1.2 一定是直角三角形吗（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

1.2 一定是直角三角形吗（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下列不能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．2，2，3 B．6，8， C．3，4，5 D．5，，
2．一个三角形的三边长分别为，，则最长边上的高是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组数中，勾股数是（ ）
A．3，4，5 B．，2， C．，， D．0.3，0.4，0.5
4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
6．若的三边满足，则的最大内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
8．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15
9．已知为正整数，且，下列各项为三角形的三条边长：①，②，③，④，其中必定构成直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若一个三角形的三边长分别是12、16、20，则这个三角形的形状是 ．
12．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ．
13．将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数 ．
14．已知是的三边长，若，则的形状是 ．
15．如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．如图，在中，，求边上的高．

17．如图，四边形 中， 平分 为 上一点， ．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的长．
18．如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求三角形花园的面积．
19．已知：如图，在中，是边上的中线，，，．求证：．
参考答案
1．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】A、三边中最长边为3，，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查判断三角形的形状，求直角三角形斜边上的高，在解题过程中需要用到等面积法．先判断三角形是否为直角三角形，再利用等面积法求最长边上的高．
【详解】解：∵三边分别为、、且，
∴该三角形为直角三角形，直角边为和，斜边为．
设斜边上的高为，则：，
解得：，
∴最长边上的高为，
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查勾股数．勾股数必须都是正整数，同时还满足较小的两数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，本选项符合题意；
B、，，不是正整数，不是勾股数，本选项不符合题意；
C、，，，不是正整数，不是勾股数，本选项不符合题意；
D、0.3，0.4，0.5，不是正整数，不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键．
根据勾股定理逆定理分别计算并判断．
【详解】解：A、∵，
∴能组成直角三角形，符合题意；
B、∵，
∴不能组成直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴不能组成直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴不能组成直角三角形，不符合题意，
故选：A．
5．B
【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点．
根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可．
【详解】如图所示，
当是斜边时，由网格可得，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，
∵
∴；
∴第三个顶点可以是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，
∵
∴；
∴第三个顶点可以是G．
∴共有6个满足条件的顶点．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，设，，，可得，推出是直角三角形，可得最大内角的度数为．
【详解】解：，
设，，，
，，
，
是直角三角形，
的最大内角的度数为，
故选C．
7．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可．
【详解】解：，
可构成直角三角形，且斜边为5，故选项B不符合题意；
∵，且，
∴可构成钝角三角形，故选项C符合题意；
∵，故选项D不能构成三角形，不符合题意；
∵，故选项A不符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是判断每组数中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方．
对每个选项，确定最长边，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，若不相等则不能构成直角三角形．
【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长a、b、为最长边）满足则该三角形为直角三角形．
A.边长为，最长边为8．
计算
∵，
∴不能构成直角三角形．
B.边长为，最长边为．
计算，
∵，
∴能构成直角三角形．
C.边长为，最长边为．
计算，
∵，
∴能构成直角三角形．
D.边长为，最长边为．
计算，
∵，
∴能构成直角三角形．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式与平方差公式等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据可得①必定构成直角三角形；根据可得②必定构成直角三角形；根据可得③必定构成直角三角形；根据可得④必定构成直角三角形；由此即可得．
【详解】解：①，则必定构成直角三角形；
②
，
，
则，必定构成直角三角形；
③
，
则，必定构成直角三角形；
④，
，
，
则，必定构成直角三角形；
综上，必定构成直角三角形的有4个，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A．，，故A不正确；
B．，，故B正确；
C．，，故C不正确；
D．，，故D不正确．
故选：B．
11．直角三角形
【分析】选取较短的两条边求其平方和，与最长边的平方进行比较，根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形；
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13等等.
【详解】解：∵，
∴该三角形是直角三角形.
故答案为：直角三角形．
12．2026
【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算．
【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为；
第二代勾股树中所有正方形的面积为；
第三代勾股树中所有正方形的面积为……，
则第代勾股树中所有正方形的面积为，
∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为．
故答案为：2026．
13．5，12，13（答案不唯一）
【分析】本题主要考查勾股数和公约数，填写满足最大公约数为1的勾股数即可．
【详解】解：常见的勾股数如满足，且最大公约数为1．
故答案为：（不唯一）．
14．直角三角形
【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键．
【详解】解：∵，，，且，
∴
解得
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
15．24
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键．
先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
是直角三角形，
，
即阴影部分的面积为24，
故答案为：24．
16．
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
，
即，
．
17．(1)直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题主要应用勾股定理的逆定理判断三角形形状，以及利用角平分线的性质求解线段长度．
()根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长满足(为最长边)，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；得出是直角三角形即可；
()根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；得出即可．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴
即：，
∴是直角三角形；
（2）∵是直角三角形，
∴ ，
∵，平分，，
∴．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
（1）首先根据长可利用勾股定理逆定理证明，进而得到；
（2）设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出的长，进而得到长，然后即可算出面积．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即的长为，
∴，
∴三角形花园的面积为．
19．见详解
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；由题意易得，然后可得，则有是直角三角形，即，进而根据勾股定理可进行求证．
【详解】解：∵是边上的中线，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴．