2.1 认识实数（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

2.1 认识实数（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．的绝对值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．18
3．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
5．在实数，0，，，，无理数的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．已知，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
8．在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（ ）
A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变
C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化
二、填空题
11．请写出一个比大，且比小的无理数： ．
12．的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ．
13．在，， 0，（每两个1之间依次多2），中， 无理数有 个．
14．下列各数中：①面积为3的正方形的边长；②体积为8的正方体的棱长；③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线长，其中是无理数的是 （填序号）．
15．如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是 ．
三、解答题
16．将下列各数填入相应的括号里：
（每两个1之间依次多一个0），．
负数集合：{___________…}；
分数集合：{___________…}；
非正整数集合：{___________…}；
无理数集合：{___________…}．
17．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是______，的小数部分是______；
(2)若，其中是整数，且，求与的值．
18．下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…，
（1）有理数集合：_____；
（2）无理数集合：_____；
（3）非负整数集合：_____；
王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数．
比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数）
19．阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较和的大小．
解：∵，且
∴，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较和的大小
解：∵，且，
∴，即．
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小，
【方法运用】
(1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）；
(2)已知，，比较a、b的大小；
(3)比较与的大小．
参考答案
1．A
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的概念判断即可．
【详解】
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及等有这样规律的数．
根据无理数的概念逐项判断即可解答．
【详解】解：A．是循环小数，是有理数，不符合题意；
B．是无理数，符合题意；
C．是分数，是有理数，不符合题意；
D．18是有理数，不符合题意．
故选B．
3．D
【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段的中点，可得，用C点表示的数减去的距离，可得A点表示的数．
【详解】解：∵点C是线段的中点，
∴，
∴点A表示的数是：，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐项判断即可．
【详解】解：是无理数；是分数，，是整数，它们属于有理数．
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了无理数和有理数的概念，解题的关键是掌握无理数的概念．
利用无理数和有理数的概念逐个进行判断即可．
【详解】解：是有理数，0是有理数，是无理数，是有理数，是无理数，是有理数，
故无理数的个数为2个，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．
先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果．
【详解】解：
，
，
∴，
∴，
∴．
故选A．
7．B
【分析】本题考查二次根式混合运算，估算无理数大小，熟练掌握二次根式混合运算法则与估算无理数大小大小的方法是解题的关键．
根据二次根式混合运算的方法求出的值， 再估算无理数的大小即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵
∴
∴
故选：B．
8．C
【分析】本题考查无理数．
根据无理数的定义，找出题中所有的无理数，即可得无理数的个数．
【详解】解：是有理数，是有理数，3.14，是分数，属于有理数，
无理数有：，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个），
∴无理数的个数为．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答．
【详解】解：由数轴得，
∴，
则
，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查勾股定理，无理数，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．求出，由勾股定理得到，因此，由三角形面积公式得到的面积，求出，由，得到．
【详解】解：、分别表示数和，
，
四边形是正方形，
，，
，
，故B不符合题意；
的面积，
故D符合题意；
，表示的数分别为，，
，
，
一定是无理数，故C不符合题意；
，，，
，
，
的值随的变化而变化，
故A不符合题意．
故选：D．
11．
【分析】本题考查无理数的大小比较以及无理数的定义，根据无理数的定义，写出一个在和之间的无理数即可．
【详解】解：，，，
，且是无理数．
故答案为：（答案不唯一）．
12． / /
【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可．
【详解】解：的相反数是，
的绝对值是；
∵，
∴．
故答案为：；；
13．2
【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
根据无限不循环小数是无理数作答即可．
【详解】解：由题意知，，0，是有理数，故不符合要求；
，（每两个1之间依次多2）是无理数，故符合要求；
故答案为：2．
14．①③④
【分析】本题考查了无理数的定义，勾股定理．分别计算各数，判断是否为无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此即可得解．
【详解】解：①面积为3的正方形的边长为，是无理数；
②体积为8的正方体的棱长为，2是有理数；
③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长为，是无理数；
④长为3、宽为2的长方形的对角线长为，是无理数，
综上所述，其中是无理数的是①③④．
故答案为：①③④．
15．/
【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果．
【详解】如图：
，
，
，
，
，
，
则数轴上点所表示的数是，
故答案为：．
16．； ；
； （每两个1之间依次多一个0
【分析】本题考查实数的分类，根据实数和有理数的分类方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：负数集合：{,...}；
分数集合：{，...}；
非正整数集合：{,...}；
无理数集合：{（每两个1之间依次多一个0),...．}
17．(1)，；
(2)10，．
【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由，得出，则的小数部分是；因为，所以，则的小数部分是；
（2）因为，所以，先得出的整数部分是9，的小数部分是，根据，其中是整数，且，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴
∴的整数部分是2，
∴的小数部分是；
∵
∴
∴
∴的整数部分是2，
则
即的小数部分是；
（2）解：∴
∴
∴
∴的整数部分是9，
则
∴的小数部分是
∵，其中是整数，且，
∴，
∴
18．（1）0，0.3（3无限循环），，18，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，；（2），，，0.8080080008…，；（3）0，18，；
【分析】本题主要考查了实数，解决本题的关键是熟记实数的分类；
（1）根据有理数的定义，即可解答；
（2）根据无理数的定义，即可解答；
（3）非负整数集合包括0和正整数，即可解答．
【详解】解：有理数集合：，无限循环，，，，无限循环，，，；
无理数集合：，，，，；
非负整数集合：，，；
设（21无限循环），则（21无限循环），
（21无限循环）（21无限循环），
，
S；
故1.21（21无限循环）
19．(1)＞
(2)
(3)
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法．
（1）由，，再比较大小即可；
（2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可；
（3）由，，再比较大小即可．
【详解】（1）解：，，
∵，
∴，即，
故答案为：＞．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：，
，
∵，
∴，
即．