5.1 轴对称及其性质（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册
文档属性
| 名称 | 5.1 轴对称及其性质（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 886.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-15 00:00:00 | ||
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文档简介
5.1 轴对称及其性质（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．河南是名副其实的天下粮仓，“市场上三分之一的方便面、四分之一的馒头、五分之三的汤圆、十分之七的水饺都是河南生产的”，将“天下粮仓”写为篆书如下，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何图形中有且仅有一条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面图形中是轴对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法确定
8．如图，将一张长方形纸条 沿折叠，点C，D分别折叠至点的位置．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．直角三角形 D．正五边形
10．如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案：
方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是．
其中铺设管道路径最短的方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4
二、填空题
11．如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字： ．
12．如图，一张三角形纸片，，现将纸片的一角向内折叠，折痕，则的度数为 ．
13．将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，点分别在上，得图形2，若，则的周长是 ．
14．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称．
15．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．
三、解答题
16．画出关于直线l的对称图形．
17．在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称．
18．【数学活动】利用折纸画平行线．
活动1： 如图1，小芳将长方形纸条对折，使得线段的端点与重合，折痕交于点． （1）直接回答：_____
活动2： 如图2，小芳按照如下步骤与方式折纸，得到了过点且与平行的直线． （2）根据以上操作，说明平行于的理由．
活动3： 如图3，在正方形中，点是对角线上的动点（不与端点，重合），小芳沿折叠三角形，使得落在正方形所在平面内的处． （3）当三角形的边平行于正方形的边时，请直接写出的度数．
19．如图，．
某同学进行了下面操作：
第一步，将边沿过点A的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点D，折叠后展开；
第二步，将边沿过点D的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点E，折叠后展开；
第三步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点A与点D重合），折痕与，分别交于点F，G，折叠后展开；
第四步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点F与点G重合），折痕与分别交于点H，K，P，折叠后展开．
根据上面的操作，解答下面问题：
(1)猜想与的位置关系，并证明你的猜想；
(2)若，，求的度数．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形关于一条直线对折，左右两边能完全重合，则该图形就是轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】 解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．据此逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．有无数条对称轴，不符合题意；
B．有1条对称轴，符合题意；
C．有2条对称轴，不符合题意；
D．有3条对称轴，不符合题意．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案．
【详解】解：由轴对称图形的定义可得：左起第2，3，4个图形都是轴对称图形，左起第1个图形不是轴对称图形，共有3个，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答．
【详解】解：∵为镜像显示的时间，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是，
故选：A
6．D
【分析】本题考查折叠问题，平行线的性质，求出的度数，折叠的性质，得到的度数，再根据角的和差关系，即可得出结果．
【详解】解：∵长方形纸片，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
故选D．
7．B
【分析】本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键．
由对称的性质证明，再根据三角形面积计算即可．
【详解】解：如图，
，点与点关于对称，点与点关于对称，
，，，
，
，
即，
．
故选B．
8．B
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解：∵长方形纸条 沿折叠
∴
∵，设
∴
∵
∴
∴ ，解得：
∴
故选：B.
9．B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故不符合题意；
B、矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
C、直角三角形既不一定是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，
则点为所求燃气站的位置．
故选：C；
11．共
【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握相关知识．根据轴对称图形的特征即可求解．
【详解】解：由题意可得这个字是共，
故答案为：共．
12．
【分析】利用平行线的性质，折叠的性质，平角的定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵纸片的一角向内折叠，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质得到，由周长的计算即可求解．
【详解】解：将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，
∴，
∵的周长为
，
故答案为：8 ．
14．6
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称．
故答案为：6．
15．2
【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解．
【详解】解：如图所示，
即：满足条件的点的个数为2个，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键．
16．见解析
【分析】本题主要考查了画轴对称图形，先分别作出点A和点B关于直线l的对称点和，然后再顺次连接即可．
【详解】解：如图，即为所求．
17．见解析
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键 ．
【详解】如图所示，
18．（1）90；（2）见解析；（3）或或．
【分析】此题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据折叠得到，进而求解即可；
（2）由题意得到，即可证明；
（3）根据题意分3种情况讨论，然后分别根据平行线的性质和折叠的性质求解即可．
【详解】（1）由折叠可得，
∵
∴；
（2）同（1）可得，，
∴
∴；
（3）如图所示，当时，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
由折叠得，；
如图所示，当时，此时点D，重合
∴
∴；
如图所示，当时，
∴
由折叠得，
∴；
综上所述，当三角形的边平行于正方形的边时，或或．
19．(1)，见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键．
（1）证明，即可得到结论；
（2）求出．根据即可得到答案．
【详解】（1）．
证明：由折叠可知：．
∵．
∴．
同理：．
∴
∴．
（2）解：由折叠可知：．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．河南是名副其实的天下粮仓，“市场上三分之一的方便面、四分之一的馒头、五分之三的汤圆、十分之七的水饺都是河南生产的”，将“天下粮仓”写为篆书如下，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何图形中有且仅有一条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面图形中是轴对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法确定
8．如图，将一张长方形纸条 沿折叠，点C，D分别折叠至点的位置．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．直角三角形 D．正五边形
10．如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案：
方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是．
其中铺设管道路径最短的方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4
二、填空题
11．如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字： ．
12．如图，一张三角形纸片，，现将纸片的一角向内折叠，折痕，则的度数为 ．
13．将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，点分别在上，得图形2，若，则的周长是 ．
14．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称．
15．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．
三、解答题
16．画出关于直线l的对称图形．
17．在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称．
18．【数学活动】利用折纸画平行线．
活动1： 如图1，小芳将长方形纸条对折，使得线段的端点与重合，折痕交于点． （1）直接回答：_____
活动2： 如图2，小芳按照如下步骤与方式折纸，得到了过点且与平行的直线． （2）根据以上操作，说明平行于的理由．
活动3： 如图3，在正方形中，点是对角线上的动点（不与端点，重合），小芳沿折叠三角形，使得落在正方形所在平面内的处． （3）当三角形的边平行于正方形的边时，请直接写出的度数．
19．如图，．
某同学进行了下面操作：
第一步，将边沿过点A的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点D，折叠后展开；
第二步，将边沿过点D的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点E，折叠后展开；
第三步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点A与点D重合），折痕与，分别交于点F，G，折叠后展开；
第四步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点F与点G重合），折痕与分别交于点H，K，P，折叠后展开．
根据上面的操作，解答下面问题：
(1)猜想与的位置关系，并证明你的猜想；
(2)若，，求的度数．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形关于一条直线对折，左右两边能完全重合，则该图形就是轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】 解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．据此逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．有无数条对称轴，不符合题意；
B．有1条对称轴，符合题意；
C．有2条对称轴，不符合题意；
D．有3条对称轴，不符合题意．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案．
【详解】解：由轴对称图形的定义可得：左起第2，3，4个图形都是轴对称图形，左起第1个图形不是轴对称图形，共有3个，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答．
【详解】解：∵为镜像显示的时间，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是，
故选：A
6．D
【分析】本题考查折叠问题，平行线的性质，求出的度数，折叠的性质，得到的度数，再根据角的和差关系，即可得出结果．
【详解】解：∵长方形纸片，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
故选D．
7．B
【分析】本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键．
由对称的性质证明，再根据三角形面积计算即可．
【详解】解：如图，
，点与点关于对称，点与点关于对称，
，，，
，
，
即，
．
故选B．
8．B
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解：∵长方形纸条 沿折叠
∴
∵，设
∴
∵
∴
∴ ，解得：
∴
故选：B.
9．B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故不符合题意；
B、矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
C、直角三角形既不一定是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，
则点为所求燃气站的位置．
故选：C；
11．共
【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握相关知识．根据轴对称图形的特征即可求解．
【详解】解：由题意可得这个字是共，
故答案为：共．
12．
【分析】利用平行线的性质，折叠的性质，平角的定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵纸片的一角向内折叠，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质得到，由周长的计算即可求解．
【详解】解：将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，
∴，
∵的周长为
，
故答案为：8 ．
14．6
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称．
故答案为：6．
15．2
【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解．
【详解】解：如图所示，
即：满足条件的点的个数为2个，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键．
16．见解析
【分析】本题主要考查了画轴对称图形，先分别作出点A和点B关于直线l的对称点和，然后再顺次连接即可．
【详解】解：如图，即为所求．
17．见解析
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键 ．
【详解】如图所示，
18．（1）90；（2）见解析；（3）或或．
【分析】此题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据折叠得到，进而求解即可；
（2）由题意得到，即可证明；
（3）根据题意分3种情况讨论，然后分别根据平行线的性质和折叠的性质求解即可．
【详解】（1）由折叠可得，
∵
∴；
（2）同（1）可得，，
∴
∴；
（3）如图所示，当时，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
由折叠得，；
如图所示，当时，此时点D，重合
∴
∴；
如图所示，当时，
∴
由折叠得，
∴；
综上所述，当三角形的边平行于正方形的边时，或或．
19．(1)，见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键．
（1）证明，即可得到结论；
（2）求出．根据即可得到答案．
【详解】（1）．
证明：由折叠可知：．
∵．
∴．
同理：．
∴
∴．
（2）解：由折叠可知：．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
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