4.1 认识三角形（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

4.1 认识三角形（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．已知两条线段a、b，其长度为和．另有长度分别为、、、、的5条线段，其中能与a、b一起组成三角形的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在下列四组线段中，不能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知一个三角形的两边，满足，则此三角形的第三边可能为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．10
4．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则它的腰长为（ ）
A． B． C． D．或
5．在中，三边长为6、7、，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（ ）
A．8 B．11 C．12 D．15
7．从长度分别为1、5、6、8的4条线段中任取3条作三角形的边，能组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论：①；：平分；．其中结论正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．已知三角形三边的长分别为，且均为整数，若，，则满足条件的不同形状的三角形的个数是（ ）
A． B． C． D． E．
二、填空题
11．已知三角形的三边之长分别为3，7，，则a的取值范围是 ．
12．在中，已知一个锐角度数为，另一个锐角度数为 ．
13．如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．
14．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ．
15．等腰三角形的两边分别为、，则该三角形的第三边长为 ．
三、解答题
16．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形．
17．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B．
(1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由．
以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整；
解：乌龟的路线更短，理由如下：
如图②，延长交于点P．
在中，，
…
(2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由．
18．体验与实践
【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有．
某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以，
而①式化为：可得．
【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，．
(1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值；
(2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？
19．在中，，是斜边上的高．
(1)如图1，若是中线，，填空：
①则与的周长差为______；
②则高的长为_______；
(2)如图2，若是角平分线，，求的度数．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关系．
根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果．
【详解】解：由题知 ，，
，
能与a、b一起组成三角形的第三边c满足，
可选、，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两条较短线段的长度之和是否大于较长的线段的长即可．
【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意；
B、，能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，符合题意；
故选D．
3．B
【分析】本题主要考查了非负性的性质，三角形三边关系的应用，先由非负性的性质求出，再由三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴第三边的长，
∴四个选项中，只有B选项中的数符合题意，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；分两种情况讨论：为底边或腰长，结合三角形三边关系判断是否成立．
【详解】解：①当为底边时：
腰长为．
此时三边为、、，满足三角形三边关系（），成立．
② 当为腰长时：
底边长为．
此时三边为、、，但，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
综上，腰长只能为，
故选：B．
5．B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可．
【详解】解：根据三角形三边关系可得出，
即，
故选：B
6．B
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
根据三角形的三边关系可得，即可确定的长度可以为3、4、5，再求出三角形周长的可能取值即可解答．
【详解】解：∵在中，若，
，即，
∴，
∵的长度为整数，
∴的长度可以为3、4、5，
∴的周长可能是9、10、11．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了概率公式的应用．从长度分别为1、5、6、8的4条线段中任取3条作三角形的边，等可能的结果有：1、5、6；1、5、8；1、6、8；5、6、8，且能组成三角形的有：5、6、8；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵从长度分别为1、5、6、8的4条线段中任取3条作三角形的边，等可能的结果有：1、5、6；1、5、8；1、6、8；5、6、8，
且能组成三角形的有：5、6、8；
∴能组成三角形的概率为：．
故选：D．
8．A
【分析】本题主要考查了三角形高、中线、角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高、中线、角平分线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A.∵是的中线，
∴，
∴，故该选项错误，符合题意；
B. ∵是的角平分线，
∴，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵是的中线，
∴，即，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵是的高，
∴，故该选项正确，不符合题意．
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，垂直定义等，根据平行线的判定即可判断结论①；利用直角三角形的性质和判定可判断结论④；再由直角三角形性质可得：，，可判断结论②；再根据，，可判断结论③．
【详解】解：∵，
∴，
故结论①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故结论④正确；
∵，，
∴，，
故结论②错误；
∵，，
∴与不一定相等，
故结论③错误．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用， 根据已知条件，先得出的可能值是，再结合三角形的三边关系，对应求得的值即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵三角形的三边的长都是整数，，
∴．
根据三角形的三边关系，得，
当时，，则，此时满足条件的三角形有个；
当时，，则，此时满足条件的三角形有个；
当时，，则，此时满足条件的三角形有个；
当时，，则，此时满足条件的三角形有个；
当时，，则，此时满足条件的三角形有个；
当时，，则，此时满足条件的三角形有个；
∵三角形边长相同，形状也就相同，
上述三角形中三边长为；；；；；的这六个三角形各出现两次，
∴满足条件的三角形一共有个，
故选：．
11．
【分析】本题考查了利用三角形的三边关系求第三边的取值范围，由三角形的三边关系得，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
故答案为：．
12．/度
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余．根据在直角三角形中两个锐角互余计算即可．
【详解】解：另一个锐角．
故答案为：．
13．155
【分析】本题主要查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，平行线的性质是解题的关键．
延长交于点N，根据直角三角形两锐角互余可得，从而得到，再根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解∶如图，延长交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：155
14．/
【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】解：，
则．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系．
分两种情况根据等腰三角形的定义求出第三边，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可．
【详解】当底边为时，第三边长为，，构成三角形；
当底边为时，第三边长为，，不构成三角形；
故第三边长为
故答案为：
16．图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有．
【分析】本题考查三角形的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的定义，即可解答．
【详解】解：由图，可知
图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有．
17．(1)见解析
(2)选路线②，理由见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系得出，，可推出，从而得出答案；
（2）如图，延长交于点M，延长交于点N．分别在，，中，根据三角形的三边关系得出，，，可推出，从而得出答案．
【详解】（1）解：补全过程如下：
在中，，
，
，
∴乌龟的路线更短．
（2）选路线②．理由如下：
如图，延长交于点M，延长交于点N．
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
∴路线②的路程比路线③短，
∴乌龟可选路线②．
18．(1)见解析
(2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键．
（1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可；
（2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可．
【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D，
则为三角形的高，
，
①，
而，
①式化为：，
可得．
因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值．
（2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D，
则为三角形的高，
，
，
而，所以，
可得．
同理，若P在的延长线上，则有．
19．(1)①2；②
(2)
【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键．
（1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案；
②根据代入数据进行计算即可；
（2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：①在中，，是中线，
，
的周长，的周长，
与的周长差，
故答案为：2；
②，
，
，
故答案为：；
（2）解：，平分，
，
是斜边上的高，
，
，
，
．