5.3一元一次方程的应用寒假练习（含解析）北师大版数学七年级上册

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5.3一元一次方程的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（ ）
A．125 B．110 C．75 D．60
2．一项工程，甲单独做需12天，乙的工作效率比甲高，乙单独做这项工程需（ ）
A．6天 B．8天 C．10天 D．11天
3．10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船的成功发射，不仅是中国航天事业的一大里程碑，也是国家科技实力和综合国力的生动展现．在加工一批航天十九号载人飞船零件过程中，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．若甲先做1天，然后甲，乙合作完成此项工作，若甲乙合作了天，则所列方程为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，这是年3月份的月历表，用框数器“”框出表中任意5个数，则这5个数的和不可能是（ ）
日 一 二 三 四 五 六
1 2
3 4 5 6 7 8 9
A． B． C． D．
5．我市围绕“科学节粮减损，保障粮食安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”．每套小粮仓的定价是350元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分是农户实际出资的三倍还多30元，则购买一套小粮仓农户实际出资是( )
A．80元 B．95元
C．135元 D．270元
6．水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下：
用水量（吨） 水费（元/吨）
不超过10吨的部分
超过10吨且不超过15吨的部分
超出15吨的部分
另：每吨用水加收1元的城市污水处理费
小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（ ）
A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨
7．足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（ ）
A．2场 B．3场 C．4场 D．5场
8．某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（ ）
A． B． C． D．
9．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．王磊老师用两根等长的铁丝围成了等边三角形和正方形，已知正方形的边长比等边三角形的边长少，则用其中一根铁丝围成一个边长为的长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足．点P为直线上点B右边的一点，且，点Q为中点，则线段的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．15
12．如图，沿着边长为米的正方形，按方向，甲从以米/分的速度，乙从以米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（ ）
A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D
二、填空题
13．某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了 台计算机．
14．售价 打折率进价（ ）；
15．某文具店店庆促销，单价为100元的书包，打折后，每个再减10元，降价后售价为70元．则该文具店打 折．
16．一份试卷有30道题，若答对一题得3分，答错或不答每题倒扣2分，某学生的得分为零，则答对了 题
17．某商品按定价的八折出售，售价为56元，则原定价为 元．
三、解答题
18．在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；
（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；
（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
19．根据所设未知数列方程：
(1)小华去超市买文具，单价为1.5元的圆珠笔买了4支，笔记本买了5本，共用了18元，求笔记本每本多少元？（设笔记本每本元）
(2)小明今年的年龄是13岁，小华今年年龄的3倍比小明年龄的2倍多10岁，求小华今年的年龄是多少岁？（设小华今年的年龄是岁）
(3)在“情系灾区”捐款活动中，甲、乙两人共捐500元，已知甲比乙多90元，问两人各捐款多少元？（设乙捐款元）
20．如图，点在同一直线上，是的余角的倍，求的大小．
21．安徽砀山是著名的水果之乡，现有一些箱子用来装苹果，若每只箱子装苹果25千克，则剩余40千克的苹果没有箱子装；若每只箱子装苹果30千克，则余下20只空箱子，请你帮忙计算这些箱子有多少只？
22．已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB＝24．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当t＝1时，写出数轴上点B，P所表示的数；
(2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问当t为何值点P与点Q相距3个单位长度？
23．为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水费分为三个等级（如图）；
例如：某户用水量为35吨，则水费为（元）．
(1)若某住户收到一张自来水总公司水费专用发票，其中上期抄表数为587吨，本期抄表数为617吨，请计算本期该用户应付的水费．
(2)若该住户的用水量为x吨，应付水费为y元，求出y关于x的函数表达式．
(3)小明爸爸收到水费短信通知：2022年2月本期用水量为45吨，水费为150.5元．根据此通知求出第三级收费标准a的值．
24．数学课外活动小组购买签字笔和涂卡笔共支，其中签字笔的数量比涂卡笔数量的倍多支．求购买签字笔和涂卡笔各几支？
《5.3一元一次方程的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D A C D D B A
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为，可求出这五个数的和，再令这五个数的和分别为四个选项中的数，解方程求出的值，看是否满足日历的特点即可得到答案．
【详解】解：设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为，
∴这五个数的和为，
当，解得，而25不能作为最中间的数，故A符合题意；
当，解得，而22能作为最中间的数，故B不符合题意；
当，解得，而15能作为最中间的数，故C不符合题意；
当，解得，而12能作为最中间的数，故D不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列式计算是解题的关键；
设工作总量为“”， 根据题意分别求出甲乙的工作效率，然后可以计算出乙单独做这项工作所需的时间．
【详解】设工作总量为“”， 甲单独做需天，则甲的工作效率为 ，
乙的工作效率比甲高，
则乙的工作效率为，
乙单独做这项工程需要的时间为天，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．过程中，甲做了天，乙做了x天，然后根据总工作量为1即可列出方程．
【详解】解：设甲乙合做了x天，根据题意可得：；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设中间数字为x，表示出其余4个数，再得到5个数字之和，最后代入答案得到数字结合日历表判断即可得到答案．
【详解】解：设中间数字为x，则其余数字为，，，，
5个数字和为：，
当时，，此时月历表可以框出这5个数，符合题意，故这5个数的和可能是，
当时，，此时月历表可以框出这5个数，符合题意，故这5个数的和可能是，
当时，，此时月历表可以框出这5个数，符合题意，故这5个数的和可能是，
当时，，此时月历表不能框出这5个数，不符合题意，故这5个数的和不可能是，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设购买一套小货仓农户实际出资是x元，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：设购买一套小货仓农户实际出资是x元，
依题意有，
解得：．
∴购买一套小货仓农户实际出资是80元．
故选A．
6．C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键．
设7、8两月小明家共用水吨，然后根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设7、8两月小明家共用水吨，
，解得：，
经检验，是原方程的解，
答：7、8两月小明家共用水23吨．
故答案为：C．
7．D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，准确理解等量关系是解题的关键．设该队胜了场，根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】解：设该队胜了场，故平了场，
，
解得．
故一共胜了场．
故选：D．
8．D
【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可．
【详解】解：设他家这个月共用天然气，
（元），且，
他家这个月用天然气超过，
根据题意得：，
解得，
答：他家这个月共用天然气，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用．
9．B
【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可．
【详解】解：每3人乘一车，剩余2辆车，
∴总人数为 ；
每2人共乘一车，剩余9人无车，
∴人数为 ；
∴，
故选B．
10．A
【分析】本题考查了方程与几何图形面积的运用，理解数量关系，正确列出方程求出铁丝的长是关键．
设等边三角形的边长为，则正方形的边长为，由此列方程得到铁丝的长，从而得到长方形的宽，根据长方形面积的计算即可求解．
【详解】解：用两根等长的铁丝围成了等边三角形和正方形，设等边三角形的边长为，则正方形的边长为，
∴，
解得，，
∴等边三角形的边长为，
∴铁丝的长度为，
用其中一根铁丝围成一个边长为的长方形，
∴该长方形的宽为，
∴该长方形的面积，
故选：A ．
11．C
【分析】根据a、b满足，即可得到a、b的值，从而可以得到点A，B所表示的数；设点P表示的数为m，先根据中点的定义表示点Q，根据数轴上两点的距离表示，列方程可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
即点A，B所表示的数分别为，3；
设点P表示的数为m，
∵点P在直线上点B右边一点，
∴，
∵点Q为的中点，
∴
∴点Q表示的数为：
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数轴上两点的距离表示线段的长．
12．B
【分析】设乙第一次追上甲用了分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上，根据其相等关系列方程得，再根据可得出答案．本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
【详解】解︰设乙第一次追上甲用了分钟，
由题意得∶，
解得∶，
而．
所以乙第一次追上甲时是在正方形的顶点处．
故选∶．
13．20
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语“三年共购买计算机140台”，就找到了相应的等量关系．
设前年这个学校购买了台计算机，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设前年这个学校购买了台计算机，
根据题意得：，
解得：．
答：前年这个学校购买20台计算机．
故答案为：20．
14． 标价 利润率
【分析】根据售价等于标价乘以折扣，等于进价乘以利润率加上进价，即可求解．
【详解】解：售价打折率进价（利润率）
故答案为：标价，利润率．
【点睛】本题考查了销售关系式，熟练掌握售价、进价、利润之间的关系是解题的关键．
15．八
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设该文具店打折，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设该文具店打折，
根据题意得，
解得，
该文具店打八折，
故答案为：八．
16．12
【分析】设某学生答对了x道题，由题意：共有30道题，答对每题得3分，答错或不答每题扣2分，最后某学生得分为0分，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设某学生答对了x道题，答错或不答道题，
由题意得：，
解得：，
即某学生答对了12道题，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．70
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程解题关键．
设原定价为x元，根据题意列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：设原定价为x元，
由题意得：，
解得：，
即商品原定价为70元．
故答案为：70．
18．（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒．
【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（2）先根据路程=速度×时间求出7秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（3）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．
【详解】解：（1）∵4×2.5=10，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，
Q处于：1-2+3-4=4-6=-2；
（2）∵4×7=28，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，
Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；
（3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则
，
解得n=95，
∴动点Q走过的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95
=1+2+3+…+95
=
=4560，
∴时间=4560÷4=1140(秒)；
②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，
解得n=96，
∴动点Q走过的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|
=1+2+3+…+96
=
=4656，
∴时间=4656÷4=1164(秒) ．
【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找到题目中的数量关系是解题的关键．
（1）根据圆珠笔的总价与笔记本总价等于18元，即可列出方程；
（2）根据3倍的小华今年的年龄等于2倍的小明今年的年龄加10岁，即可列出方程；
（3）根据甲、乙两人的捐款总和500元，即可列出方程．
【详解】（1）解：设笔记本每本元，
由题意得，；
（2）解：设小华今年的年龄是岁，
由题意得，；
（3）解：设乙捐款元，
由题意得，．
20．
【分析】本题考查了余角的定义，一元一次方程的应用，设，则，由可得，解方程即可求解，理解余角的定义并根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
解得，
∴的度数为．
21．128只
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这些箱子有x只，根据题意，由两种方式的苹果总重量相等列方程求解即可．
【详解】解：设这些箱子有x只，
根据题意，得，
解得，
答：这些箱子有128只．
22．(1)点B表示的数为-1，点P表示的数为19
(2)3或
【分析】（1）根据题意可知点B表示的数为-1，点A表示的数为23，再结合点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可求出当运动时间为1秒时点P表示的数；
（2）由题意可知当运动时间为t秒时，点P表示的数为23-4t，点Q表示的数为3t-1，再由PQ的距离为3，即可列出关于t的等式，解出t即可．
【详解】（1）∵点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB＝24．
∴点B表示的数为-1，点A表示的数为-1+24＝23．
∵点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t秒，
∴当t＝1时，点P表示的数为23-4×1＝19．
（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为23-4t，点Q表示的数为3t-1，
依题意，得：|23-4t-(3t-1)|＝3，
即24-7t＝3或7t-24＝3，
解得：t＝3或t＝．
答：当t为3或时，点P与点Q相距3个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用．用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意找出等量关系，列出等式．
23．(1)84.5元
(2)
(3)6.3
【分析】（1）先计算出该用户本月的用水量，再根据分段收费的标准进行计算即可；
（2）由图像可知，用水量为20到40吨，每吨收费3.45元，不超过20吨的部分，每吨收费2.5元，据此可列出函数表达式；
（3）小明家的用水量超过了40吨，根据题意列出方程，即可计算出a的值．
【详解】（1）解：用水量：（吨）．
水费：（元）．
答：本期该用户应付水费84.5元．
（2）解：
∴y关于x的函数表达式为：
（3）解：据题意可列方程：
解得
答：a的值为6.3．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂函数图象，根据题意列出正确的函数表达式或方程．
24．购买签字笔支，购买涂卡笔支
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．设购买签字笔支，则购买涂卡笔支，根据题意得：，解方程即可．
【详解】解：设购买签字笔支，则购买涂卡笔支，
根据题意得：，
解得：，
，
答：购买签字笔支，购买涂卡笔支．
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