1.3 勾股定理的应用（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

1.3 勾股定理的应用（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（ ）
A． B． C． D．
3．将一根的筷子，置于底面直径为，高的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A．0.8 B．2.8 C． D．
5．如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，一圆柱形油罐的底面周长为，高为，要以点A为底端环绕油罐做一圈梯子，正好顶端在点A的正上方点B处，那么梯子最短需（ ）
A． B． C． D．
7．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点A飞到与之相对的点B，那么它飞行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在纸片中，，将其折叠，使得点 C 与点 A 重合，折痕为，若， 则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．17 D．18
9．一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点爬到点的最短距离为（ ）．
A．8 B． C． D．10
10．如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（ ）（墙面与地面垂直）
A．米 B．米 C．5米 D．米
二、填空题
11．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断处到树顶的长度是 ．
12．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ．
13．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米．
14．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点与点重合，点与点重合、两点均在上），折痕分别为、．若，，则线段的长为 ．

15．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形．
三、解答题
16．如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．

17．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？
18．如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米．
(1)求观赏池边的长；
(2)求草坪的面积．
19．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小时20的速度沿方向移动，A到的距离，在距台风中心的圆形区域都将受到台风的影响．
(1)台风中心经过多长时间将到达D点？
(2)A城受这次台风的影响有多长时间？
参考答案
1．C
【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可．
【详解】解：连接，
由网格可得，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，，
∴，
即从仓库到社区配送点的最短路径为，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键．
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
；
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
所以的取值范围是：．
故选：．
4．C
【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，则，
中，由勾股定理可得， ，
故选C．
5．D
【分析】本题主要考查了勾股定理与网格图．根据勾股定理解答，即可解答．
【详解】解：根据题意得：．
即线段长为的是．
故选：D．
6．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题转化到中，这样就可利用“勾股定理”求出的长度，从而得到梯子的最短长度．先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：将圆柱形油罐的侧面展开如图所示，
由题意可知，在中，，
∴由勾股定理可得：，
∴梯子最短需要．
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径．根据题意，长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，根据底面圆的周长可得底面圆的直径，在中，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，蜜蜂沿如图所示方向飞行路程最短，
∴长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，
∵圆柱的底面周长是，圆柱高为，
∴底面圆的直径为，，
根据勾股定理得，
∴蜜蜂飞行的最短路程为，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是把握折叠的不变性．
先由勾股定理求出，再由折叠的性质得到，然后即可求解周长．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠得，
∴的周长为：，
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理．解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案．
【详解】解：如图，过B作于点C，连接．
∵，
∴．
答：蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为．
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查平面展开—最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，正确利用立体图形中的最短距离、通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．
将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过P作于G，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程，
∵米，米，点P到的距离是3米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故选：D．
11．/米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度．根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解．
【详解】解：如图，∵是直角三角形，，，
故答案为：
12．
【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果．
【详解】解：为中点，
，
由折叠的性质可知：，
设，则，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案．
【详解】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度，
∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米，
∴ 米，
故答案为：．
14．3
【分析】先由折叠性质得出，再通过线段和差求出对应线段的长，最后由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，，
由折叠性质可知：，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得：，即：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
15． 8 32 40 直角
【分析】本题考查勾股定理及逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
根据勾股定理可以计算出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状．
【详解】解：由图可得，，，，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：8，32，40，直角．
16．两棵景观树之间的距离是12米
【分析】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可．
【详解】解：在Rt中，由勾股定理，得：
，
（米）．
答：两棵景观树之间的距离是12米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理．
17．这块地全部种草的费用是5760元．
【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理．连接，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形即，
∴，
∴（元），
答：这块地全部种草的费用是5760元．
18．(1)20米
(2)600平方米
【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）连接,根据勾股定理求出米,然后证明出是直角三角形，且，然后利用代数求解即可.
【详解】（1）解：因为四边形为长方形，
所以．
在Rt中，米，米，
由勾股定理，得，即，
所以米．
答：观赏池边的长为20米;
（2）解：连接．
因为,米，米，
根据勾股定理，得，
所以米．
因为在中，，，
所以，
所以是直角三角形，且，
所以（平方米）．
答：草坪的面积为600平方米．
19．(1)小时
(2)4小时
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键．
（1）根据勾股定理求得的长，再计算时间即可得结论；
（2）根据题意求出的长即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得：在中，，
则，
台风中心以每小时20的速度沿方向移动，
（小时），
答：台风中心经过小时将到达D点；
（2）解：如图所示：当，则，
故，
则（小时）．
答：A城受这次台风的影响的时间为4小时．