(共38张PPT)
课时作业讲评
教学环节二
(教师批阅作业后,据情选点讲评)
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1.(2024·开封质检)已知alog94=1,则2-a= ( )
A. B.
C. D.3
解析:由alog94=1可得4a=9,即(2a)2=9,2a=3,故2-a=.
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2.(2024·南昌一模)已知a=log25,b=log52,c=,则( )
A.c
C.a解析:因为a=log25>log24=2,b=log52√
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3.(2024·北京东城一模)设函数f(x)=+1,则( )
A.f(x)+f=2 B.f(x)-f=2
C.f(x)f=2 D.f(x)=2f
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解析:函数f(x)=+1的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f=+1=-+1.则f(x)+f=+1-+1=2,f(x)-f=+1+-1=,故A正确、B错误;
又当x=e时,f(x)=+1=2,f=+1=0,故C、D错误.
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4.若函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga|x|的大致图象是 ( )
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解析:因为|x|≥0,且y=a|x|的值域为[1,+∞),所以a>1.当x>0时,y=loga|x|=logax在(0,+∞)上单调递增.又函数y=loga|x|=loga|-x|,所以y=loga|x|为偶函数,图象关于y轴对称,所以y=loga|x|的大致图象应为选项A.
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5.(2024·重庆模拟)已知函数y=xa,y=bx,y=logcx在同一平面直角坐标系的图象如图所示,则 ( )
A.locB.locC.sin bD.sin b√
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解析:因为y=xa的图象过(1,1),故由图象可得a<0.又y=bx的图象过(0,1),故由图象可得01.故locb0=1,故loc1
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6.(2024·衡阳联考)某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失Φ(单位:W/m)满足Φ=,其中r1,r2分别为管道的内外半径(单位:mm),t1,t2分别为管道内外表面的温度(单位:℃),λ为保温材料的导热系数(单位:W/(m·℃)).某工厂准备用这种管道传输250 ℃的高温蒸汽,根据安全操作规定,管道外表面温度应控制为50℃,已知管道内半径为60 mm,当管道壁的厚度为75 mm时,Φ=150 W/m,则当管道壁的厚度为120 mm时,Φ约为(参考数据:log32≈0.63)( )
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A.98 W/m B.111 W/m
C.118 W/m D.126 W/m
解析:由题意可得t1=250 ℃,t2=50 ℃,r1=60 mm,r2=60+75=135 mm,Φ=150 W/m,代入得150=,得出2πλ=ln=ln;则当管道壁的厚度为120 mm时,r2=60+120=180 mm,则Φ= =ln×===300(1-log32) ≈300(1-0.63)=111.
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7.(2024·盐城一模)[多选]已知x,y∈R,且12x=3,12y=4,则 ( )
A.y>x B.x+y>1
C.xy< D.+<
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解析:∵12x=3,12y=4,∴x=log123,y=log124.∵y=log12x在(0,+∞)上单调递增,∴y>x,故A正确;
∵x+y=log123+log124=log1212=1,故B错误;
∵x>0,y>0,∴xy≤=,当且仅当x=y时等号成立,又x∵(+)2=x+y+2=1+2<2,即+<,故D正确.
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8.(2024·辽宁二模)[多选]关于函数f(x)=lg,下列说法正确的有( )
A.f(x)的定义域为(-1,1)
B.f(x)的函数图象关于y轴对称
C.f(x)的函数图象关于原点对称
D.f(x)在(0,1)上单调递增
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解析:因为f(x)=lg=lg,则>0,解得-1因为f(-x)=lg=-f(x),即f(x)为奇函数,所以f(x)的函数图象关于原点对称,故B错误、C正确;
因为y=-1在(0,1)上单调递增,y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=lg在(0,1)上单调递增,故D正确.
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9.(2024·怀化二模)[多选]已知函数y=x+ex的零点为x1,y=x+ln x的零点为x2,则 ( )
A.x1+x2>0 B.x1x2<0
C.+ln x2=0 D.x1x2+x1-x2<1
解析:依题意,x1+=0 =-x1,x2+ln x2=0 ln x2=-x2,
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则x1,x2分别是直线y=-x与函数y=ex,y=ln x图
象交点的横坐标,而函数y=ex与y=ln x互为反函数,
它们的图象关于直线y=x对称.(谨记:互为反函数的
图象关于直线y=x对称)又直线y=-x垂直于直线y=x,
则点(x1,)与点(x2,ln x2)关于直线y=x对称,则x2==-x1>0,于是x1+x2=0,x1x2<0,+ln x2=0,B、C正确,A错误;
x1x2+x1-x2-1=(x1-1)(x2+1)<0,即x1x2+x1-x2<1,D正确.
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10.函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:令f(x)=cos πx-2x+1=0,可得 cos πx=2x-1,则函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为曲线y=cos πx与直线y=2x-1的交点个数.
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显然曲线y=cos πx与直线y=2x-1均关于点
对称.又cos 2π>2×2-1,cos 4π<2×
4-1,结合图象,可得曲线y= cos πx与直线y=
2x-1有5个交点,故函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为5.
易错提醒:(2,cos 2π)为曲线y=cos πx在第一象限的从左往右数第一个最高点,(4, cos 4π)为曲线y=cos πx在第一象限的从左往右数第二个最高点.
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11.(2024·合肥二模)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-f(1-a)=0至少有两个不同的实数根,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-4]∪[,+∞) B.[-1,1]
C.(-4,) D.[-4,]
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解析:因为f(x)==作出函数的图象,如图所示,由此可知函数y=f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递减,
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在(1,3)内单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1.又因为关于x的方程f(x)-f(1-a)=0至少有两个不同的实数根,所以f(x)=f(1-a)至少有两个不同的实数根,即y=f(x)的图象与y=f(1-a)至少有两个不同的交点,所以-1≤f(1-a)≤1.又因为当x≤1时,f(x)=x2-2x,令x2-2x=1,可得x=1-;当x≥3时,f(x)=4-x,令4-x=-1,解得x=5,又因为-1≤f(1-a)≤1,所以1-≤1-a≤5,解得-4≤a≤.
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12.若函数f(x)=-的零点属于区间(n,n+1)(n∈N),则n= .
解析:因为y=,y=-都是减函数,所以f(x)=-是减函数.又f(1)=-1=-<0,f(0)=1>0,所以函数f(x)在(0,1)上有唯一零点,所以n=0.
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13.(2024·广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位,“阿托秒”等于10-18秒,原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子·天下》中提到,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,如果把“一尺之棰”的长度看成1米,按照此法,至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.(参考数据:光速为3×108米/秒,lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)
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解析:依题意,光在2“阿托秒”内走的距离为2×10-18×3×108
=6×10-10米,经过n天后,剩余的长度f(n)=米,
由f(n)<6×10-10,得<6×10-10,两边同时取对数,得n>lo(6×10-10)===≈≈30.73.又n∈N*,所以n=31,所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.
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14.(2024·石家庄质检三)给定函数f(x)=|x2+x|,g(x)=x+,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记M(x)=max{f(x),g(x)}.若函数y=M(x)的图象与y=a有3个不同的交点,则实数a的取值范围是 .
思维路径:在同一平面直角坐标系下画出f(x)=|x2+x|,g(x)=x+的图象,求出交点坐标;结合图象再作出满足条件的直线y=a,进而求出a的取值范围即可.
∪(2,+∞)
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解析:由f(x)=|x2+x|=g(x)=x+,作出f(x),g(x)的图象,如图(1),因为M(x)=max{f(x),g(x)},所以作出M(x)的图象,如图(2),
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其中(|x2+x|)max=(-1≤x≤0),当且仅当x=-时取最大值;且设两函数在第一象限的交点为P,即当x>0,y>0,解得x=1,即P(1,2).由题意y=a与函数y=M(x)的图象有3个不同的交点,由数形结合易知,02.
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发散拓展:双重最值问题
先求所给出一组函数式一组变量的最大(小)值,再求所求的最大(小)值的最(小)大值,我们称这类问题为双重最值问题,一般地,max{x1,x2}表示x1,x2中的最大值.min{x1,x2}表示x1,x2中的最小值,解决此类题目,常用数形结合法.
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15.(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
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已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 ( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
解析:因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],
∈[50,60],所以≥,所以p1≥p2,故A正确;
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由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;
假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,由题中表格数据知不可能成立,故B错误;
因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.
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16.(2024·青岛二模)已知正数a,b,c满足aea=bln b=ecln c=1,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.cC.a解析:由aea=bln b=ecln c=1,得ea-=ln b-=ln c-=0,令函数f(x)=ex-,(解题入口:利用式子结构特征构造函数)x>0,显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,而f=-2<0,f(1)=e-1>0,f(a)=0,
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则0;显然函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g=ln-0,g(b)=0,则0,显然函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(1)=-<0,h=ln->ln-=ln->ln e-=0,h(c)=0,则1习得方法:涉及指、对数式关系,比较大小的问题,常根据条件构造函数,借助函数的单调性及函数零点存在定理比较大小.
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17.(2024·厦门模拟)[多选]已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)=+,且f(1)=1,则( )
A.f(0)=0 B.f(-1)=e2
C.exf(x)为奇函数 D.f(x)在(0,+∞)上具有单调性
解析:令x=y=0,则有f(0)=+,即f(0)=0,故A正确;
令x=1,y=-1,则有f(1-1)=+,即f(0)=ef(1)+,又f(0)=0,f(1)=1,故0=e+,即f(-1)=-e2,故B错误;
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令y=-x,则有f(x-x)=+,即f(0)=exf(x)+e-xf(-x),即exf(x)=-e-xf(-x),又函数f(x)的定义域为R,则函数exf(x)的定义域为R,故函数exf(x)为奇函数,故C正确;
令y=x,则有f(x+x)=+,即f(2x)=,即有=,则当x=ln 2时,有==1,即f(2ln 2)=f(ln 2),故f(x)在(0,+∞)上不具有单调性,故D错误.故选AC.
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18.(2024·烟台二模)已知函数f(x)=若f(x)=m存
在四个不相等的实根x1,x2,x3,x4(x1解析:作出函数f(x)=
与y=m的图象如图所示,
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由图可得0发散拓展:在求最值问题时,有时利用三元基本不等式a+b+c≥3(a,b,c均为正实数),当且仅当a=b=c时等号成立,更简捷.(共33张PPT)
基本初等函数、函数与方程
习题讲评（二）
(1)基本初等函数考查点主要涉及指数式和对数式的运算,指、对、幂比较大小,有可能与导数结合考查.
(2)函数的零点个数及参数范围可单独考查,也可渗透在导数大题中考查,应特别关注.
(3)函数模型及应用是近几年高考的热点,常涉及指数函数、对数函数模型,主要考查指、对数式的运算.
题点考法讲评
教学环节一
(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
CONTENTS
目录
1
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教学点(一) 基本初等函数的
图象与性质
教学点(二) 函数模型及其应用
3
教学点(三) 函数与方程
基本初等函数的图象与性质
教学点（一）
[例1] (2024·黑龙江二模)已知函数y=a+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab=( )
A.-1 B.-2
C.-4 D.-9
解析:因为函数y=f(x)=a+b的图象过原点,所以a+b=0,得a+b=0.又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交,所以b=2,则a=-2,所以ab=-4.
√
[例2] (2024·河南名校联考)设a=log32,b=log33,c=log22,d=20.49,则( )
A.aC.a解析:由a=log321=20√
[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为 ( )
A. B.
C. D.1
解析:法一:分类讨论法
审题破题:由于f(x)=x+a与f(x)=ln(x+b)同是增函数,且x+a与ln(x+b)乘积不小于0,所以采用分类讨论的策略解题.
√
函数f(x)的定义域为(-b,+∞),令x+a=0,得x=-a,令ln(x+b)=0得x=1-b.有以下两种情况:
当x∈(-b,1-b]时,ln(x+b)≤0,要满足题意,需使x+a≤0,故1-b+a≤0;当x∈[1-b,+∞)时,ln(x+b)≥0,要满足题意,需使x+a≥0,故1-b+a≥0.从而-a=1-b,则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥.
发散拓展:两个各自仅有一个变号零点的函数,若乘积都大于等于0或小于等于0,则两个函数的零点一定相等.
法二:数形结合法 分别作出y=x+a与y=ln(x+b)的图象,如图(1),图(2)所示.
若要(x+a)ln(x+b)≥0,只有-a=1-b时符合,则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥.
[思维建模] 基本初等函数的解题策略
(1)指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响,解决指数函数、对数函数问题时,首先要看底数a的取值范围.
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的,在解题中可相互转化.
[练1] (2024·天津高考)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
解析:由函数y=4.2x单调递增可知,0a>c.
√
即时训练
[练2] 已知函数f(x)=3x-2-32-x,则满足f(x)+f(8-3x)>0的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,4) B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(-2,2)
解析:设g(x)=3x-3-x,则g(-x)=3-x-3x=-g(x),所以g(x)为奇函数.
(注意:研究函数g(x)=3x-3-x的奇偶性,是解题的第一步)
√
f(x)=3x-2-32-x=g(x-2),则f(x)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,所以f(x)图象的对称中心为(2,0),所以f(x)+f(4-x)=0(为以下转化不等式做准备).
易知f(x)在R上单调递增,因为f(x)+f(8-3x)>0=f(x)+f(4-x),所以f(8-3x)>f(4-x),所以8-3x>4-x,解得x<2,
(利用函数的单调性脱掉“f”,转化为关于x的不等式)
故满足f(x)+f(8-3x)>0的x的取值范围是(-∞,2).
[练3] (2024·安康模拟)已知命题p:函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,命题q:m解析:因为函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,所以-m2+m>0,解得0[1,+∞)
函数模型及其应用
教学点（二）
[典例] (多选)氚,亦称超重氢,是氢的同位素之一,它的原子核由一个质子和两个中子组成,并带有放射性,会发生β衰变,其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·,其中N0表示氚原有的质量,则(参考数据:lg 2≈0.301)( )
A.t=12.43log2
B.经过24.86年后,样本中的氚元素会全部消失
C.经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的
D.若x年后,样本中氚元素的含量为0.4N0,则x>16
√
√
解析:由题意得N=N0·,故有=,左右两边同时取对数得log2=-,故得t=-12.43log2,故A错误;
当t=24.86时,N=N0·=2-2·N0=N0,故B错误;
而当t=62.15时,N=N0·=2-5·N0=N0,得到经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的,故C正确;
由题意得0.4N0=N0·,化简得x=-12.43log2=-12.43log2
=-12.43×(log22-log25)=-12.43×,将lg 2≈0.301代入其中,
可得x≈-12.43×≈16.44>16,故D正确.
[思维建模] 解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学概括,将实际问题归纳为相应的数学问题.
(2)要合理选取参数变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解函数模型使实际问题获解.
《中华人民共和国道路交通安全法》中规定:酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位:mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位:h)近似满足关系式V (t)=其中W为饮酒者的体重(单位:kg),m为酒精摄入量(单位:mL).
即时训练
根据上述关系式,已知某驾驶员体重75 kg,他快速饮用了含150 mL酒精的白酒,若要合法驾驶车辆,最少需在(取:ln 2=0.69,ln 3=1.1,ln 5=1.61) ( )
A.12小时后 B.24小时后
C.26小时后 D.28小时后
√
解析:当0≤t<1时,V(t)=×(-t2+2t+1)=-[(t-1)2-2],
所以V(t)20,当t≥1时,
令V(t)=×=200×<20,即<,
所以t-1>=23,所以t>24.
函数与方程
教学点（三）
[例1] 已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2的根个数不可能是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:
审题破题:将问题转化为求直线y=ax+2与函数y=f(x)图象交点个数.作出f(x)的图象,分a>0,a=0,a<0三种情况讨论.
√
作出函数y=f(x)的图象,如图所示,将原问
题转化为直线y=ax+2[隐含信息:过定点(0,2)]
与函数y=f(x)的图象交点的个数, 由图可知,
当a=0时,直线y=2与函数y=f(x)的图象只有一个
交点;当a<0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有交点;当a>0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有三个交点;所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有两个交点.
[例2] (2024·青岛模拟)已知函数f(x)=ex-a-(x≥1),则使f(x)有零点的一个充分条件是( )
A.a<-1 B.-1C.01
解析:因为f(x)=ex-a-(x≥1),当a≤-1时,ex-a>0,-≥0,所以f(x)>0,f(x)没有零点,故A错误;
√
当a>-1时,y=ex-a与y=-在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=e1-a-a-1,要使f(x)有零点,则需f(x)min≤0,即e1-a-a-1≤0.令g(a)=e1-a-a-1,则g(a)在(-1,+∞)上单调递减,且g(-1)=e2>0,g(0)=e-1>0,g(1)=-1<0,所以存在a0∈(0,1)使得g(a0)=0,
(关键点:结合函数的单调性及函数零点存在定理求解)
所以f(x)有零点的充要条件为a≥a0,所以使f(x)有零点的一个充分条件是a>1.
[思维建模]
利用函数零点的情况求参数值(范围)的方法
直接法 利用函数零点存在定理构造不等式确定参数的取值范围
分离参数法 将参数分离,转化成求函数的值域问题
数形结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中作出函数的图象,然后数形结合求解
[练1] (2024·湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则 ( )
A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点
B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点
C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点
D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点
√
即时训练
解析:两个函数的零点个数转化为图象与y=a的图象的公共点的个数,作出y=|2x-1|,y=x2-4|x|+2的大致图象,如图所示.
由图可知,当g(x)有2个零点时,f(x)无零点或只有1个零点;当g(x)有3个零点时,f(x)只有1个零点;当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点.故选D.
[练2] (2024·济南模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,则实数b的取值范围为( )
A.(0,1] B.[0,1]
C.(0,1) D.(1,+∞)
√
解析:依题意,函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,即f(x)=b有四个解,转化为函数y=f(x)与y=b的图象
有四个交点,由函数y=f(x)可知,
当x∈(-∞,-1)时,函数单调递减,
y∈(0,+∞);
当x∈(-1,0]时,函数单调递增,y∈(0,1];当x∈(0,1)时,函数单调递减,y∈(0,+∞);当x∈[1,+∞)时,函数单调递增,y∈[0,+∞);结合图象,可知实数b的取值范围为(0,1].习题讲评(二) 基本初等函数、函数与方程
(1)基本初等函数考查点主要涉及指数式和对数式的运算,指、对、幂比较大小,有可能与导数结合考查.
(2)函数的零点个数及参数范围可单独考查,也可渗透在导数大题中考查,应特别关注.
(3)函数模型及应用是近几年高考的热点,常涉及指数函数、对数函数模型,主要考查指、对数式的运算.
教学环节一 题点考法讲评(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
教学点(一) 基本初等函数的图象与性质
[例1] (2024·黑龙江二模)已知函数y=a+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab= ( ) A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 [例2] (2024·河南名校联考)设a=log32,b=log33,c=log22,d=20.49,则 ( ) A.ab>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a [练2] 已知函数f(x)=3x-2-32-x,则满足f(x)+f(8-3x)>0的x的取值范围是 ( ) A.(-∞,4) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(-2,2) [练3] (2024·安康模拟)已知命题p:函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,命题q:m教学点(二) 函数模型及其应用
[典例] (多选)氚,亦称超重氢,是氢的同位素之一,它的原子核由一个质子和两个中子组成,并带有放射性,会发生β衰变,其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·,其中N0表示氚原有的质量,则(参考数据:lg 2≈0.301) ( ) A.t=12.43log2 B.经过24.86年后,样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后,样本中氚元素的含量为0.4N0,则x>16 [训练] 《中华人民共和国道路交通安全法》中规定:酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位:mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位:h)近似满足关系式V (t)=其中W为饮酒者的体重(单位:kg),m为酒精摄入量(单位:mL).根据上述关系式,已知某驾驶员体重75 kg,他快速饮用了含150 mL酒精的白酒,若要合法驾驶车辆,最少需在(取:ln 2=0.69,ln 3=1.1,ln 5=1.61) ( ) A.12小时后 B.24小时后 C.26小时后 D.28小时后 [自助空间] 思维建模: 解决函数实际应用题的两个关键点 (1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学概括,将实际问题归纳为相应的数学问题. (2)要合理选取参数变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解函数模型使实际问题获解.
教学点(三) 函数与方程
[例1] 已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2的根个数不可能是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [例2] (2024·青岛模拟)已知函数f(x)=ex-a-(x≥1),则使f(x)有零点的一个充分条件是 ( ) A.a<-1 B.-11 [练1] (2024·湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则 ( ) A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点 B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点 C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点 D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点 [练2] (2024·济南模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,则实数b的取值范围为 ( ) A.(0,1] B.[0,1] C.(0,1) D.(1,+∞) [自助空间] 思维建模:利用函数零点的情况求参数值(范围)的方法 直接法利用函数零点存在定理构造不等式确定参数的取值范围分离 参数法将参数分离,转化成求函数的值域问题数形 结合法先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中作出函数的图象,然后数形结合求解
教学环节二 课时作业讲评(教师批阅作业后,据情选点讲评)
1.(2024·开封质检)已知alog94=1,则2-a= ( ) A. B. C. D.3 2.(2024·南昌一模)已知a=log25,b=log52,c=,则 ( ) A.c0且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga|x|的大致图象是 ( ) 5.(2024·重庆模拟)已知函数y=xa,y=bx,y=logcx在同一平面直角坐标系的图象如图所示,则 ( ) A.loc6.(2024·衡阳联考)某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失Φ(单位:W/m)满足Φ=,其中r1,r2分别为管道的内外半径(单位:mm),t1,t2分别为管道内外表面的温度(单位:℃),λ为保温材料的导热系数(单位:W/(m·℃)).某工厂准备用这种管道传输250 ℃的高温蒸汽,根据安全操作规定,管道外表面温度应控制为50℃,已知管道内半径为60 mm,当管道壁的厚度为75 mm时,Φ=150 W/m,则当管道壁的厚度为120 mm时,Φ约为(参考数据:log32≈0.63) ( ) A.98 W/m B.111 W/m C.118 W/m D.126 W/m 7.(2024·盐城一模)[多选]已知x,y∈R,且12x=3,12y=4,则 ( ) A.y>x B.x+y>1 C.xy< D.+< 8.(2024·辽宁二模)[多选]关于函数f(x)=lg,下列说法正确的有 ( ) A.f(x)的定义域为(-1,1) B.f(x)的函数图象关于y轴对称 C.f(x)的函数图象关于原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增 9.(2024·怀化二模)[多选]已知函数y=x+ex的零点为x1,y=x+ln x的零点为x2,则 ( ) A.x1+x2>0 B.x1x2<0 C.+ln x2=0 D.x1x2+x1-x2<1 10.函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.(2024·合肥二模)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-f(1-a)=0至少有两个不同的实数根,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-4]∪[,+∞) B.[-1,1] C.(-4,) D.[-4,] 12.若函数f(x)=-的零点属于区间(n,n+1)(n∈N),则n= . 13.(2024·广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位,“阿托秒”等于10-18秒,原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子·天下》中提到,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,如果把“一尺之棰”的长度看成1米,按照此法,至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.(参考数据:光速为3×108米/秒,lg 2≈0.3,lg 3≈0.48) 14.(2024·石家庄质检三)给定函数f(x)=|x2+x|,g(x)=x+,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记M(x)=max{f(x),g(x)}.若函数y=M(x)的图象与y=a有3个不同的交点,则实数a的取值范围是 . 15.(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 ( ) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 16.(2024·青岛二模)已知正数a,b,c满足aea=bln b=ecln c=1,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.c习题讲评(二) 基本初等函数、函数与方程
教学环节一 题点考法讲评
教学点(一) 基本初等函数的图象与性质
[例1] 选C
因为函数y=f(x)=a+b的图象过原点,所以a+b=0,得a+b=0.又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交,所以b=2,则a=-2,所以ab=-4.
[例2] 选C
由a=log32[例3] 选C
法一:分类讨论法
审题破题:由于f(x)=x+a与f(x)=ln(x+b)同是增函数,且x+a与ln(x+b)乘积不小于0,所以采用分类讨论的策略解题.
函数f(x)的定义域为(-b,+∞),令x+a=0,得x=-a,令ln(x+b)=0得x=1-b.有以下两种情况:
当x∈(-b,1-b]时,ln(x+b)≤0,要满足题意,需使x+a≤0,故1-b+a≤0;当x∈[1-b,+∞)时,ln(x+b)≥0,要满足题意,需使x+a≥0,故1-b+a≥0.从而-a=1-b,则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥.
法二:数形结合法 分别作出y=x+a与y=ln(x+b)的图象,如图(1),图(2)所示.
若要(x+a)ln(x+b)≥0,只有-a=1-b时符合,则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥.
[练1] 选B
由函数y=4.2x单调递增可知,0a>c.
[练2] 选B
设g(x)=3x-3-x,则g(-x)=3-x-3x=-g(x),所以g(x)为奇函数.
(注意:研究函数g(x)=3x-3-x的奇偶性,是解题的第一步)
f(x)=3x-2-32-x=g(x-2),则f(x)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,所以f(x)图象的对称中心为(2,0),所以f(x)+f(4-x)=0(为以下转化不等式做准备).
易知f(x)在R上单调递增,因为f(x)+f(8-3x)>0=f(x)+f(4-x),所以f(8-3x)>f(4-x),所以8-3x>4-x,解得x<2,(利用函数的单调性脱掉“f”,转化为关于x的不等式)
故满足f(x)+f(8-3x)>0的x的取值范围是(-∞,2).
[练3] 答案:[1,+∞)
解析:因为函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,所以-m2+m>0,解得0教学点(二) 函数模型及其应用
[典例] 选CD
由题意得N=N0·,故有=,左右两边同时取对数得log2=-,故得t=-12.43log2,故A错误;
当t=24.86时,N=N0·=2-2·N0=N0,故B错误;
而当t=62.15时,N=N0·=2-5·N0=N0,得到经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的,故C正确;
由题意得0.4N0=N0·,化简得x=-12.43log2=-12.43log2=-12.43×(log22-log25)=-12.43×,将lg 2≈0.301代入其中,可得x≈-12.43×≈16.44>16,故D正确.
[训练] 选B
当0≤t<1时,V(t)=×(-t2+2t+1)=-[(t-1)2-2],所以V(t)20,当t≥1时,令V(t)=×=200×<20,即<,
所以t-1>=23,所以t>24.
教学点(三) 函数与方程
[例1] 选C
审题破题:将问题转化为求直线y=ax+2与函数y=f(x)图象交点个数.作出f(x)的图象,分a>0,a=0,a<0三种情况讨论.
作出函数y=f(x)的图象,如图所示,将原问题转化为直线y=ax+2[隐含信息:过定点(0,2)]与函数y=f(x)的图象交点的个数,
由图可知,当a=0时,直线y=2与函数y=f(x)的图象只有一个交点;当a<0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有交点;当a>0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有三个交点;所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有两个交点.
[例2] 选D
因为f(x)=ex-a-(x≥1),当a≤-1时,ex-a>0,-≥0,所以f(x)>0,f(x)没有零点,故A错误;
当a>-1时,y=ex-a与y=-在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=e1-a-a-1,要使f(x)有零点,则需f(x)min≤0,即e1-a-a-1≤0.令g(a)=e1-a-a-1,则g(a)在(-1,+∞)上单调递减,且g(-1)=e2>0,g(0)=e-1>0,g(1)=-1<0,所以存在a0∈(0,1)使得g(a0)=0,(关键点:结合函数的单调性及函数零点存在定理求解)
所以f(x)有零点的充要条件为a≥a0,所以使f(x)有零点的一个充分条件是a>1.
[练1] 选D
两个函数的零点个数转化为图象与y=a的图象的公共点的个数,作出y=|2x-1|,y=x2-4|x|+2的大致图象,如图所示.
由图可知,当g(x)有2个零点时,f(x)无零点或只有1个零点;当g(x)有3个零点时,f(x)只有1个零点;当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点.故选D.
[练2] 选A 依题意,函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,即f(x)=b有四个解,转化为函数y=f(x)与y=b的图象有四个交点,由函数y=f(x)可知,当x∈(-∞,-1)时,函数单调递减,y∈(0,+∞);当x∈(-1,0]时,函数单调递增,y∈(0,1];当x∈(0,1)时,函数单调递减,y∈(0,+∞);当x∈[1,+∞)时,函数单调递增,y∈[0,+∞);结合图象,可知实数b的取值范围为(0,1].
教学环节二 课时作业讲评
1.选C
由alog94=1可得4a=9,即(2a)2=9,2a=3,故2-a=.
2.选D
因为a=log25>log24=2,b=log523.选A
函数f(x)=+1的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f=+1=-+1.则f(x)+f=+1-+1=2,f(x)-f=+1+-1=,故A正确、B错误;又当x=e时,f(x)=+1=2,f=+1=0,故C、D错误.
4.选A
因为|x|≥0,且y=a|x|的值域为[1,+∞),所以a>1.当x>0时,y=loga|x|=logax在(0,+∞)上单调递增.又函数y=loga|x|=loga|-x|,所以y=loga|x|为偶函数,图象关于y轴对称,所以y=loga|x|的大致图象应为选项A.
5.选B
因为y=xa的图象过(1,1),故由图象可得a<0.又y=bx的图象过(0,1),故由图象可得01.故locb0=1,故loc6.选B
由题意可得t1=250 ℃,t2=50 ℃,r1=60 mm,r2=60+75=135 mm,Φ=150 W/m,代入得150=,得出2πλ=ln=ln;则当管道壁的厚度为120 mm时,r2=60+120=180 mm,则Φ= =ln×===300(1-log32)≈300(1-0.63)=111.
7.选ACD
∵12x=3,12y=4,∴x=log123,y=log124.∵y=log12x在(0,+∞)上单调递增,∴y>x,故A正确;
∵x+y=log123+log124=log1212=1,故B错误;
∵x>0,y>0,∴xy≤=,当且仅当x=y时等号成立,又x∵(+)2=x+y+2=1+2<2,即+<, 故D正确.
8.选ACD
因为f(x)=lg=lg,则>0,解得-19.选BCD
依题意,x1+=0 =-x1,x2+ln x2=0 ln x2=-x2,
则x1,x2分别是直线y=-x与函数y=ex,y=ln x图象交点的横坐标,而函数y=ex与y=ln x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
(谨记:互为反函数的图象关于直线y=x对称)
又直线y=-x垂直于直线y=x,则点(x1,)与点(x2,ln x2)关于直线y=x对称,则x2==-x1>0,于是x1+x2=0,x1x2<0,+ln x2=0,B、C正确,A错误;x1x2+x1-x2-1=(x1-1)(x2+1)<0,即x1x2+x1-x2<1,D正确.
10.选C
令f(x)=cos πx-2x+1=0,可得 cos πx=2x-1,则函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为曲线y=cos πx与直线y=2x-1的交点个数.
显然曲线y=cos πx与直线y=2x-1均关于点对称.又cos 2π>2×2-1,cos 4π<2×4-1,结合图象,可得曲线y= cos πx与直线y=2x-1有5个交点,故函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为5.
易错提醒:(2,cos 2π)为曲线y=cos πx在第一象限的从左往右数第一个最高点,(4,cos 4π)为曲线y=cos πx在第一象限的从左往右数第二个最高点.
11.选D
因为f(x)==作出函数的图象,如图所示,由此可知函数y=f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递减,
在(1,3)内单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1.又因为关于x的方程f(x)-f(1-a)=0至少有两个不同的实数根,所以f(x)=f(1-a)至少有两个不同的实数根,即y=f(x)的图象与y=f(1-a)至少有两个不同的交点,所以-1≤f(1-a)≤1.又因为当x≤1时,f(x)=x2-2x,令x2-2x=1,可得x=1-;当x≥3时,f(x)=4-x,令4-x=-1,解得x=5,又因为-1≤f(1-a)≤1,所以1-≤1-a≤5,解得-4≤a≤.
12.答案:0
解析:因为y=,y=-都是减函数,所以f(x)=-是减函数.又f(1)=-1=-<0,f(0)=1>0,所以函数f(x)在(0,1)上有唯一零点,所以n=0.
13.答案:31
解析:依题意,光在2“阿托秒”内走的距离为2×10-18×3×108=6×10-10米,经过n天后,剩余的长度f(n)=米,由f(n)<6×10-10,得<6×10-10,两边同时取对数,得n>lo(6×10-10)===≈≈30.73.又n∈N*,所以n=31,所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.
14.答案:∪(2,+∞)
思维路径:在同一平面直角坐标系下画出f(x)=|x2+x|,g(x)=x+的图象,求出交点坐标;结合图象再作出满足条件的直线y=a,进而求出a的取值范围即可.
解析:由f(x)=|x2+x|=g(x)=x+,作出f(x),g(x)的图象,如图(1),
因为M(x)=max{f(x),g(x)},所以作出M(x)的图象,如图(2),其中(|x2+x|)max=(-1≤x≤0),当且仅当x=-时取最大值;且设两函数在第一象限的交点为P,即当x>0,y>0,解得x=1,即P(1,2).由题意y=a与函数y=M(x)的图象有3个不同的交点,由数形结合易知,02.
15.选ACD
因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以≥,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,由题中表格数据知不可能成立,故B错误;因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.
16.选D
由aea=bln b=ecln c=1,得ea-=ln b-=ln c-=0,令函数f(x)=ex-,(解题入口:利用式子结构特征构造函数)
x>0,显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,而f=-2<0,f(1)=e-1>0,f(a)=0,则ln x-,x>0,显然函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g=ln-0,g(b)=0,则0,显然函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(1)=-<0,h=ln->ln-=ln->ln e-=0,h(c)=0,则117.选AC
令x=y=0,则有f(0)=+,即f(0)=0,故A正确;
令x=1,y=-1,则有f(1-1)=+,即f(0)=ef(1)+,又f(0)=0,f(1)=1,故0=e+,即f(-1)=-e2,故B错误;
令y=-x,则有f(x-x)=+,即f(0)=exf(x)+e-xf(-x),即exf(x)=-e-xf(-x),又函数f(x)的定义域为R,则函数exf(x)的定义域为R,故函数exf(x)为奇函数,故C正确;
令y=x,则有f(x+x)=+,即f(2x)=,即有=,则当x=ln 2时,有==1,即f(2ln 2)=f(ln 2),故f(x)在(0,+∞)上不具有单调性,故D错误.
18.答案:3
解析:作出函数f(x)=与y=m的图象如图所示,
由图可得0
