北师大版九年级上第2章 一元二次方程 单元测试（含答案）

北师大版九年级上 第2章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．x2+xy+2=0 C．x+y-4=0 D．x2-2x+3=0
2．解一元二次方程（x-1）2=2（x-1）最适宜的方法是（　　）
A．直接开平方 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法
3．把一元二次方程4x2-4x+1=x-5化为一般形式后，若二次项系数为4，则一次项的系数是（　　）
A．-5 B．-3 C．4 D．6
4．一元二次方程中有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+3=0 B．x2+3x=0
C．（x+3）2=0 D．（x-3）（x+3）=0
5．某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器231台．设二、三月份生产量的平均增长率为x,则可列方程为（　　）
A．100（1+x）2=231
B．100（1+x）+100（1+x）2=231
C．100+100（1+x）+100（1+x）2=231
D．100（1-x）2=231
6．关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0，则另一根是（　　）
A．1或-1 B．-1 C． D．1
7．方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．若a,b是方程x2-2x-2024=0的两根，则a+b-ab的值为（　　）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
9．已知等腰△ABC的一边AB=5，另外两边是关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4=0的根．则△ABC的周长为（　　）
A．11或19 B．15或13 C．11或15 D．19或13
10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0．若方程的两根x1，x2满足x1x2+x1+x2=4，则m的值是（　　）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．无法确定
11．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如2021（x-3）2+4=0与3（x-3）2+4=0是“同族二次方程”，现有关于x的一元二次方程2（x-1）2+1=0与（a+2）x2+（b-4）x+8=0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2024能取的最小值是（　　）
A．2023 B．2024 C．2018 D．2019
12．关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，方程的两根分别是x1、x2，且，则m值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．方程3x2=16x的根是______．
14．将一元二次方程2x-6=x2+x-1化成一般形式为 ______．
15．一元二次方程x2-4=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值为 ______．
16．求代数式2x2-7x+3的最小值为 ______．
17．已知实数a,b,c满足a+b+c=2-16，则a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）=______．
三．解答题（共5小题）
18．解方程：
（1）x2=2x；
（2）x2-4x-1=0．
19．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+2k=0（k为常数）．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根；
（2）不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为 ______．
20．已知关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0．
（1）当t=3时，解这个方程；
（2）若m,n是方程的两个实数根，设Q=（m-）（n-），试求Q的最小值．
21．已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2=6+x1+x2，求实数k的值．
22．已知关于x的一元二次方程ax2+x-a-1=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）设方程的两个根分别为x1，x2，求（x1-1）（x2-1）的值．
北师大版九年级上第2章一元二次方程单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、解：A、，不是整式方程，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、x2+xy+2=0，该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、x+y-4=0，该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、x2-2x+3=0，该方程符合一元二次方程的定义，故D符合题意．
故选：D．
2、解：解一元二次方程（x-1）2=2（x-1）最适宜的方法是因式分解法，
故选：C．
3、解：一元二次方程4x2-4x+1=x-5化为一般形式为4x2-5x+6=0，
∴一次项系数为-5，
故选：A．
4、解：A．∵Δ=02-4×1×3=-12＜0，
∴方程x2+3=0没有实数根，选项A不符合题意；
B．∵Δ=32-4×1×0=9＞0，
∴方程x2+3x=0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C．∵（x+3）2=0，
∴x1=x2=-3，选项C符合题意；
D．∵（x-3）（x+3）=0，
∴x1=3，x2=-3，选项D不符合题意．
故选：C．
5、解：设二、三月份的平均增长率为x,则二月份的生产量为100×（1+x）台，三月份的生产量为100×（1+x）（1+x）台，
根据题意得：100（1+x）+100（1+x）2=231，
故选：B．
6、C
【分析】本题主要考查的是一元二次方程解的应用以及一元二次方程的定义，根据关于的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，将x=0代入方程，解出a的值，再根据一元二次方程的定义即可求得答案．
【详解】解：根据题意：（a-1）×02+0+a2-1=0，即a2-1=0，
解得：a=±1，
∵a-1≠0，
∴a≠1，
∴a=-1，
∴原一元二次方程为：-2x2+x+（-1）2-1=0，即-2x2+x=0，
解得：，
根据题意另一个根是，
故选：C．
7、解：∵方程，
∴Δ=b2-4ac=（2）2-4×1×3=8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8、解：由韦达定理得，，
所以，a+b-ab=2-（-2024）=2+2024=2026．
故选：C．
9、解：①当AB为底时，则方程x2-2mx+m2-4=0有两个相同的实数根，
此时Δ=4m2-4（m2-4）=16＞0，
故AB为底不成立；
②当AB为腰时，则另一腰为5，
即52-10m+m2-4=0，
解得m1=3，m2=7，
当m=3时，x2-6x+5=0，
解得x1=1，x2=5，
∴△ABC的周长为1+5+5=11；
当m=7时，x2-14x+45=0，
解得x1=9，x2=5，
∴△ABC的周长为5+5+9=19；
综上所述，△ABC的周长为11或19，
故选：A．
10、解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两根，
∴Δ=（2m-1）2-4m2≥0，
∴m≤，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0的两根，
∴x1+x2=-（2m-1），x1x2=m2，
∵x1x2+x1+x2=4，
∴m2-（2m-1）=4，
解得m1=-1，m2=3，
∵m≤，
故m的值是-1．
故选：A．
11、解：∵2（x-1）2+1=0与（a+2）x2+（b-4）x+8=0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b-4）x+8=（a+2）（x-1）2+1，
∴（a+2）x2+（b-4）x+8=（a+2）x2-2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2024=5x2-10x+2024=5（x-1）2+2019，
∴当x=1时，ax2+bx+2024能取的最小值是2019，
故选：D．
12、解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，方程的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2，x1 x2=2m-1，
∵Δ=（-2）2-4（2m-1）=8（1-m）≥0，
∴m≤1，
∵，
∴+=（x1 x2）2，
∴4-2（2m-1）=（2m-1）2，
整理得：4m2=5，
解得，
∵m≤1，
∴，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
13、x1=0，x2=； 14、x2-x+5=0； 15、0； 16、-； 17、54；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）x2=2x
x2-2x=0
x（x-2）=0
∴x=0或x-2=0，
解得，x1=0，x2=2；
（2）x2-4x-1=0
x2-4x=1
（x-2）2=5
x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-．
19、（1）证明：x2-（2k+1）x+2k=0，
∵Δ=[-（2k+1）]2-4×2k=4k2-4k+1=（2k-1）2≥0，
∴无论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：原方程变形为x2-（2x-2）k-x=0，
由题意可得：2x-2=0，
（2x-2）=0，
解得x=1．
20、解：（1）当t=3时，原方程即为x2-6x+7=0
Δ=（-6）2-4×7=8，
x==3±，
所以x1=3+，x2=3-；
（2）根据题意得Δ=4t2-4（t2-2t+4）≥0，解得t≥2，
∵m,n是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴m+n=2t,mn=t2-2t+4
∴Q=mn-（m+n）+
=t2-2t+4-t+
=（t-）2+2，
∵t≥2，
∴当t=2时，Q有最小值，最小值为（2-）2+2=．
21、解：（1）∵关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，
∴Δ=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤；
（2）∵关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=1-2k,x1 x2=k2-1．
∵x1x2=6+x1+x2，
∴k2-1=6+1-2k,
∴k2+2k=8，
∴（k+1）2=9，
∴k+1=±3，
解得k1=-4，k2=2，
由（1）知，k≤，
∴k=2不符合题意，
∴k=-4．
22、（1）证明：∵Δ=12-4×a×（-a-1）=1+4a2+4a=（2a+1）2≥0，
∴方程总有实数根．
（2）解：∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴，，
∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1==0．