
又离心率e＝，所以a＝2，所以b＝，所以椭圆的方程为＝1．
3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．3
B 解析：由题意得F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，
即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1．
不妨设点A在x轴上方，代入得A(1，2)，
所以|AB|＝.故选B．
4．过点P(2，1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点．若P是线段AB的中点，则直线l的方程是( )
A．6x－y－11＝0 B．6x＋y－13＝0
C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－4＝0
A 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由P(2，1)是线段AB的中点，得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，将A，B代入双曲线方程得
两式作差，得直线l的斜率为k＝＝6．
又直线l过点P(2，1)，所以直线l的方程为6x－y－11＝0．
经检验，此时直线l与双曲线有两个交点，满足题意．
5．(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
A 解析：设点M(x0，y0)，y0>0，则P(x0，2y0)．
又点P在曲线C上，所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
故点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．
6．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
C 解析：设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，所以e＝＝2．
故选C．
7．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D 解析：因为椭圆的离心率为，
所以e＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
代入椭圆方程得＝1，即＝1，
所以x2＝b2，x＝±b2，y＝±b，则在第一象限内双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b2＝16，
解得b2＝5，a2＝4b2＝20，所以椭圆C的方程为＝1．
8．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
B 解析：因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)，所以双曲线的渐近线方程是y＝±x.
直线x＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，
不妨设D在第一象限，E在第四象限．
联立解得故D(a，b)．
联立解得故E(a，－b)．
所以|ED|＝2b，
所以△ODE的面积为S△ODE＝×a×2b＝ab＝8．
因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)，所以其焦距为2c＝2＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．
所以C的焦距的最小值为8．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C：＝1的两个焦点为F1，F2，P是C上任意一点，则( )
A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．|F1F2|＝2
C．|PF1|≤5＋ D．|PF1|·|PF2|≤25
BCD 解析：对A，B，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，
因为4＜25，所以a2＝25，b2＝4，c2＝25－4＝21，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝，故A错误，B正确；
对C，设F1，
则当点P为椭圆的右顶点时，|PF1|max＝＋5，
即|PF1|≤＋5，当P(5，0)时，等号成立，故C正确；
对D，由椭圆的定义及基本不等式可知|PF1|·|PF2|≤＝5时，等号成立，故D正确．
10．(2024·新高考全国Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
ABD 解析：A选项，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
⊙A的圆心A(0，4)到直线x＝－1的距离为1，等于圆的半径，
故准线l与⊙A相切，A选项正确．
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则yP＝4，
由＝4xP，得xP＝4，故P(4，4)，
此时|PA|＝4，切线长|PQ|＝，B选项正确．
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，则yP＝±2，故P(1，2)或P(1，－2)，
当P(1，2)时，B(－1，2)，又A(0，4)，所以kPA＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P(1，－2)时，B(－1，－2)，又A(0，4)，所以kPA＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1，
于是PA⊥AB不成立，C选项错误．
D选项，(方法一：利用抛物线定义转化)
如图，根据抛物线的定义，可得|PB|＝|PF|，
于是|PA|＝|PB|时点P的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时点P的存在性问题．
因为A(0，4)，F(1，0)，AF的中点为，所以线段AF中垂线的斜率为－，
线段AF的中垂线方程为y＝.与抛物线方程y2＝4x联立消去x，可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，所以AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
(方法二：设点直接求解)
设P，t)，由PB⊥l，可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
所以根据两点间的距离公式，得＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个不相等的解，
即存在两个这样的点P，使得|PA|＝|PB|，D选项正确．
故选ABD．
11．某载人飞船返回舱的轴截面可近似地看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图．在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与半椭圆交于点A，与半圆交于点B，则( )
A．椭圆的长轴长为4
B．线段AB长度的最大值为2＋2
C．△AFG的周长为4＋4
D．在x轴上方的半椭圆上存在M，N两点，使得∠FMG＝∠FNG＝
ABC 解析：由题意可知，椭圆的半焦距c＝2，短半轴长b＝2，得长半轴长a＝2，则椭圆的长轴长为2a＝4，故A正确；
因为2≤|OA|≤2＝2，所以|AB|＝，故B正确；
因为点F，G是椭圆的两个焦点，所以△AFG的周长为|FG|＋|AF|＋|AG|＝4＋2a＝4＋4，故C正确；
由题意知|MF|<|MG|，在△MFG中，
cos ∠FMG＝>＝0，所以∠FMG不可能为直角，所以在x轴上方的椭圆上不存在点M，使得∠FMG＝，故D错误．
故选ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·新高考全国Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
解析：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A＝＝10，|F2A|＝＝5．
由|F1A|－|F2A|＝2a，得|F1A|＝|F2A|＋2a＝5＋2a＝13，解得a＝4．代入＝5，得b2＝20，
则c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝.
13．给出四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＝1的离心率e＝；③抛物线x＝2y2的准线方程是x＝－；④双曲线＝－1的渐近线方程是y＝x.其中是假命题的是____________.(填序号)
①②④ 解析：①方程表示的图形是一个点(1，0)；②e＝；④渐近线方程为y＝±x；③正确．
14．如图，设椭圆两点．若△ABF2的内切圆的面积为π，则△ABF2的面积为________，|y1－y2|＝________.
6 3 解析：因为△ABF2的内切圆的面积为π，
所以△ABF2内切圆的半径r＝1，
所以△ABF2的面积S＝AF2BF2＝2a＝6．
又△ABF2的面积S＝×2c＝×2×2＝6，
所以|y1－y2|＝3．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)双曲线C与椭圆＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
解：由题意设双曲线C的方程为＝1(a＞0，b＞0)．
由椭圆＝1，求得两焦点分别为(－2，0)，(2，0)，
所以对于双曲线C可得c＝2．
又y＝x为双曲线C的一条渐近线，
所以，解得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－＝1．
16．(15分)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝6，MN垂直于x轴，垂足为点N．
(1)求点M的横坐标；
(2)求△MNF的面积．
解：(1)由抛物线方程为y2＝4x，可得p＝2且焦点为F(1，0)，设点M(x1，y1)．
因为|MF|＝6，由抛物线的定义，可得|MF|＝x1＋＝x1＋1＝6，
解得x1＝5，即点M的横坐标为5．
(2)由(1)知x1＝5，代入抛物线方程，可得＝20，解得y1＝±2.
又因为MN⊥x轴于点N(如图)，且F(1，0)，所以N(5，0)，
所以S△MNF＝＝×(5－1)×2.
17．(15分)(2024·北京卷)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
解：(1)由题意可知b＝，所以a＝＝2，
故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0．
所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0．
由根与系数的关系得 ①
因为直线BD的斜率为0，所以由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)．
因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，
所以，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0．
由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得－(x1＋x2)＝0，
整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0， ②
所以2k·＋(t－1)·＝0，解得t＝2．
18．(17分)已知O为坐标原点，双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为＝2．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求证：k1k2为定值．
(1)解：因为||PF1|－|PF2||＝2，由双曲线的定义知2a＝2，所以a＝1．
又因为e＝，所以c＝，所以b2＝c2－a2＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1．
(2)证明：设P(x0，y0)，则＝1．
因为A(－1，0)，B(1，0)，所以k1＝，
所以k1k2＝＝2．
故k1k2为定值2．
19．(17分)已知l1，l2是过点(0，2)的两条互相垂直的直线，且l1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，l2与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线l1的斜率k的取值范围；
(2)若线段AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN经过一个定点．并求出此定点的坐标．
(1)解：根据题意，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，
则直线l1，l2的方程分别为y＝kx＋2，y＝－x＋2．
联立消去y，得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0．
由Δ＝(16k)2－4×12(4k2＋1)＞0，得4k2＞3，则k＜－或k＞.
同理4＞3，则－＜k＜.
所以k的取值范围为∪.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，
所以x1＋x2＝－，则xM＝，
所以yM＝kxM＋2＝－，则M.
同理N，
则直线MN的方程为y－，
化简整理得y＝.
因此直线MN经过一个定点，该定点的坐标为.