3.2 频率的稳定性（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

3.2 频率的稳定性（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
2．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ）
A．2.9枚 B．3枚 C．7枚 D．7.1枚
3．甲、乙两名同学掷一枚质地均匀的硬币，甲同学掷了5次硬币，都是正面向上，甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率．乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数．下列选项正确的是（ ）
A．甲、乙的说法都正确
B．甲的说法正确、乙的说法不正确
C．甲的说法不正确、乙的说法正确
D．甲、乙的说法都不正确
4．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（ ）
A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4
C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6
5．下列说法正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
C．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
D．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
6．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（　　）
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780
击中靶心的频率
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）．
A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
8．一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（ ）个
A．15 B．8 C．16 D．18
9．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
二、填空题
10．2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ．
11．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是
抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值
12．一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现鲤鱼、鲫鱼出现的频率分别是和，则估计这个水塘里有鲤鱼 尾，鲢鱼 尾．
13．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条．
14．如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ．
三、解答题
15．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.15．
(1)请估计摸到白球的概率将会接近______；
(2)计算盒子里白色的球有多少个？
16．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表：
朝上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 8 11 6 9 16 10
(1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率．
(2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？
17．无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据：
检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000
坏果数 59 124 240 305 354
坏果频率
根据表格回答下列问题：
(1)表中的___________，___________；
(2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）；
(3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？
18．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000
摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202
摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）；
(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
参考答案
1．C
【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．
【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，
故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
2．B
【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．先求出摸到白棋的频率为，即为概率，根据白棋个数=棋子的总数×摸到的白棋的概率，棋子的总数减去白棋的个数即为黑棋的个数．
【详解】解：∵不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，
∴摸到白棋的频率为，即为概率，
∴盒子中黑色棋子为（枚），
∴盒子中黑色棋子可能有（枚），
故答案为：B．
3．B
【分析】本题考查概率的意义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【详解】解：因为掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率等于反面向上的概率，都等于，
所以甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率是正确的，
而乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数接近于正面向上的次数，乙同学的说法不正确．
故选：B．
4．C
【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键．
直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案．
【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，
∴出现反面的频率是．
故选：C
5．D
【分析】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．根据事件发生的可能性，概率，实验概率逐项求解即可．
【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确；
某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是，可能会中奖，故选项B不正确；
图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项C不正确．
事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项D正确；
故选D．
6．A
【分析】利用频率估计概率求解即可；
【详解】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键
7．D
【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项．
【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意；
B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意；
C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意；
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率．
8．A
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，
故选：A．
9．C
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意．
【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
10．
【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键．
根据频率公式计算即可求解．
【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次，
∴“山”出现的频率是，
故答案为： ．
11．
【分析】本题考查利用频率估算概率，掌握利用频数估算概率的意义是解题的关键．
根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近稳定值，进行判断即可．
【详解】解：由图表可知，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是．
故答案为：．
12． 310 270
【分析】本题是利用频率估计概率．根据频率、频数的关系：频数=频率×数据总和，可分别求鲤鱼，鲫鱼的尾数，再根据各小组频数之和等于数据总和，可求鲢鱼的尾数．
【详解】解：根据题意可得这个水塘里有鲤鱼（尾），
鲫鱼（尾），
鲢鱼（尾）．
故答案为310，270
13．1000
【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数即可．
【详解】解：设鱼的总数为x条，
根据题意可知，
解得
故答案为：
14．
【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键，用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可得到答案．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴正方形的面积为：，
∵正方形区域内任取个点中，有个点在黑色部分，
∴黑色部分占正方形的：，
∴二维码中黑色部分的面积约为：，
故答案为：．
15．(1)0.15
(2)9个
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式的运用，深刻理解“大量反复试验下频率稳定值即概率”是解题的关键．
（1）根据“大量反复试验下频率稳定值即概率”即可得出答案；
（2）由即可得出答案．
【详解】（1）解：∵经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.15．
∴估计摸到白球的概率将会接近0.15，
故答案为：0.15；
（2）盒子里的白球个数（个），
答：盒子里白色的球有9个．
16．(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率
(2)都不正确，理由见解析
【分析】本题考查了频率（频数）和概率．
（1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可；
（2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论．
【详解】（1）解：出现向上点数为3的频率：，
出现向上点数为5的频率：，
即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率；
（2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下：
他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍
17．(1)183，；
(2)
(3)10000颗
【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题．
（1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）．
（3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ．
（3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ．
【详解】（1）解：根据题意得；
解得：
．
故答案为：183，；
（2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右，
所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ．
故答案为：；
（3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃，
，
解得，
∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣．
18．(1)298；0.601
(2)0.60
(3)3个
【分析】本题考查了利用频率估计概率：
（1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可；
（2）根据频率估计概率计算；
（3）由概率的估计值可计算白球的个数．
【详解】（1）解：，，
故答案为：298；0.601；
（2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60；
故答案为：0.60．
（3）解：摸到白球的概率的估计值是0.60，
摸到红球的概率的估计值是0.40，
袋中有红球2个，
球的个数共有：（个），
袋中白球的个数为（个）．