2025-2026学年北师大版数学必修第一册单元测试：第三章指数运算与指数函数 （含解析）

第三章　指数运算与指数函数
考试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(32)－100的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
2．已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝，则M∩N＝( )
A．{0,1} B．{－1,0}
C．{－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}
3．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
4．已知a＝0.24，b＝0.94，c＝0.25.7，则( )
A．b>c>a B．a>b>c
C．b>a>c D．c>a>b
5．已知关于x的不等式x－4>3－2x，则该不等式的解集为( )
A．[4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－4,1]
6．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的大致图象是( )
7．设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为( )
A． B．
C． D．
8．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对任意的x∈(－∞，1]，恒定fK(x)＝f(x)，则( )
A．K的最大值为0 B．K的最小值为0
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列运算结果中一定正确的是( )
A．a3·a4＝a7 B．(－a2)3＝a6
C．＝a D．＝－π
10．已知函数f(x)＝＋a，则( AB )
A．函数f(x)的定义域为{x|x≠0}
B．若函数f(x)是奇函数，则a＝1
C．函数f(x)在定义域上是减函数
D．若f(1)＝3，则a＝－1
11．若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是( 　 )
A．0C．1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝　 .
13．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝2|x＋2|＋a，若对任意x1∈[3,4]，存在x2∈[－3,1]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是_ __.
14．已知函数f(x)＝2x且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立，则
(1)g(x)＝　 ；
(2)实数a的取值范围是 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)计算下列各式的值：
(1)(×)6＋()－4×－×80.25－(－2 020)0；
(2)eq \f(a－8ab,4b＋2\r(3,ab)＋a)÷×.
16．(15分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
17．(15分)已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3a－4x的定义域为[0,1]．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)的单调性；
(3)求函数g(x)的值域．
18．(17分)已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)试判断函数在(－∞，0]上的单调性，并证明．
19．(17分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明f(x)在R上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
第三章　指数运算与指数函数
考试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(32)－100的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[解析]　(32)－100＝3－1＝2.故选B.
2．已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝，则M∩N＝( )
A．{0,1} B．{－1,0}
C．{－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}
[解析]　∵M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝＝{x|－13．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
[解析]　由f(－x)＝x－3x＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数，因为y＝x在R上是减函数，y＝3x在R上是增函数，所以函数f(x)＝3x－x在R上是增函数．故选B.
4．已知a＝0.24，b＝0.94，c＝0.25.7，则( )
A．b>c>a B．a>b>c
C．b>a>c D．c>a>b
[解析]　∵函数y＝0.2x在R上是减函数，5.7>4，∴a＝0.24>c＝0.25.7，函数y＝x4在(0，＋∞)上是增函数，0.9>0.2，∴a＝0.24<0.94＝b，故有b>a>c.故选C.
5．已知关于x的不等式x－4>3－2x，则该不等式的解集为( )
A．[4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－4,1]
[解析]　依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>－2x，解得x>－4.故选B.
6．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的大致图象是( )
[解析]　当x>0时，指数函数y＝x是减函数，将其图象向上平移1个单位长度，可得函数f(x)＝x＋1(x>0)的图象，而f(x)是R上的奇函数，所以只有选项B符合要求．故选B.
7．设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为( )
A． B．
C． D．
[解析]　由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，
所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·＝·3b<·3－1＝，
又因为·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为.故选A.
8．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对任意的x∈(－∞，1]，恒定fK(x)＝f(x)，则( )
A．K的最大值为0 B．K的最小值为0
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
[解析]　根据题意，对任意的x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，等价于对任意的x∈(－∞，1]，恒有f(x)≤K，等价于函数f(x)在(－∞，1]上的最大值小于或等于K.x∈(－∞，1]时，2x∈(0,2]，函数f(x)＝2x＋1－4x＝－(2x)2＋2·2x＝－(2x－1)2＋1，－(2x－1)2＋1≤1，故函数f(x)在(－∞，1]上的最大值为1，则K≥1，所以K的最小值为1.故选D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列运算结果中一定正确的是( )
A．a3·a4＝a7 B．(－a2)3＝a6
C．＝a D．＝－π
[解析]　对于选项A，a3·a4＝a3＋4＝a7，故A正确；对于选项B，(－a2)3＝－a6，故B错误；对于选项C，当a≥0时，＝a，当a<0时，＝－a，即＝|a|，故C错误；对于选项D，＝－π，故D正确．故选AD.
10．已知函数f(x)＝＋a，则( AB )
A．函数f(x)的定义域为{x|x≠0}
B．若函数f(x)是奇函数，则a＝1
C．函数f(x)在定义域上是减函数
D．若f(1)＝3，则a＝－1
[解析]　由2x－1≠0 x≠0，所以A项正确；因为f(x)是奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0 ＋a＋＋a＝0 －2＋2a＝0 a＝1，所以B项正确；f(1)＝2＋a，f(－1)＝－4＋a，显然f(1)>f(－1)，所以C项不正确；f(1)＝＋a＝3 a＝1，因此D项不正确．故选AB.
11．若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是( 　 )
A．0C．1[解析]　由2a＋3a＝3b＋2b，设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，易知f(x)，g(x)都是增函数，画出f(x)，g(x)的图象，如图所示．根据图象可知：当01时，因为f(x)图象在g(x)图象下方，所以1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝ 　.
[解析]　设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，
∴＝a＝eq \f(1,a)，∴＝，∴a＝3.
∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝.
13．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝2|x＋2|＋a，若对任意x1∈[3,4]，存在x2∈[－3,1]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是_(－∞，3]__.
[解析]　若对任意x1∈[3,4]，存在x2∈[－3,1]，使f(x1)≥g(x2)，
可得f(x)min≥g(x)min，
由f(x)＝x＋1在[3,4]上单调递增，
可得f(x)的最小值为f(3)＝4，g(x)＝2|x＋2|＋a在[－3，－2]上单调递减，在[－2,1]上单调递增，可得g(x)的最小值为g(－2)＝1＋a，
所以4≥1＋a，解得a≤3.
即a的取值范围是(－∞，3]．
14．已知函数f(x)＝2x且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立，则
(1)g(x)＝ 　；
(2)实数a的取值范围是 　.
[解析]　(1)∵f(x)＝g(x)＋h(x)　　①，
其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，
∴f(－x)＝g(－x)＋h(－x)＝－g(x)＋h(x)　②，
①②联立得g(x)＝＝.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝，若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立，即a(2x－2－x)＋≥0恒成立．令t＝2x－2－x，则t∈，则22x＋2－2x＝(2x－2－x)2＋2＝t2＋2，即2at＋t2＋2≥0在t∈上恒成立，即a≥－恒成立．
∵y＝t＋在t∈上单调递增，∴当t＝时，
t＋取得最小值为，∴－的最大值为－，∴a≥－.
故实数a的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)计算下列各式的值：
(1)(×)6＋()－4×－×80.25－(－2 020)0；
(2)eq \f(a－8ab,4b＋2\r(3,ab)＋a)÷×.
[解析]　(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×3))6＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))－4×(24×7－2)－2×(23)－1＝22×33＋2－22×(2－2×7)－2×2－1＝4×27＋2－7－2－1＝100.
(2)原式＝eq \f(a a－8b ,4b＋2 ab ＋a)÷eq \f(a－2b,a)×a＝eq \f(a a－8b ,a＋2 ab ＋4b)×eq \f(a,a－2b)×a＝＝a.
16．(15分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax，得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝x.
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，∴f(2m－1)∵f(x)＝x为减函数，∴2m－1>m＋3，解得m>4.
故实数m的取值范围为(4，＋∞)．
17．(15分)已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3a－4x的定义域为[0,1]．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)的单调性；
(3)求函数g(x)的值域．
[解析]　(1)∵f(x)＝3x，∴f(a＋2)＝3a＋2＝18，
∴3a＝2.
∴g(x)＝2－4x(x∈[0,1])．
(2)设x1，x2为区间[0,1]上任意的两个值，且x14x1，∴g(x2)－g(x1)<0，即g(x2)∴函数g(x)在[0,1]上是减函数．
(3)∵g(x)在[0,1]上是减函数，
∴x∈[0,1]时，有g(1)≤g(x)≤g(0)．
∵g(1)＝2－41＝－2，g(0)＝2－40＝1，
∴－2≤g(x)≤1.
故函数g(x)的值域为[－2,1]．
18．(17分)已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)试判断函数在(－∞，0]上的单调性，并证明．
[解析]　(1)由已知得解得
(2)由(1)知，f(x)＝2x＋2－x.定义域为R.关于原点对称因为f(－x)＝2－x＋2－(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)函数f(x)在(－∞，0]上单调递减．
证明：设x1，x2∈(－∞，0]，且x1f(x1)－f(x2)＝(2 x1＋2－x1)－(2 x2＋2－x2)＝(2 x1－2 x2)＋＝.
∵x10,2x1－2x2<0,2x12x2－1<0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(－∞，0]上单调递减．
19．(17分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明f(x)在R上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
[解析]　(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
经检验a＝1，b＝1符合题意．
(2)证明：由①知f(x)＝任取x1，x2∈R，且x1＝
＝.
∵x10.又(2x1＋1)(2 x2＋1)>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)为R上的减函数．
(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)∵f(x)为R上的减函数，∴t2－2t>k－2t2，即k<3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝32－≥－，
∴k<－.
故k的取值范围为.