2.2 平方根与立方根（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

2.2 平方根与立方根（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．将数49开平方，其结果是 （ ）
A．±7 B．-7 C．7 D．
3．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，…，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B．6 C． D．
6．如果，那么的立方根是（ ）
A．1 B． C． D．
7．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（ ）
A． B． C． D．
8．在实数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．3
9．如图，一张三角形纸片，，，．现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于（ ）
A．3cm B． C． D．5cm
二、填空题
10．若一个数的立方根是5，则这个数是 ．
11．满足的所有整数x的和是 ．
12．一个数的立方根是，则该数为 ．
13．如图是一个数值转换器（）
（1）当输入的x为时，输出的y值是 ；
（2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ；
14．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ．
三、解答题
15．求下列各数的平方根：
(1)64；
(2)；
(3)．
16．如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B处设立了一根标杆，使，并测得，．根据测量结果，求点A和点C间的距离．

17．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整：
(1)口算并填空：个位数字为______．
(2)求．
①由，，可以确定是______位数；
②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______．
(3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］
18．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．
(1)则大正方形的边长为___________；
(2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的计算．熟练掌握相关计算法则是解题关键．
根据求平方根、算术平方根和立方根的计算法则逐一判断，即可得解．
【详解】A. ∵，∴A不正确；
B. ∵，∴B正确；
C. ∵，∴C不正确；
D. ∵，∴D不正确．
故选：B．
2．A
【详解】一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数
∵（±7）2=49，∴±=±7．
故选A．
3．D
【分析】本题考查了立方根和平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
本题应先计算出的值，再根据平方根的定义即可求得平方根．
【详解】解：，
又，
的平方根是，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查整式类规律探索，求一个数的算术平方根等，根据所给式子得出是解题的关键．根据所给式子可知，再求，最后整理式子，即可作答．
【详解】解：依题意，，，
，，
，，
……
以此类推，得
∴
故选D．
5．B
【分析】本题考查了算术平方根的定义，乘方，先运算乘方，再运算算术平方根，即可作答．
【详解】解：，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查多项式的乘法，立方根．通过展开左边多项式并比较系数，确定a和b的值，再计算的立方根．
【详解】解：，
又，
，，
，
．
故选B．
7．B
【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可．
【详解】解：由图可知，，，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握利用勾股定理列方程求解是关键．连结，设，先求出，在中，根据勾股定理列方程，求得，最后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图，
，，，
，
设，则，
由折叠可知，，，
在中，，
，
解得，即，
在中，，
即折痕长等于．
故选：C．
10．
【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：∵，一个数的立方根是5，
∴这个数是，
故答案为：
11．2
【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算．首先通过对，大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和．
【详解】解：，
，
，
又，
，
满足的所有整数有，，，，
它们和为，
故答案为：．
12．/
【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根定义求出这个数即可．
【详解】解：∵一个数的立方根是，
∴这个数为：．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查实数与程序流程图，算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质，是解题的关键：
（1）根据流程图进行计算，直至运算结果为无理数，输出即可；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值，进行求解即可；
【详解】解：（1），，，为无理数，输出；
故答案为：；
（2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数，
∴当或时，始终输不出y值，
∴或或；
综上：的值为．
14．/
【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，立方根和算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可．
【详解】解：由数轴可知：，，
∴，
∴；
故答案为：．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可．
（1）由可得答案；
（2）由可得答案；
（3）由可得答案；
【详解】（1）解：，
∴的平方根是；
（2）解：∵，
∴的平方根是；
（3）解：∵，
∴的平方根是；
16．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．在中运用勾股定理，即可得出的长度．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
答：点A和点C间的距离为．
17．(1)5
(2)①两；②8；③，
(3)
【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键．
（）根据的个位数字即可判断；
（）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；
（）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
【详解】（1）解：∵，个位数字为，
∴个位数字为，
故答案为：；
（2）解：①∵，，
∴，
∴可以确定是两位数，
故答案为：两；
②由的个位上的数是，，个位数字为，
∴的个位上的数是，
故答案为：；
③∵，，，
∴，
∴可以确定的十位上的数是，
∴
故答案为：．
（3）解：，，
的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6，
的个位数字是6．
如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，，
，
，即的十位数字是2．
．
18．(1)4
(2)不能截得题目中要求的长方形纸片，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的应用以及实数的大小，掌握算术平方根的定义，实数的大小比较是解题的关键；
（1）根据题意求得大正方形的面积为，即可求解；
（2）设截出的长方形的长为，宽为，根据正方形的面积列式计算即可．
【详解】（1）解：∵两个正方形面积之和为：，
∴拼成的大正方形的面积为，
∴大正方形的边长是；
故答案为：4．
（2）解：不能，
理由如下：
设截出的长方形的长为，宽为，
则，解得，那么，，
，
不能截得题目中要求的长方形纸片．