4.2 全等三角形（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

4.2 全等三角形（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
2．如图，，则∠C的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，，点在边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（ ）
A．18 B．70 C．88或62 D．18或70
5．如图，，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将两个完全相同且面积为的直角三角形按如图摆放，点B、C、D在同一直线上，点E在上，，，若，则长为（　　）
A． B． C． D．cm
7．如图，点在上，点在上，，且．则（ ）
A． B． C． D．
8．已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（ ）
A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8
9．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（ ）
A．5 B．5或10 C．10 D．6或10
二、填空题
11．如图，把绕点A旋转一定角度得到，那么这两个三角形的关系可用符号表示为 ，点B的对应顶点为 ，边的对应边为 ，的对应角为 ．
12．如图，，若，且，则的度数为 ．
13．如图，，与相交于点，若，，则的长为 ．
14．如图，在边上，，，则的度数为 ．
15．如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度．
三、解答题
16．如图，．请写出图中相等的线段．
17．如图，，在中，是最长的边，在中，是最长的边，和是对应角，且，，．
(1)写出对应相等的边及对应相等的角．
(2)求线段及线段的长度．
18．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)当时，______（用含的式子表示）；
(2)当且的面积等于面积一半时，求的值；
(3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度．
19．如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为．
(1)当时，用含的代数式表示的长；
(2)当为何值时，的面积等于面积的？
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可．
【详解】解：由得：
①与是对应边，故①不符合题意；
②与是对应边，故②符合题意；
③与是对应角，故③符合题意；
④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意；
故正确的有②③，
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查三角形全等的性质，解决此题的关键是正确的计算；根据全等得到，进而即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
3．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等，本题得出中是解题关键，再利用三角形内角和公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
又∵，
∴，
∴
故选：C ．
4．D
【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
【详解】解：设，则，
∵，
∴与全等，可分两种情况：
情况一：当时，
∵，
∴，
解得：，
∴；
情况二：当时，
∵，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，或70．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，在根据线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
6．C
【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
根据题意得，根据全等三角形的性质、平角定义求出，，，再结合三角形面积公式及线段的和差求解即可．
【详解】和完全相同，
，
，，，
点、、在同一直线上，
，
，
，
，
的面积为，
，
解得（负值已舍），
，，
，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，掌握以上知识是解答本题的关键；本题可由可设，，根据三角形全等可得，解出的数值，进而求解得到的度数；
【详解】由可设，，
∵，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，分为腰、为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答．
【详解】解：当为腰时，等腰三角形的周长为18，
∴另两边为8和，
当为底时，等腰三角形的周长为18，
∴另两边为和5，
∵，
∴的边等于2或5或8，
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
，
∴，
∴；故②错误；
，故③正确；
由②知，，故④正确；
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，关键是要考虑到分两种全等的情况．分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间．
【详解】解：由题意得，设米，则米，米，
（1）当时，
则，
即，
解得：；
（2）当时，
则米，
此时所用时间x为10秒，
而米，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，与全等．
答案：A．
11． 点D
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，由旋转的性质可得，即可求解．掌握旋转的性质是本题的关键．
【详解】解：∵把绕点A旋转一定角度得到，
，
∴点B的对应顶点为点D，边的对应边为，的对应角为，
故答案为：，点D，，．
12．/70度
【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据直角三角形两锐角互余得到，然后利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴
∵
∴．
故答案为：．
13．3
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为3．
14．/70度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题关键．由全等得到，，进而得到，再根据等边对等角的性质与三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
15．1或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：设运动时间为t，由题意知，，
与全等，，
∴分两种情况求解：
①当时，，即，解得；
②当时，，即,
解得，
，即6，
解得；
综上所述，x的值是1或，
故答案为：1或．
16．与，与
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，能准确找到对应边是解题关键．
根据全等三角形的性质，对应边相等，进行解答即可．
【详解】解：，
，．
图中相等的线段为：与，与．
17．(1)，，；，，
(2)；
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差关系．
（1）根据全等三角的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等解题即可．
（2）根据全等三角的性质得出，，根据线段的和差关系即可．
【详解】（1）解：，
，，，
，，．
（2），
，，
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据路程等于速度乘上时间，即可作答．
（2）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解，根据面积以及三角形中线的性质，即可作答．
（3）设点的运动速度为，然后分点在上，点在上；点在上，点在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，代数式，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
【详解】（1）解：依题意，在中，，，，，动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，
∴在时，则．
故答案为：；
（2）解：如图：
当时，，
∵的面积等于面积一半
∴此时’
∴
解得
（3）解：设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，，，
，
解得；
②当点在上，点在上，时，，，
点的路程为，点的路程为，
，
解得；
运动的速度为或，
故答案为：或．
19．(1)当时，；当时，
(2)或6
(3)或或或
【分析】（1）分两种情况：当时，点P在边上，当时，点P在边上，即可求解；
（2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解；
（3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论：
若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，；若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，，结合全等三角形的性质，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点P到达点C所用的运动时间为，到达点B所用的运动时间为，到达点A所用的运动时间为，
当时，点P在边上，此时；
当时，点P在边上，此时；
综上所述，当时，；当时， ；
（2）解：∵，，，
∴，
如图，当点P在边上时，，
此时，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得：；
如图，当点P在边上时，过点C作于点K，，
此时，
∵，
∴，即，
∴，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得：；
综上所述，当或6时，的面积等于面积的；
（3）解：∵，
∴点A和点D为对应点，
设点Q的运动速度为，
若，此时，
如图，当点P在边，点Q在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
如图，当点Q在边，点P在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
若，此时，
如图，当点P在边，点Q在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
如图，当点Q在边，点P在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
综上所述，点Q的运动速度为或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．