2025-2026北师大版九年级数学上册期末考试模拟题（含解析）

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2025-2026北师大版九年级数学上册期末考试模拟题
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．a3÷a3＝a C．a2 a3＝a5 D．（﹣a2）3＝a6
3．为了应对九年级中考体育测试，某班对学生的跳远进行了抽测，其中一名学生进行了6次测试，其跳远的数据如下（单位：厘米）：238，235，240，242，240，243，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．240，240 B．240，239 C．241，240 D．240，241
4．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
6．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝20，则AC的长度是（　　）
A．20（1） B． C．10（3） D．50（1）
7．据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（　　）
年龄范围（岁） 人数（人）
90﹣91 25
92﹣93 ■
94﹣95 ■
96﹣97 11
98﹣99 10
100﹣101 m
A．该小组共统计了100名数学家的年龄
B．统计表中m的值为5
C．长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有110人
8．某商店销售美味的靖远羊肉，去年第二季度的总利润达13902元，4月的利润为4200元．设该商店5，6月销售羊肉利润的月平均增长率为x，则可列出方程为（　　）
A．4200（1+x）2＝13902
B．4200（1+x）+4200（1+x）2＝13902
C．4200（1+x%）2＝13902
D．4200+4200（1+x）+4200（1+x）2＝13902
9．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．若△OAB的面积为3，则k的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝8cm，点O为斜边AB的中点，连接OC，点E，F分别从A，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿A→C，C→B运动，到点C，B时停止运动．设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共7小题）
11．分解因式：3x2+6xy+3y2＝　 　 ．
12．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ．
13．已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　 　 （请写出一个符合条件的k值）．
14．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　 　 ．
15．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 　 　 cm．
16．如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接OA，OB，若OA⊥OB，OA＝3OB，则k＝ 　 　 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2cm/s，点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为1cm/s，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接PQ、PC，设运动的时间为t（s）（0≤t≤6）．若以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似时，则t的值为　 　 ．
三．解答题（共11小题）
18．计算：．
19．解分式方程：．
20．解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．
21．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，
AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取DC＝a；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
22．2024年11月19日，中国载人航天工程办公室发布2024年度天舟七号飞行任务、天舟八号飞行任务、神舟十八号载人飞行任务、神舟十九号载人飞行任务4次飞行任务标识，共同体现了我们航天事业的繁荣昌盛．小明对航空航天非常感兴趣，他收集到了天舟七号、天舟八号、神舟十八号、神舟十九号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是“天舟七号”的概率为 　 　 ；
（2）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（天舟七号）和D（神舟十九号）的概率．
23．2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔DE的高度．
24．近年来，我国航天事业成果丰硕，某校为了加强学生爱国主义教育，特组织进行了七、八年级全体学生“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C；85≤x＜90，D；85分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：86，85，88，89；
八年级C组同学的分数分别为：86，87，88，88，89，89，89，89，89．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 88 a 95 m
八年级 88 89 b 35%
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛“中，哪个年级学生对航天知识的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
25．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y（m≠0）交于点A（4，1）与点B（﹣1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
26．如图，△DBE内接于⊙O，DB是⊙O的直径，BE平分∠DBC，∠C＝90°，延长BD交CE的延长线于点A，连接OE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，OA＝8，求AE的值．
27．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．求的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．求的值．
28．如图1，抛物线y＝a（x）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积；
（3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF．
①当AE时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值．
2025-2026北师大版九年级上册期末考试模拟题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A B B D D A B
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形及中心对称图形，熟知轴对称图形及中心对称图形的定义是解题的关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．a3÷a3＝a C．a2 a3＝a5 D．（﹣a2）3＝a6
【分析】根据二次根式的加减法则；同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘分别计算判断即可．
【解答】解：A、与不能合并，故此选项不符合题意；
B、a3÷a3＝1，故此选项不符合题意；
C、a2 a3＝a5，故此选项符合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的加减，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则及二次根式的运算法则是解题的关键．
3．为了应对九年级中考体育测试，某班对学生的跳远进行了抽测，其中一名学生进行了6次测试，其跳远的数据如下（单位：厘米）：238，235，240，242，240，243，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．240，240 B．240，239 C．241，240 D．240，241
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：∵数据从小到大排列为：235，238，240，240，242，243，
∴中间的数为240，240，
∴中位数为：，
∵这一组数中240出现的次数最多，
∴众数为240，
故选：A．
【点评】此题考查了中位数和众数，熟知中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数即一组数据中出现次数最多的数是解题的关键．
4．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先把化成，再代值计算即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴设a＝7k，则b＝5k，
∴．
故选：A．
【点评】此题主要考查了代数式求值的有关计算，熟练掌握代数式求值的有关计算是解题的关键．
5．某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝20，则AC的长度是（　　）
A．20（1） B． C．10（3） D．50（1）
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
所以．
又因为AB＝20，
所以AC．
故选：B．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
7．据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（　　）
年龄范围（岁） 人数（人）
90﹣91 25
92﹣93 ■
94﹣95 ■
96﹣97 11
98﹣99 10
100﹣101 m
A．该小组共统计了100名数学家的年龄
B．统计表中m的值为5
C．长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有110人
【分析】根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、该小组共统计的人数为：10÷10%＝100（人），故不符合题意；
B、统计表中m的值为100×5%＝5（人），故不符合题意；
C、长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数为100×35%＝35，长寿数学家年龄在94﹣95岁的人数为100×14%＝14（人），所以长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多，故不符合题意；
D、根据已知求不出《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
8．某商店销售美味的靖远羊肉，去年第二季度的总利润达13902元，4月的利润为4200元．设该商店5，6月销售羊肉利润的月平均增长率为x，则可列出方程为（　　）
A．4200（1+x）2＝13902
B．4200（1+x）+4200（1+x）2＝13902
C．4200（1+x%）2＝13902
D．4200+4200（1+x）+4200（1+x）2＝13902
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设月平均增长率为x，表示出5，6月销售羊肉利润，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：由题意可得：4200+4200（1+x）+4200（1+x）2＝13902．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
9．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．若△OAB的面积为3，则k的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，构建方程求解．
【解答】解：由题意k＜0，
∵3，
∴k＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解反比例函数系数k的几何意义．
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝8cm，点O为斜边AB的中点，连接OC，点E，F分别从A，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿A→C，C→B运动，到点C，B时停止运动．设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由点E，F分别从A，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿AC，CB运动，得到AE＝CF＝t，则CE＝8﹣t，再根据等腰直角三角形的性质可得OA＝OC，∠OAC＝∠OCB＝45°，然后根据“SAS”可判断△OAE △OCF，所以S△OAE＝S△OCF，这样S四边形OECF＝S△OAC＝16，于是，然后配方得到，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：根据题意可得AE＝CF＝t，CE＝8﹣t，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA＝OC，∠OAC＝∠OCB＝45°，
在△OAE和△OCF中：
，
∴△OAE △OCF（SAS），
∴S△OAE＝S△OCF，
∴，
∴，
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为开口向上的抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题与函数图象及二次函数图象性质，抓住问题的变化趋势、变化速度、横轴纵轴的实际意义得到正确的图象是解决此题的关键．
二．填空题（共7小题）
11．分解因式：3x2+6xy+3y2＝　3（x+y）2 ．
【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．
【解答】解：3x2+6xy+3y2，
＝3（x2+2xy+y2），
＝3（x+y）2
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　且x≠0　 ．
【分析】分式有意义的条件，求一元一次不等式组的解集，根据二次根式有意义的条件得到2x+3≥0且x≠0，进行求解得出答案即可．
【解答】解：根据题意，得2x+3≥0且x≠0，
解得：且x≠0，
故答案为：且x≠0．
【点评】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不等于零．
13．已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　6（答案不唯一）　 （请写出一个符合条件的k值）．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵点A（2，y1），B（6，y2）且y1＞y2，
∴反比例函数的增减性是在每个象限内y随x的增大而减小，
∴k＞0，
不妨令k＝6，
故答案为：6（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
14．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　8　 ．
【分析】根据m*n＝mn﹣mn，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵m*n＝mn﹣mn，
∴（﹣2）*2
＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
15．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 　　 cm．
【分析】设EF＝FD＝x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵AE＝EB＝3，EF＝FD，设EF＝DF＝x．则AF＝6﹣x，
在RT△AEF中，∵AE2+AF2＝EF2，
∴32+（6﹣x）2＝x2，
∴x，
∴AF＝6cm，
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接OA，OB，若OA⊥OB，OA＝3OB，则k＝ 　　 ．
【分析】先证得△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质得出，则，得出．
【解答】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵∠AOE+∠BOF＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
∵∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴，
∴，
∴，
∴AE OE＝3，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握以上知识点是关键．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2cm/s，点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为1cm/s，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接PQ、PC，设运动的时间为t（s）（0≤t≤6）．若以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似时，则t的值为　或9﹣3　 ．
【分析】△APQ与△BPC都是直角三角形，两个三角形相似时，AP的对应边是BP或BC．分两种情形构建方程，分别求解即可．
【解答】解：分两种情况：
①当△AQP∽△BPC时，，
即，
∴t或t＝6（舍去），
∴t；
②当△APQ∽△BPC时，，
即，
∴t2﹣18t+36＝0，
∴t＝9﹣3或t＝9+3，
经检验，t＝9±3是分式方程的解，t＝9+3不符合题意，舍去，
∴当t或9﹣3时，以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似．
故答案为：或9﹣3．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
三．解答题（共11小题）
18．计算：．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：
＝3﹣31
．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
19．解分式方程：．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x+1﹣（2x﹣1）＝x2﹣1，
整理得：x2+x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
则x，
即x1，x2，
经检验，x1，x2都是原方程的解．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
20．解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
【解答】解：，
由①得x≤2，
由②得 x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴原不等式组的所有整数解为0，1，2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
21．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，
AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取DC＝a；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】根据作图步骤作图即可．
【解答】解：如图3所示．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、垂径定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．2024年11月19日，中国载人航天工程办公室发布2024年度天舟七号飞行任务、天舟八号飞行任务、神舟十八号载人飞行任务、神舟十九号载人飞行任务4次飞行任务标识，共同体现了我们航天事业的繁荣昌盛．小明对航空航天非常感兴趣，他收集到了天舟七号、天舟八号、神舟十八号、神舟十九号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是“天舟七号”的概率为 　　 ；
（2）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（天舟七号）和D（神舟十九号）的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是编号为A（天舟七号）和D（神舟十九号）的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵小明收集到了天舟七号、天舟八号、神舟十八号、神舟十九号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片，
∴小明从中随机抽取一张卡片是“天舟七号”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是编号为A（天舟七号）和D（神舟十九号）的结果有2种，即AD、DA，
∴抽到的两张卡片恰好是编号为A（天舟七号）和D（神舟十九号）的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔DE的高度．
【分析】（1）根据题意求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出BC；
（2）延长ED交BC的延长线于点F，设DE＝xm，用x表示出DF、BF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）由题意可知：AB＝6.8×5＝34（m），
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
则BC＝AB＝34m，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为34m；
（2）如图②，延长ED交BC的延长线于点F，
则四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝34m，
设DE＝xm，则DF＝（34﹣x）m，
在Rt△DFC中，∠DFC＝45°，
则FC＝DF＝（34﹣x）m，
∴BF＝CF+BC＝（68﹣x）m，
在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，
∵tan∠FBD，
∴DF＝BF tan∠FBD，即34﹣x＝（68﹣x）×0.36，
解得：x≈15，
答：四门塔DE的高度约为15m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．近年来，我国航天事业成果丰硕，某校为了加强学生爱国主义教育，特组织进行了七、八年级全体学生“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C；85≤x＜90，D；85分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：86，85，88，89；
八年级C组同学的分数分别为：86，87，88，88，89，89，89，89，89．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 88 a 95 m
八年级 88 89 b 35%
（1）填空：a＝　87　 ，b＝　89　 ，m＝　40%　 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛“中，哪个年级学生对航天知识的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【分析】（1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值；
（2）根据表格中的数据，可以解答本题；
（3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【解答】解：（1）由条形统计图可得：a＝（86+88）÷2＝87，
由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为5÷20＝25%，
∴b＝89，
m＝（3+5）÷20×100%＝40%，
故答案为：87，89，40%；
（2）七年级学生对航天知识的了解情况更好，理由：由表格可知，七年级学生对航天知识的了解的优秀率高于八年级学生对航天知识的了解的优秀率；
（3）由题意可得，
750×40%+660×35%
＝300+231
＝531（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有531人．
【点评】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y（m≠0）交于点A（4，1）与点B（﹣1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）把点A（4，1）与点B（﹣1，n）代入反比例函数y得到m＝4，即反比例函数的解析式为y，把点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）代入一次函数y＝kx+b，得到，解得：得到一次函数解析式为y＝x﹣3；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由图象即可可得结论．
【解答】（1）解：∵点A（4，1）与点B（﹣1，n）在反比例函数y（m≠0）图象上，
∴m＝4，即反比例函数的解析式为y，
当x＝1时，n＝﹣4，即B（﹣1，﹣4），
∵点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上，
∴，解得：
∴一次函数解析式为y＝x﹣3；
（2）解：对于y＝x﹣3，当y＝0时，x＝3，
∴C（3，0）
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC3×43×1；
（3）解：由图象可得，当﹣1＜x＜0或x＞4时，一次函数的值大于反例函数的值．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积公式，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
26．如图，△DBE内接于⊙O，DB是⊙O的直径，BE平分∠DBC，∠C＝90°，延长BD交CE的延长线于点A，连接OE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，OA＝8，求AE的值．
【分析】（1）由OE＝OB，得∠OEB＝∠ABE，而∠CBE＝∠ABE，所以∠OEB＝∠CBE，则OE∥BC，所以∠OEA＝∠C＝90°，即可证明AC是⊙O的切线；
（2）由OE∥BC，得∠AOE＝∠ABC，则cos∠AOE＝cos∠ABC，因为OA＝8，所以OEOA＝4，则AE4．
【解答】（1）证明：∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠ABE，
∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠C＝90°，
∵OE是⊙O的半径，且AC⊥OE于点E，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵OE∥BC，
∴∠AOE＝∠ABC，
∵∠OEA＝90°，OA＝8，
∴cos∠AOE＝cos∠ABC，
∴OEOA＝4，
∴AE4，
∴AE的值为4．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出OE∥BC是解题的关键．
27．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．求的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．求的值．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，即可得BD＝CE；
（2）证明△ABC∽△ADE，可推导出，再证明△ADB∽△AEC，可得，设AB＝x，则BC＝x，在Rt△ABC中，求出ACx，则；
（3）由已知可证△ABC∽△ADE，则，再证△CAE∽△BAD，即可得．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD．
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
∴△ADB∽△AEC，
∴，
设AB＝x，则BC＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，ACx，
∴；
（3）∵，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴．
【点评】本题主要考查了相似形的综合题，是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
28．如图1，抛物线y＝a（x）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积；
（3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF．
①当AE时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点A的坐标，进而得到点M的坐标，求出直线AB的解析式，进而求出点C的坐标，求出点D的坐标，根据△BCD的面积 OM进行求解即可；
（3）①根据要求作图即可，连接BF，作FQ⊥OB于点Q，证明△AOE≌△BOF，得到∠OBF＝∠OAE＝45°，BF＝AE，进而得到△FQB为等腰直角三角形，求出F点坐标，将F点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点F是否在抛物线上即可；
②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，PF，MF，作MH⊥BG于点H，斜边上的中线得到MP2，根据PF≥MF﹣PM，得到当M，P，F三点共线时，PF最小，同①可知，∠OBF＝∠OAE＝45°，得到点F在射线BG上运动，进而得到当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH﹣PM，易得△OBG为等腰直角三角形，求出OG的长，进而求出MG的长，易得△MHG为等腰直角三角形，求出MH的长，根据PF最小为MH﹣PM，计算即可．
【解答】解：（1）把B（0，﹣4），代入y＝a（）（x﹣4）（a≠0），
得﹣10a＝﹣4，
解得：，
∴y；
（2）当y0时，
则，x2＝4，
∴A（4，0），
∵M是OA的中点，
∴M（2，0），
∴OM＝2，
∵B（0，﹣4），
∴设直线AB的解析式为：y＝kx﹣4，把A（4，0），代入，
得k＝1，
∴y＝x﹣4，
∵点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，
∴C（2，﹣2），D（2，），
∴，
∴△BCD的面积；
（3）①由题意，作图如下：
连接BF，作FQ⊥OB于点Q，
由（2）可知：OA＝OB＝4，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°
∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF，
∴OE＝OF，∠EOF＝90°＝∠BOA，
∴∠AOE＝∠BOF，
又∵OA＝OB，OE＝OF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠OBF＝∠OAE＝45°，，
∵FQ⊥OB，
∴△FQB为等腰直角三角形，
∴，
∴OQ＝OB﹣BQ＝3，
∴F（﹣1，﹣3），
对于，
当x＝﹣1时，，
∴点F在抛物线上；
②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H，如图，
∵∠OPA＝90°，M为OA的中点，
∴，
∵PF≥MF﹣PM，
∴当M，P，F三点共线时，PF最小，
同①可得，∠OBF＝∠OAE＝45°，
∴点F在射线BG上运动，
∴当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH﹣PM，
∵∠OBG＝45°，
∴△OBG为等腰直角三角形，
∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45°
∴MG＝OG+OM＝6，△MHG为等腰直角三角形，
∴，
∴PF的最小值为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键．
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