4.3 探索三角形全等的条件（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

4.3 探索三角形全等的条件（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，全等的两个三角形是（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①④
3．王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是（ ）
A．只携带①去 B．只携带②去
C．只携带③去 D．携带②和③去
4．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置CD垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容
下列说法正确的是（ ）
A．▲代表 B．■代表
C．★代表对应边 D．※代表
7．如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （ ）
A．① B．② C．①和② D．①②③
8．分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（ ）时，与全等．
A．3 B．4 C．5 D．3或5
10．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题
11．人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需要伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了三角形具有 ．
12．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可）
13．如图，，，于点，若，则 ．

14．如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．
15．如图，边长为的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边，分别相交于点M，N，图中阴影部分的面积记为，两条线段，的长度之和记为，将正方形绕点E逆时针转动适当角度，则有 ．
三、解答题
16．如图，已知线段、和，利用尺规作，使、、．（保留作图痕迹，不写作法）
17．如图， ，相交于点，，，连接，．求证：．
18．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由．
19．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图（1），已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点、．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

参考答案
1．B
【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：由作法可知，，，
，
，
，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定即可解答．
【详解】解：选取三角形①②时，利用可证明两个三角形全等，
其余都不符合全等三角形的判定定理．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查三角形全等的判定，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．解决本题主要看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块．根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：只第①块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合．
故选A．
4．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答．
【详解】解：添加后能用“”判定，
理由：，
，
，
在和中，，
．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据证明，得出，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意，得，，
又，
∴，
∴，
∴嘉嘉离地面的高度是，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表
【详解】解：∵在和中
，
∴，则▲代表 ，故选项A错误；
∴（全等三角形的对应角相等），则■代表，★代表对应角，故选项B错误；故选项C错误；
∴，
∴，则※代表，故选项D正确；
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．直接利用定理即可判断①正确；先根据全等三角形的性质可得，再利用定理即可判断②正确；连接，证出，由此即可判断③正确．
【详解】解：在和中，
，
，结论①正确；
，
∵，，
，即，
在和中，
，
，结论②正确；
如图，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
即在的平分线上，结论③正确；
综上，正确的是①②③．
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理推出即可解答．
【详解】解：在和中，
，
．
故选：D．
9．C
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分情况讨论．
首先根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为，设运动时间为t，则，，，然后表示出，，，然后根据题意分两种情况讨论：和，然后分别根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为，
设运动时间为t，则，，
∴，，
∵
∴
∴当时
∴，
∴，
∴，
∴当时
∴，
∴，
∴（不合题意，舍去），
综上所述，当的值为5时，与全等．
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴①③都正确，
在中，
，
∴，
故④正确，
根据已知条件无法证明②是否正确，
故①③④正确，
故选：A．
11．稳定性
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据人两腿分开和一只手抓栏杆形成三角形结构，三角形具有稳定性，因此能站稳．
【详解】解：两腿分开站立与抓栏杆的手形成三角形形状，利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案．
【详解】解：在和中，
，
，
利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
13．3
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
证明即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
14．
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵是公共边，
∴，
∴，
∴，
当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为，
∵，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
根据正方形的对角线，相交于点E，得到，，，，证明，得到，,继而得到，解答即可．
【详解】解：如答图，连接．
边长为的正方形的中心与正方形的顶点重合，即点是正方形的中心，
，
∴．
又，
，
．
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：．
16．见详解
【分析】本题主要考查了复杂的尺规作图，涉及基本的尺规作图，作一条线段等于已知线段和作与已知角相等的角，熟知作图方法是正确解答此题的关键．根据作一条线段等于已知线段和作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．
【详解】解：作，在上截取，在上截取，连接，为求作的图形．
17．详见解析
【分析】要证明 ，需证明和全等，通过已知条件 ， 以及对顶角，利用判定定理证明全等，进而得出对应边相等.本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键.
【详解】证明：在和中，
∴，
∴（全等三角形对应边相等）
18．，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】解：
理由：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
19．（1）证明见解析；（2）成立；证明见解析
【分析】（1）由条件可证明，可得，，即可得证；
（2）由条件可知，且，可得，可证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和△CEA中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：成立．
证明：如图，
∵，
∴，，
∴，
在和△CEA中，
，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平角的定义，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，是解题的关键．