4.4 利用三角形全等测距离（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

4.4 利用三角形全等测距离（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图，在和中，如果，在下列条件中不能保证的是（ ）

A． B． C． D．
2．在和中，给出下列四组条件：
①；
②；
③；
④；
其中，能使的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．如图，在和中，，．若再添加一个条件使得．下列添加的条件不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，补充一个直接条件，使．这个条件不可以是（　　）
A． B． C． D．
5．位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是( )
A． B． C． D．
6．如图，已知，则一定能使的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．在外部取一点，得和全等，下面是两名同学的作法：
甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；
乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求．
以下说法正确的是（ ）
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
8．如图，，由“”判定，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论：
；；；；．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在四边形中，，若用“”证明，需添加的条件是 ．
12．如图，平分，要用确定≌，还需要添加的一个条件是 ．
13．已知：如图，，，要说明．

（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（3）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ．
14．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到的距离是 ．

15．如图，已知，，要使，则需要添加的条件是 ．（写一个即可）
三、解答题
16．如图，相交于点，．要使，还需要添加一个条件，这个条件是什么？
17．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
18．如图，小北在公园玩双层型滑梯，每层楼梯的高度相同，都为2米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案：
课题 探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具 长度为5米的卷尺
测量步骤 ①测量出线段的长度； ②测量出线段的长度
测量数据 米，米
(1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由；
(2)猜想左右两个滑梯和所在直线的位置关系，并加以证明．
参考答案
1．C
【分析】本题考查三角形全等的判定定理，能熟记并掌握判定定理是解题关键，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．利用三角形全等的判定定理即可求解．
【详解】A、可用判定三角形全等；
B、可用判定三角形全等；
C、所给的条件构成，不能判定三角形全等；
D、由可得，所以可用判定三角形全等．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法：、、、、结合选项进行判定．
【详解】解：①，，，可根据判定；
②，，，可根据判定；
③，，，可根据判定；
④，，，不能判定；
故选：．
3．D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：在和中，，，
A、添加，可用进行判定，故本选项正确，不符合题意；
B、添加，则，可用进行判定，故本选项正确，不符合题意；
C、添加，可用进行判定，故本选项正确，不符合题意；
D、添加，不能判定，故本选项不正确，符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定.
利用全等三角形的判定方法，结合图形和条件，逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），故本选项不符合题意；
B、，，，不能得到，故本选项符合题意；
C、在和中，
，
∴（），故本选项不符合题意；
D、在和中，
，
∴（），故本选项不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，无法证明，A选项符合题意；
若添加，可利用证明，B选项不符合题意；
若添加，可借助证明，C选项不符合题意；
若添加，可借助证明，D选项不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
利用全等三角形判定定理对各个选项逐一分析即可得出答案．
【详解】解：A、∵，为公共边，若，则不能使，故本选项错误；
B、∵，为公共边，若，则，故本选项正确；
C、∵，为公共边，若，则不能使，故本选项错误；
D、∵，为公共边，若，则不能使，故本选项错误；
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，
对于①，先根据尺规作图的过程可知，，两边的夹角不相等，所以这两个三角形不全等；对于②，根据平行线的性质得，再根据，可结合“角边角”得出，判断答案即可．
【详解】解：如图所示，
根据题意可知，，
因为两边的夹角不相等，
所以这两个三角形不全等；
如图所示，
∵，
∴．
∵，
∴．
所以甲错误，乙正确．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，已知，是公共边，具备了一边一角对应相等，再有，就可以用判定．
【详解】解：已知，是公共边，具备了一边一角对应相等，
A．添加后，由“”判定，不合题意；
B．添加后，由“”判定，不合题意；
C．添加后，不能判定，不合题意；
D．添加后，由“”判定，符合题意；
故选D．
9．D
【分析】先证明，进而依据“”判定和全等得，，由此可对结论进行判断；
设与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断；
根据，得，由此可对结论进行判断；
过点作交的延长线于点，证明和全等得，进而再证明和全等得；由此可对结论进行判断；
由和全等得，进而得，再由和全等得，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，，
故结论正确；
设与交于点，与交于点，如图所示：
在中，，
在中，，
，，，
，
，
故结论正确；
，
，
在中，是边上的高，
，
，
故结论正确；
过点作交的延长线于点，如图所示：
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故结论正确；
，
，
，
，
，
，
，
故结论正确，
综上所述：正确的结论是，共个，
故选：D．
10．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作，使得，连接，，交于点M，证明，得，当三点共线时的值最小，再证明，得，进而可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合，
∵,
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即此时，
∵
∴，
∴此时．
故选：A．
11．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得，，则只需要即可用“”证明，据此求解即可．
【详解】解：添加条件，证明如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】，
12．
【分析】根据角平分线得出，隐含条件，根据全等三角形的判定定理解答即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
【详解】解：平分，
，
添加，利用得出≌；
添加，利用得出≌；
添加，利用得出≌；
故答案为：．
13．
【分析】（1）根据判定全等三角形的依据和已知条件添加条件即可；
（2）根据判定全等三角形的依据和已知条件添加条件即可；
（3）根据判定全等三角形的依据和已知条件添加条件即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴；
（2）∵，，，
∴；
（3）∵，，，
∴；
故答案为：，，
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定添加合适的条件是解题的关键．
14．/1米
【分析】作，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：作，垂足为F，．

∵，
∴
在中，；
又∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴；
∴，
∵∵
∴，
∵，
∴；
∴，
∴，
即到的距离是．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，也考查了两平行线间的距离．
15．或或（写一个即可）
【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．由，可得，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可．
【详解】解：添加，
，
，
又，，
，
添加，
，
，
又，，
，
添加，
，
，
又，，
，
故答案为：或或（写一个即可）．
16．见解析
【分析】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据定理、定理、定理解答即可得．
【详解】解：∵相交于点，
∴，
∵，
∴要使，根据定理可以添加一个条件或（由可得）；
根据定理可以添加一个条件，根据定理可以添加一个条件．
17．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）利用证明即可；
（2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵F为的中点，
∴，
又∵，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．(1)相等，见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用，找出已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解本题的关键．
（1）由已知条件得出，，从而得证，根据全等三角形的对应边相等得证；
（2）由，根据全等三角形的对应角相等得，再根据直角三角形两锐角互余，从而得证．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题意可知，，米，．
在和中
∴（SAS），
∴，即和的长相等；
（2）．证明如下：
如图，延长交于点C．
∵，
∴．
由题意得，
∴
∴，
∴，
∴．