5.2 简单的轴对称图形（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

5.2 简单的轴对称图形（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）

A．21 B．14 C．13 D．9
3．在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
5．如图，线段，垂足为点，，则下列说法正确的有（ ）
①垂直平分；
②垂直平分；
③的垂直平分线是；
④的垂直平分线是所在的直线；
⑤的垂直平分线是所在的直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，已知：，则下列说法正确的个数有（ ）
（1）平分
（2）垂直平分
（3）与互相垂直平分
（4）平分
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
7．如图，下列说法正确的是（ ）
A．若，则垂直平分
B．若，则垂直平分
C．若，则垂直平分
D．若，则垂直平分
8．如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，折痕为，则的周长是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
10．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
二、填空题
11．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，立柱，若，则 ．
12．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ．
13．如图，在中，，，是边上的中线，则的度数为 ．
14．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知，，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是坐标轴上两点，连接，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点C．若点C的坐标为，则点C到的距离是 ．
三、解答题
16．证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直．
17．如图，已知和都是等腰三角形，，且．求证：．

18．如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等．
(1)满足条件的加气站共有______处；
(2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
19．【知识生成】
我们在第一章已经学习了完全平方公式，，请结合完全平方公式解决以下问题：
【直接运用】
（1）若，则_____；
【转化应用】
（2）如图，已直角三角形和直角三角形中，，连接，点E是的垂直平分线与的交点，连接．
①试说明：；
②设，且．已知，求．
参考答案
1．C
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案．
【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：在中，，，
，，，
故选项A.B.C正确，不符合题意；
不能证明，
故选项D不正确，符合题意；
故：D．
4．C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，
∴，，
∴的周长为：，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查线段垂直平分线的定义，根据线段垂直平分线的定义逐个判断即可．
【详解】解：①∵线段，，
∴垂直平分，故①正确；
②不能证明垂直平分，故②④错误；
③的垂直平分线是所在的直线．故③错误，⑤正确；
说法正确的有2个，
故选：B．
6．A
【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一．
由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分，进而得到平分．
【详解】，，
点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
垂直平分．
∴平分
∴说法正确的个数有一个
故选：A．
7．C
【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理逐一判断进而得到答案．
【详解】解：A、若，则在线段的垂直平分线上，该选项说法错误，不符合题意；
B、若，则在线段的垂直平分线上，该选项说法错误，不符合题意；
C、若，则垂直平分，该选项说法正确，符合题意；
D、若，则垂直平分，该选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，能熟记到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解此题的关键．
8．C
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比．
【详解】解：过点作于点，作于点，作于点．
，，是的三条角平分线，，，
，
的三边、、长分别为20、30、40，
．
故选C．
9．A
【分析】本题主要考查了翻折，熟练掌握翻折的性质，前后对应线段相等是解题的关键．
由翻折得，，则的周长等于，即得．
【详解】解：∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长为，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值．
过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：

∵平分于点于，
∴，
∴是最小值，此时与重合与重合，
∵三角形的面积为，
∴，
∴，
即的最小值为6．
故选：B．
11．55
【分析】本题考查三线合一，根据等腰三角形的三线合一，得到平分，即可得出结果．
【详解】解：∵为等腰三角形，，
∴平分，
∴；
故答案为：55．
12．/90度
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答．
【详解】解：如图：
∵和分别垂直平分和，
，
，
，
，
故答案为：．
13．/20度
【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，根据等腰三角形三线合一性质求解即可．
【详解】∵在中，，，是边上的中线，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题．
【详解】解：为的垂直平分线，，
，
，
则
；
故答案为：．
15．2
【分析】本题主要考查作图中的角平分线做法，以及角平分线的性质和点与距离的关系，过点C作于点D，由作图痕迹可知平分，结合点坐标即可知，即知点C到的距离．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
由作图痕迹可知平分，
∵，点C的坐标为，
∴，
即点C到的距离是2．
故答案为：2．
16．见解析
【详解】已知如图，分别平分且相交于点．
求证：．
证明：，
．
分别平分，
，
，
．
17．证明见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，
先根据等边对等角得，得出，再说明，即可得，然后根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
即．
∵，
∴．
18．(1)4
(2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，
（1）根据角平分线的性质判断即可；
（2）作三角形两个内角平分线的交点或两个外角平分线的交点都得到图形．
【详解】（1）解：如图：
∵外角平分线的交点有3处，内角平分线的交点有1处，
∴满足条件的点有4处，
故答案为：4；
（2）解：如图，点即为所求，
19．（1）11
（2）①详见解析；②9
【分析】本题考查完全平方公式，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握利用完全平方公式变形求值是解题的关键．
（1）利用完全平方公式变形求解即可；
（2）①用证明即可；
②由，得，，再根据，得出，又因，求得，然后根据求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：11；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E是的垂直平分线与的交点，
∴，
在与中，
，
∴，
②∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．