2.3 二次根式（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

2.3 二次根式（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B．2 C． D．
3．下列二次根式：，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．估计的运算结果应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
5．下列各式是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知实数满足，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则代数式的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．
8．对实数，定义运算，已知，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．5或
9．下列化简正确的有（ ）
①；②；③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．计算： ．
12．裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为，长为，则该长方形银片的宽为 ．
13．如果，那么 ．
14．若能与最简二次根式合并，则的值为 ．
15．已知，则 ．
三、解答题
16．下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
①
②
③
(1)指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）．
(2)请写出正确的解题过程．
17．计算：
(1)；
(2)．
18．计算与化简：
(1)
(2)
(3)
19．计算
(1)
(2)
参考答案
1．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负．
【详解】解：A. ：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不符合二次根式定义；
B. ：是整数，未含根号，不属于根式；
C. ：根指数为2（省略未写），被开方数2是非负数，符合二次根式定义；
D. ：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求；
综上，只有选项C是二次根式，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
【详解】解：下列二次根式：中，
是最简二次根式的有，，
其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式，
，
，
，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算，然后根据“夹逼法”估算即可．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
∴的运算结果应在4到5之间，
故选：C．
5．D
【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
【详解】解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意；
、，选项不是最简二次根式，不符合题意；
、，选项不是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，符合题意；
故选：．
6．B
【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键．
先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可．
【详解】因为实数满足，，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：B．
8．C
【分析】此题考查实数运算，根据新定义分别列式计算求出m的值，再判断即可得到答案
【详解】由题意可分两种情况讨论：
①当时，有，
解得，不符合，
此种情况不符合题意；
②当时，有，解得．
，舍去，即．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质逐项计算即可得出答案．
【详解】解：①，化简正确；
②，化简过程错误；
③，化简正确；
综上可知，正确的有2个，
故选C．
10．A
【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路．
计算出时第1，2，3，4，5，6，7次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论．
【详解】解：当，
第1次“”运算的结果是： ，
第2次“”运算的结果是： ，
第3次“”运算的结果是： ，
第4次“”运算的结果是：，
第5次“”运算的结果是，，
第6次“”运算的结果是，，
第7次“”运算的结果是，，
…
以此类推可知，从第5次“”运算开始，每两次“”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1，
∴第2025次“”运算的结果是1，
故选：A．
11．3
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和乘方，再计算减法即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查二次根式的除法，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽．
【详解】解：∵长方形银片的面积为，长为，
∴该长方形银片的宽为，
故选：.
13．2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解题的关键是掌握这些知识点．
根据二次根式有意义的条件得，解得，则把代入进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为2．
14．
【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键．
【详解】解：由，
∵能与最简二次根式合并，
∴，解得：，
故答案为：．
15．8
【分析】此题考查二次根式的性质，已知字母的值求式子的值，根据已知等式及，得到，，由此求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为8．
16．(1)①
(2)见解析
【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键；
（1）化简二次根式错误，，1不能直接开平方到根号外，由此得出错误处；
（2）由先化简各数，再合并同类二次根式，即可解得．
【详解】（1）解：，
故步骤①最先出现错误．
（2）
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
（1）先把除法运算化为乘法运算，再根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；
（2）先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．(1)1
(2)1
(3)
【分析】（1）根据分配律，二次根式的乘法，减法混合运算解答即可．
（2）根据二次根式的除法，减法混合运算解答即可．
（3）根据二次根式的除法，减法混合运算解答即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，除法，混合运算，分配律，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，实数的混合运算等知识．熟练掌握算术平方根，立方根，实数的混合运算是解题的关键．
（1）先分别求算术平方根，立方根，然后进行减法运算即可；
（2）先分别求立方根，绝对值，然后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．