北师大版九年级上第1章 特殊平行四边形 单元测试（含答案）

北师大版九年级上 第1章 特殊的平行四边形 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF=2，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的面积等于（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
3．如图，AC是正方形ABCD的对角线，以AD为边向正方形内部作等边三角形ADE，边DE交AC于点F，则∠EFC的度数是（　　）
A．45° B．60° C．65° D．75°
4．正方形的面积是，则它的对角线长是（　　）
A． B． C． D．
5．矩形的两条对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（　　）
A．57.5° B．32.5°
C．57.5°，33.5° D．57.5°，32.5°
6．如图，在正方形ABCD中作等边△AEF，则∠AFD的度数为（　　）
A．40° B．75° C．50° D．55°
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、CD上，连接AF交BD于点G，连接BE交AC于点H，连接HG．若AF=BE，则下列结论：①AF⊥BE；②BH=AG；③HG=GD；④△ABH≌△GBH；⑤S△AHE：S△AGD=GF：BH．其中正确的是（　　）
A．① B．①② C．①②⑤ D．①②③④⑤
8．如图，正方形ABCD的边长为5，AG=CH=4，BG=DH=3，连接GH，则线段GH的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A=26°，则∠BDC的度数是（　　）
A．50° B．51° C．52° D．53°
10．如图，四边形ABCD和BEFG都是正方形，点E在边AB上，点G在边CB的延长线上，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB=14，BE=10，则MN=（　　）
A．14 B．13 C．10 D．12
11．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE=DP=1，PC=，有下列结论：
①△APD≌△CED；
②AE⊥CE；
③点C到直线DE的距离为；
④S正方形ABCD=5+2；
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为 （　　）
A．2 B．4 C．8 D．
二．填空题（共5小题）
13．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：______，使四边形ABCD成为菱形．
14．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF=4，CE=2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB=∠PFC，则线段PN的最小值为 ______．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别是边AB、BC的中点，若AB=5，BD=8，则△OEF的周长等于______．
16．如图，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点H为BG的中点，连接AH．若AB=2，BE=1，则AH的长为 ______．
17．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在矩形ABCD中，AB=3，E在边AD上，且AE=4，点F是CD的中点，EF平分∠BED，求DE的长．
19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB=60°，AC=4，求菱形AOBE的面积．
20．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点，作OF∥AB，交BE延长于点F，连接AF．
（1）求证：△AEB≌△OEF；
（2）连接DF，当∠BAD=______°时，四边形AODF是菱形．
21．如图所示，四边形ABCD为正方形，F、G分别为边AD、BC上的点，BE⊥FG于E．
（1）求证：∠ABE=∠GFD；
（2）在EF上截取EH=BE，连接DH，O为DH的中点，连接AO、AE．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AO和AE的数量关系，并证明．
22．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm.动点P、Q分别从点A、C以2cm/s的速度同时出发，动点P沿AB向终点B运动，动点Q沿CD向终点D运动，D连结PQ交对角线AC于点O．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当四边形APQD是矩形时，求t的值；
（2）当四边形APCQ是菱形时，求t的值．
北师大版九年级上第1章特殊的平行四边形单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、A 3、D 4、B 5、D 6、B 7、C 8、A 9、C 10、B 11、B 12、B
二．填空题（共5小题）
13、AD∥BC（AB=CD或 OB=OD 或∠ADB=∠CBD 等）； 14、； 15、8； 16、； 17、3；
三．解答题（共5小题）
18、解：如图，
延长EF交BC的延长线于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠G，
∵∠DFE=∠CFG，
DF=CF，
∴△DEF≌△CGF（AAS），
∴DE=CG；
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF=∠DEF，
又∵AD∥BG，
∴∠DEF=∠BGF，
∴∠BEF=∠BGF，
∴BE=BG；
在Rt△ABE中，
由勾股定理得，BE=5，
∴BG=5，
设DE=x,则BG=4+2x,
∴4+2x=5，
解得x=
所以ED的长为．
19、（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=60°，
∴BF=OB sin∠AOB=2×=，
∴菱形AOBE的面积是：OA BF=2×=2．
20、（1）证明：∵AB∥OF，
∴∠ABF=∠OFB，
∵E为OA的中点，
∴AE=OE，
在△AEB与△OEF中，
，
∴△AEB≌△OEF（AAS），
（2）解：若∠BAD=90°，则四边形AODF是菱形，
证明：在 ABCD中，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=AC，OD=BD，
∴AO=OD，
∵△AEB≌△OEF，
∴AB=OF，
∵AB∥OF，
∴四边形ABOF是平行四边形，
∴AF∥OB，AF=OB，
∴AF=OD，
∴四边形AODF是平行四边形，
∵AO=OD，
∴四边形AODF是菱形．
故答案为：90．
21、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，BC∥AD，
∴∠GBE+∠ABE=90°，∠BGF=∠GFD，
∵BE⊥GF，
∴∠BGF+∠GBE=90°，
∴∠ABE=∠BGF
∴∠ABE=∠GFD；
（2）①依题意补全图形如图1所示：
②线段AO和AE的数量关系是：AE=AO，证明如下：
连接EO，过点D作DM∥EF交EO的延长线于M，连接AM，如图2所示：
则∠HEO=∠M，∠ADM=∠GFD，
∵O为DH的中点，
∴OH=OD，
在△HEO和△DMO中，
，
∴△HEO≌△DMO（AAS），
∴OE=OM，EH=MD，
∵EH=BE，
∴BE=MD，
由①可知：∠ABE=∠GFD，
∴∠ABE=∠ADM，
在△ABE和△ADM中，
，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠DAM+∠EAD=90°，
∴∠EAM=90°，
即△AEM为等腰直角三角形，
又∵OE=OM，
∴AO⊥EM，AO=OE=OM，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2=AO2+OE2=2AO2，
∴AE=AO．
22、解：（1）由题得，AP=CQ=2t cm,
∴DQ=（8-2t） cm,
当四边形APQD是矩形时，DQ=AP，
即8-2t=2t,
∴t=2；
（2）当四边形APCQ是菱形时，PQ⊥AC，
∵∠B=90°，
∴△AOP∽△ABC，
∵AB=8cm,BC=6cm,
∴AC=10cm,
∴OA=AC=5cm,
∵AP：AC=AO：AB，即2t：10=5：8，
∴t=．