3.3探索与表达规律寒假练习（含解析）北师大版数学七年级上册

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3.3探索与表达规律
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点在射线上，且，以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点，依此类推，以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为（　　）
A． B． C． D．
2．小蓉在某月的日历上提出了如图所示的四个数a、b、c、d，则这四个数的和可能是（　　）
A．24 B．27 C．28 D．30
3．如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当时，三角数为1，当时，三角数为3，则当时，三角数为（ ）
A．100 B．110 C．55 D．50
4．如图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，…，则第（2025）个图案中基础图形的个数是（ ）
A．6073 B．6074 C．6075 D．6076
5．正整数按下图的规律排列．则第10行，第11列的数是（ ）
A．109 B．110 C．111 D．112
6．已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开，绳子的段数与剪的刀数有如下关系：
剪的刀数/刀 1 2 3 4 5 6
绳子的段数/段 4 7 10 13 16 19
当剪8刀时，绳子的段数是（ ）
A．22 B．24 C．25 D．28
8．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，其中第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
9．将正偶数按如下规律排列，则数字100在（ ）
A．第8排 B．第9排 C．第10排 D．第11排
10．如图，小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图①中棋子围成三角形，其个数为3，6，9，12，…称为三角形数．类似的，图②中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．2019 B．2018 C．2017 D．2016
11．在一张日历上，在同一行或同一列上任意圈出三个相邻的数，它们的和不可能是（ ）
A．60 B．39 C．40 D．51
12．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①，②，③，④，相应矩形的周长如下表所示：
序号 ① ② ③ ④
周长 6 10 16 26
若按此规律继续作矩形，则序号为11的矩形周长是 ．
14．用相同的小正方形按规律摆放图案，如图所示，第一个图案有4个小正方形，第二个有7个，第三个有10个，依此类推，则第n个图案有 个小正方形．
15．观察下列式子的规律：、、、、…，则第个式子为 ．
16．在日历图中，数a的前面一个数是 ，数a正下方的一个数是 .
17．如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第2024个图案中小五角星有 颗．
三、解答题
18．如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放．
(1)按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒(用n的代数式表示，并化简）．
(2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由．
(3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图．
19．日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2014年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”，我们惊喜的发现这好像是日历中普遍存在的一个规律．
(1)请同学们在2014年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律
(2)请同学们利用你学过的数学知识来解释这一规律．
20．如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸．
(1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　)，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　)
(2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是(　　)，当时，所贴剪纸“〇”的个数是(　　)
21．我国现行的二代身份证号码是18个数字（第18位可能由字母X表示），它是由（从左至右）前17位数字本体码和最后1位校验码组成的．
小睿同学通过查阅资料发现：身份证前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码．第18位校验码由前17位数字根据一定规则计算得出．为了方便表示，现将身份证的18位数字（从左至右）依次记为：，，…，，，其中表示（从左至右）第1位上的数字．计算校验码的规则是：
步骤1．将每一位数字本体码分别乘以一个指定的数，之后将乘积相加，求得S．具体公式为：
；
步骤2．将S除以11所得的余数为Y；
步骤3．查阅下表得到对应的校验码（其中X为罗马数字，用来代替10）
余数Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2
小春同学决定用自己的身份证号码验证一下，他的身份证前17位数字本体码是：
11010820101008324（如下表），请按照校验码计算规则完成下列问题：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 1 0 1 0 8 2 0 1 0 1 0 0 8 3 2 4
(1)小春同学的身份证号码对应的 ， ；
(2)小春同学的身份证号码中校验码是 ；
(3)小春同学无意间获知了小方同学身份证号码的一部分，如下：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 1 0 1 0 2 0 1 1 0 3 2 0 5 1 2
他想要在小方同学生日时给他惊喜，于是他通过上述规则推算出小方同学的生日是：2011年3月 日．
22．下图所示的是一组由边长相同的小正方形组成的图案，其中将部分小正方形涂色．
图案标号 第1个 第2个 第3个 第4个 …
涂色小正方形的个数 5 a 13 b …
(1)________，________．
(2)按照这种规律继续下去，第n个图案中涂色小正方形的个数为________（用含n的代数式来表示）．
(3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2025个图案中涂色小正方形的个数．
23．如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：
第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．
(1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表：
次数 1 2 3 4 … n
正方形总个数 5 9 …
(2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？
24．【观察思考】
如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个．
【规律发现】
（1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示）
【规律应用】
（2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？
《3.3探索与表达规律》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D B C C B C D
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，n是大于2的正整数，据此规律可得，再根据半圆周长计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
，
，
……，
以此类推可得，，n是大于2的正整数，
∴，
∴以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为，
故选：B．
2．D
【分析】用含a的代数式表示出b，c，d的值，将四个数相加可得出a＋b＋c＋d＝4a＋18，由a为正整数结合四个选项即可得出结论．
【详解】依题意，可知：b＝a+1，c＝a+8，d＝a+9，
∴a+b+c+d＝4a+18．
∵a为正整数，a=3时
∴a+b+c+d＝4a+18＝30．
故选：D．
【点睛】本题考查列代数式以及代数式求值，用含a的代数式表示出a＋b＋c＋d是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了列代数式，解答本题的关键是根据题目中的图形，可以发现正三角数的变化情况，从而可以求得第10个图案中的三角数．
【详解】解：当时，三角数为1，
当时，三角数为，
当时，三角数为，
当时，三角数为，
，
当时，三角数为，
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．观察发现，后一个图案的基础图案比前一个图案多3个基础图案，然后根据此规律解答即可．
【详解】解：∵第（1）个图案中基础图形的个数为；
第（2）个图案中基础图形的个数为；
第（3）个图案中基础图形的个数为；
…
∴第（n）个图案中基础图形的个数为，
∴第（2025）个图案中基础图形的个数是．
故选：D．
5．B
【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行第一个数的规律是解题的关键．
探究规律，利用规律即可求解．
【详解】解：由第1行，第2列的数是，
由第2行，第3列的数是，
由第3行，第4列的数是，
由第4行，第5列的数是，
由第5行，第6列的数是，
根据规律：第10行第11列的数是，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，，，每三次变换为一个循环，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴每三次变换为一个循环，
∵，
∴，
故选：．
7．C
【分析】本题考查了规律型-图形变化类，列代数式，正确找到规律是解题的关键．根据剪法，可得出剪（为正整数）刀时，绳子变成段，代入，可求出剪刀时绳子的段数．
【详解】解：观察表格，可得出：每剪刀，绳子的段数增加段，
∴剪（为正整数）刀时，绳子变成段．
当时，（段）；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查的是多项式的规律的探究，掌握探究的方法是解本题的关键．观察多项式中的系数和指数变化规律，分别确定a的系数、指数和b的系数、指数与项数n的关系即可解答．
【详解】解：一组按规律排列的多项式：，，，，，；
的系数依次为2，3，4，5，6，，次数都为1；
依此类推，第n项的系数为，次数为1，即对应项为；
的系数都为1，次数依次为3，4，5，6，7，；
依此类推，第n项的系数为，次数为，即对应项为；
∴第n个式子是．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．由题意知，第n行有n个数，前n行数的总个数为：，根据是第50个数，结合，，即可得到答案．
【详解】解：由题意知，第n行有n个数，前n行数的总个数为：，
∵，
∴是第50个数，
∵，，
∴100在第10排，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了数字的规律探索，以及公倍数的应用，解决本题的关键是找到三角形数又是正方形数的最小公倍数．
根据三角形数可以发现每个数都是3的倍数，正方形数每个数都是4的倍数，由此找到3和4的最小公倍数即可求解．
【详解】解：三角形数为3，6，9，12，…，
可以发现每个数都是3的倍数，
正方形数4，8，12，16，…，
可以发现每个数都是4的倍数，
既是三角形数又是正方形数需既是3的倍数，又是4的倍数，即是12的倍数，
A选项，，错误；
B选项，，错误；
C选项，，错误；
D选项，，正确．
故选：D ．
11．C
【分析】设中间的数为x，则另外两个数分别为、或、，将三个数相加可得出三个数的和为3x，进而可得出三个数的和为3的倍数，结合四个选项给的数，即可找出结论．
【详解】解：设中间的数为x，则另外两个数分别为、或、，
∴三个数的和为或，
∴三个数的和为3的倍数．
60、39、51都是3的倍数，
而40不是3的倍数，
∴三个数的和不可能为40．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，根据各数之间的关系，找出三个数的和为3的倍数是解题的关键．
12．A
【分析】本题考查代数式的规律探索．根据所给多项式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给多项式可知，
的次数依次为，，，…，
所以第个多项式中的次数为；
的系数依次为，，，…，
所以第个多项式为．
故选：A．
13．754
【分析】本题考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
结合图形分析表格中图形的周长，①的周长为：，②的周长为：，③的周长为：，④的周长为：，…由此可推出第n个长方形的宽为第个长方形的长，第n个长方形的长为第个长方形的长和宽的和．
【详解】解：∵第1个长方形的周长为：；
第2个长方形的周长为：；
第3个长方形的周长为：；
第4个长方形的周长为：；
第5个长方形的周长为：；
第6个长方形的周长为：；
第7个长方形的周长为：；
第8个长方形的周长为：；
第9个长方形的周长为：；
第10个长方形的周长为：；
第11个长方形的周长为：．
故答案为：754．
14．
【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，根据图形总结出变化的一般规律，即可解答．
【详解】解：第一个：，
第二个：，
第三个：，
……
第n个：，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了数字规律，理解式子中系数，字母指数的数量关系是关键．
根据式子中系数，字母指数的数字规律即可求解．
【详解】解：、、、、…，
系数依次是，字母的指数依次是，
∴第个式子为，
故答案为： ．
16．
【分析】根据日历的特点即可写出.
【详解】在日历图中，数a的前面一个数是，数a正下方的一个数是，
故填：；.
【点睛】此题主要考查列代数式，解题的关键是熟知日历的特点.
17．
【分析】通过观察图案，找出五角星数量随图案序号变化的规律，再利用规律计算第2024个图案中的五角星数量．本题主要考查了图形规律的探索，熟练掌握通过观察图案找出数量变化规律是解题的关键．
【详解】解：观察图案可知：
第1个图案中小五角星的颗数为；
第2个图案中小五角星的颗数为；
第3个图案中小五角星的颗数为；
第4个图案中小五角星的颗数为；
第个图案中小五角星的颗数为
当时，
故答案为：
18．(1)
(2)不能，理由见详解
(3)作图见详解
【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律是解题的关键．
（1）根据图示找出规律即可求解；
（2）根据（1）中的规律计算即可求解；
（3）由（2）的计算可得，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，需要改变摆放方式，结合图形即可求解．
【详解】（1）解：第1个图有1个正方形需要根小棒，
第2个图有2个正方形需要根小棒，即，
第3个图有3个正方形需要根，即，
∴第个正方形需要（根），
故答案为：；
（2）解：根据（1）可得，摆出6个正方形时是第6个图形，
∴，即需要根小棒，
∴用18根小棒摆不出6个正方形；
（3）解：根据题意，第3个图中有3个正方形，需要10根小棒，
由（2）可知，按照题目中的图形摆放得到6个正方形需要19根，
∴改变摆放方式，如图所示，
∴摆放时需要根小棒，即不多于18根小棒，
∴符合题意．
19．(1)图见解析，见解析，
(2)见解析
【分析】本题考查了整式的混合运算，正确发现数字之间的变化规律是解答本题的关键．
（1）利用乘法法则，以及减法法则计算得到结果，验证规律即可；
（2）找出四个数字的数量关系，设四个数分别为，，，．然后带入求解即可．
【详解】（1）解：如图所示
∵，
∴上述规律正确．
（2）解：设方格圈上的四个数分别为，，，
20．(1)8，11
(2)，80
【分析】该题考查了图形规律，找到图形规律是解题的关键．
（1）从图中可以数出第2、3个图中所贴剪纸“〇”的个数．
（2）观察图形可知，第1、2、3个图中“〇”的个数分别为5、8、11；发现：每增加一个窗格，“〇”的个数增加3个，据此得出规律，并用含字母的式子表示规律，然后把代入式子中，计算出得数．
【详解】（1）解：第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为，
故答案为：，．
（2）解：观察图形可知：
第1个图中“〇”的个数为5，；
第2个图中“〇”的个数为8，；
第3个图中“〇”的个数为11，；
……
发现规律：第n个图中“〇”有个．
当时，，
用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是，
当时，所贴剪纸“〇”的个数是，
故答案为：，80．
21．(1)150；7．
(2)5．
(3)24．
【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式的应用及计算，理解题意是解此题的关键．
（1）把身份证前17位号码代入S关于的表达式求出S的值，再除以11即可得到Y值；
（2）由Y值根据验证码对照表可得到校验码；
（3）先把已知的身份证号码代入S表达式，得到，再由不定方程求出的值即可．
【详解】（1）解：根据题意，把小春同学身份证前17位号码11010820101008324代入：
，
即：．
，
∴．
故答案为：150；7．
（2）解：当时，由校验码对照表可得，．
故答案为：5．
（3）解：根据小方同学的出生年月份应该是2011年03月，故，，
把及其它已知的身份证号码代入S表达式得：
．
∵，
∴由校验码对照表可得，
令，k为非负整数，则．
∴，
∵是非负整数，
∴，，
故答案为：24．
22．(1)9，17
(2)
(3)
【分析】（1）观察图形规律，可知第个小正方形阴影有个，第个小正方形阴影有个，第个小正方形阴影有个，以此类推，可知第个为个；
（2）第个为，
（3）将代入即可．
【详解】（1）观察图形规律，可知第个小正方形阴影有个，
可知第个为个；
故答案为：9，17．
（2）观察图形规律，可知第个小正方形阴影有个，
第个小正方形阴影有个，
第个小正方形阴影有个，
以此类推，
第个为，
故答案为：．
（3）将代入得，
正方形的个数为．
【点睛】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键．
23．(1)13，17,
(2)不能，理由见详解
【分析】本题考查了图形规律，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察题干划分的图形特征，得出第n次划分，得出共有个正方形，即可作答．
（2）依题意，列式，得不是整数，即可作答．
【详解】（1）解：根据题干分析可得：第1次划分，得出个正方形；
第2次划分，根据图形得出共有个正方形；
第3次划分，根据图形得出共有个正方形；
第4次划分，根据图形得出共有个正方形，
……
以此类推：写成第n次划分，得出共有个正方形；
即填表如下：
次数 1 2 3 4 … n
正方形总个数 5 9 13 17 …
（2）解：不能得到103个正方形，理由如下：
由（1）得第n次划分，得出共有个正方形；
∴令，则不是整数，故舍去；
∴不能得到个正方形．
24．（1），，（2）需要购买个“”
【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键．
（1）根据题中的规律进行解答即可；
（2）利用（1）中的规律即可得到答案．
【详解】（1）由所给图形可知，
第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：；
第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：；
第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：；
，
所以第个图案中“”的个数为个，“”的个数为个．
故答案为：，．
（2）由得，
，
所以制作成第个图案“”剩余最少，
此时需要购买的“”的个数为：个，
故需要购买个“”．
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