1.1 探索勾股定理（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

1.1 探索勾股定理（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A．勾股定理 B．三角形内角和定理
C．三角形全等 D．中心对称图形
2．在中，，，，则a的值是（　　）
A．8 B．6 C．10 D．
3．在直角三角形中，若一条直角边长是6，另一条直角边长是8，则斜边长的平方是（ ）
A．10 B．25 C．50 D．100
4．在中，斜边的长为6，则的值为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
5．在中，，，高，则的周长为（ ）
A．42 B．52 C．42或60 D．52或70
6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
7．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为，．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，已知，那么的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
9．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
二、填空题
10．观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ．
11．如图，已知：在中，直径弦于E，，则的半径为 ．
12．在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ．
13．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ．
14．如图，在中，，，垂足为D．如果，，则的长为 ．
三、解答题
15．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：．
16．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度米，门的最高点到的距离米，求这个圆形“月亮门”的半径．
17．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项目名称 测量学校旗杆的高
项目背景 某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
项目方案 ①如图，旗杆垂直地面．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，发现多出了一段绳子．用皮尺测出的长度；②随后小丽同学将绳子末端放置于头顶处，沿方向后退，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出小丽的身高及点与旗杆底端的水平距离．
测量数据 ，，．
请根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高．
18．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，
，，，，求四边形的面积．

参考答案
1．A
【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可．
【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的，
∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理．
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了勾股定理，此题需先确定斜边，然后再根据勾股定理进行计算，确定斜边是解本题的关键．
利用勾股定理即可求出．
【详解】解：∵，
∴斜边为a，
∵，，
∴．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．
直接根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵在直角三角形中，若一条直角边长是6，另一条直角边长是8，
∴斜边长的平方，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理，根据在中，斜边的长为6，得出，即可作答．
【详解】解：∵在中，斜边的长为6，
∴，
∴，
故选：D
5．C
【分析】本题考查了勾股定理，解本题时注意应分两种情况进行讨论．
分两种情况：高在三角形内部和高在三角形外部，再结合勾股定理，分别进行列式计算，即可作答．
【详解】解：当高在三角形内部时，如图：
在中，
，
在中，
，
∴，
∴的周长为：；
当高在三角形外部时，如图：
在中，，
在中，，
∴．
∴的周长为：，
∴当为锐角三角形时，的周长为60；当为钝角三角形时，的周长为42．
综上所述，的周长是60或42．
故选C．
6．C
【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，故该选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：，
，
故该选项不能证明勾股定理；
D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理；
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，熟练掌握公式变形以及弦图的几何意义是解题的关键．
根据题意，得是大正方形的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∴，
∴．
∴大正方形的边长为．
故选D．
8．B
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，，，，则，
在中，由勾股定理得：，
∴米，
即门铃恰好自动响起，则的长为4米，
故选：C．
10． 11，60，61 ，，
【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数．
【详解】解：①，，，
②，，，
③，，，
，
第组勾股数为：
，，，
第⑤组勾股数为，，，即11，60，61．
故答案为：11，60，61；，，．
【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
11．
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，连接，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴的半径为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了正方形与等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形的性质求出最大正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出最大等腰直角三角形的腰长为，即中等正方形的边长为，同理求出中等等腰直角三角形的腰长为，即最小正方形的边长为，计算即可得到答案．
【详解】解：最大的正方形的面积为，设最大正方形的边长为，
，
，
所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为，
，
，
中等正方形的边长为，
同理可得中等等腰直角三角形的腰长为，最小正方形的边长为，
图③中所有正方形的面积和为，
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答．
【详解】解：连接，，设与相交于O，
根据作图过程，得，，
∴垂直平分，则，，
∵在中，，，，
∴，
由得
，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积．根据勾股定理可得的长，再由，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
15．见解析
【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论．
【详解】解：连接．
因为，
所以，
所以，，
因为，
所以．
因为M为中点，
所以，
所以．
16．这个圆形“月亮门”的半径是1米
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．设这个圆形“月亮门”的半径为米，则米，由勾股定理得，，解得得值，即为这个圆形“月亮门”的半径．
【详解】解：连接，
设这个圆形“月亮门”的半径为米，则米，
由勾股定理得，，
解得：，
答：这个圆形“月亮门”的半径是1米．
17．学校旗杆的高为
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设，过点作于点，在中根据勾股定理求出的值即可．
【详解】解：过点作于点，
，
∴四边形是矩形，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得：
即
解得，
，
答：学校旗杆的高为．
18．
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等．根据题意可得，继而得到，，再利用三角形面积公式即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴．