2.4有理数的乘方寒假练习（含解析）北师大版数学七年级上册

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2.4有理数的乘方
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是不为的整数，则的值为（　　）
A．或 B．或 C． D．
2．河北省“十四五”规划新增风电千瓦．则千瓦的原数是（ ）
A．0.0000052千瓦 B．520000千瓦 C．5200000千瓦 D．0.000052千瓦
3．宁波天一阁，是中国现存最古老的藏书阁，距今400余年间已藏书近30万书籍，将数据“30万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．据县旅游局统计，今年峨边黑竹沟风景区国庆节期间，我县旅游市场走势良好，旅游给全县带来总收入元，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．计算的式子为（ ）
A． B． C． D．
7．表示（ ）
A．5与相乘 B．6与5相乘 C．5个相乘 D．5个相加
8．截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ）
A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001
9．关于式子，正确的说法是（ ）
A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数
10．计算：（ ）
A．6 B．9 C． D．
11．年前三季度安徽省地区生产总值亿元，其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
12．下列各组算式中，计算结果相等的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
二、填空题
13．的立方等于 ，平方等于的数是 ．
14．若，且，都是有理数，则 ．
15．算一算： ， ， ， ；指数与运算结果中的的个数的关系： ；指数与运算结果的数位的关系： ．
16．求 数的 的运算，叫乘方；乘方的结果叫做 ；在式子中，a叫做 ，n叫做 ．一个数可以看作这个数本身的 次方．
17．观察下列算式：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，…那么的个位数字是 ．
三、解答题
18．某校的课后延时服务开设了“趣味数学”的课程．某次课以“翻牌游戏中的数学道理”为主题开展活动，如图，老师在桌面上摆放了张反面（没有花色的一面）向上的扑克牌，每次翻动其中的若干张牌（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上．探究如何翻动扑克牌，使得所有扑克牌都正面向上．小颖和小楠分在同一组，她们决定按照以下思路展开研究．请根据她们的研究思路，回答相应问题．
活动一：动手操作
①每次只翻动1张扑克牌，至少翻动几次可以使得所有扑克牌都正面向上？
②每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得所有扑克牌都正面向上；
③每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次就可以使得所有扑克牌都正面向上，请你写出她们的翻牌方式．（翻动的牌用序号表示）
活动二：解释原理
她们想到可以用有理数的运算来解释活动一的现象：扑克牌正面向上的牌面状态记作，反面向上的牌面状态记作，则7张牌反面都向上的牌面状态记作，7张牌正面都向上的牌面状态记作．按这个规定，翻动一张牌会改变其中一个因数的符号．根据她们的做法，请你解释为什么每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上．
活动三：拓展延伸
若桌面上有a张反面向上的扑克牌，每次同时翻动b张，其中，翻动n次后，所有扑克牌都正面向上，请探究a，b，n需满足的条件．
19．若为实数，且，求的值．
20．探究规律：
（1）计算：
① 2－1＝ ；
② 22－2－1＝ ；
③23－22－2－1＝ ；
④24－23－22－2－1＝ ；
（2）根据上面结果猜想：
① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ；
②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ；
③212－211－210－29－28－27－26＝ ；
21．计算：|﹣3|+（﹣2）2．
22．已知，，，其中、、均为正整数，
(1)根据题意，可求得 ， ， ；
(2)计算的值；
23．已知：、互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求的值．
24．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有．
(1)求的值；
(2)定义一种运算，就要研究它的运算律：
①求和的值；
②这个计算结果说明了这个运算满足 律．
《2.4有理数的乘方》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B C A C B D D
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】本题考查有理数乘方运算性质，分为奇数和偶数两种情况：当为奇数时，，当为偶数时，，分别代入式子计算即可解答．
【详解】解：当为奇数时，可得，
；
当为偶数时，可得，
；
∴当是不为的整数时，的值为或．
故选：A．
2．C
【分析】把5.2的小数点向右移动6位即可求解．
【详解】千瓦=5200000千瓦，
故选：C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示原数，将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向左移动n位所得到的数；解题的关键是掌握将科学记数法还原的法则．
3．C
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“30万”用科学记数法表示为．
故选：C．
4．B
【分析】根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断．
【详解】A．，，
∴，故此选项不符合题意；
B．，，
∴，故此选项符合题意；
C．，，
∴，故此选项不符合题意；
D．，，
∴，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方、绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．C
【分析】根据科学记数法的表示方法，把一个大于的数表示成的形式（其中，为正整数），这样的表示方法称为科学记数法．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，确定出的值和的值是解本题的关键．
6．A
【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，理解乘方和乘法的意义是解题关键．由乘法的意义知10个2相加可表示为，由乘方意义可得12个2相乘表示为，据此即可解答．
【详解】解：原式，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了乘方的定义，熟知乘方的定义是解决问题的关键．
根据乘方的定义解答即可．
【详解】解：表示5个相乘．
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大（或较小）的数，一般形式为，其中，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意．
故选：B．
9．D
【分析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，逐一验证选项即可.
【详解】由知，-4是底数，2是指数，是幂，故选项A、B、C错误，D选项正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了幂的有关概念，掌握幂的有关概念是解题的关键.
10．D
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算计算即可．
【详解】解：．
故选：D．
11．A
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿，
故选：．
12．B
【分析】本题考查了有理数的乘方，正确化简各数是解答本题的关键．
直接利用有理数的乘方运算法则进而得出答案．
【详解】解：A．，，两数不相等，故此选项错误；
B．，，两数相等，故此选项正确；
C．，，两数不相等，故此选项错误；
D．，，两数不相等，故此选项错误．
故选：B．
13． 8
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据立方和平方的定义进行求解即可．
【详解】解：的立方等于，平方等于的数是，
故答案为：，．
14．9
【分析】本题考查偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，有理数的乘方，求出、的值是解决问题的关键．
根据偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，求出、的值再代入计算即可．
【详解】解：因为，
所以，，
即，，
所以，
故答案为：9．
15． 指数等于运算结果中的个数 指数等于运算结果的数位减
【分析】根据乘方的意义变形，计算得到结果，观察即可得到结论．
【详解】解：，，，；指数与运算结果中的的个数的关系：指数等于运算结果中的个数；指数与运算结果的位数的关系：指数等于运算结果的数位减．
故答案为：；；；；指数等于运算结果中的个数；指数等于运算结果的数位减．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，乘方的计算：就是个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算，（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数，的任何次幂都是．熟练掌握有理数乘方运算是解本题的关键．
16． 几个相同因 积 幂 底数 指数 1
【分析】根据有理数乘方相关概念，即可求解．
【详解】解：求几个相同因数的积的运算，叫乘方；乘方的结果叫做幂；在式子中，a叫做底数，n叫做指数．一个数可以看作这个数本身的1次方．
故答案为：几个相同因、积、幂、底数、指数、1
【点睛】此题考查了有理数乘方的相关概念，熟练掌握有理数乘方的有关概念是解题的关键．
17．7
【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
【详解】已知，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
…
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又，
所以的末位数字与的末位数字相同是7．
故答案为：7．
【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
18．活动一：第一次翻动①②③，第二次翻动③④⑤，第三次翻动③⑥⑦
活动二：理由见解析
活动三：与奇偶性相同，且．
【分析】本题考查有理数乘法及乘方运算的实际应用；
（1）每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次共翻动次，说明有一张牌翻了三次，据此写出翻牌方式即可；
（2）向下翻一次相当于乘以，利用有理数的乘法说明即可；
（3）根据前面的数据找到规律，再探究a，b，n需满足的条件即可．
【详解】解：活动一：第一次翻动①②③，此时①②③正面朝上；
第二次翻动③④⑤，此时①②④⑤正面朝上；
第三次翻动③⑥⑦，此时全部张都正面朝上；
活动二：翻一次相当于乘以，则每次同时翻动2张扑克牌，翻动次，共翻动次，相当于乘以，
而，，
∴，
即每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上．
活动三：根据前面的活动规律，当为奇数时，必须也是奇数，且；
当为偶数时，必须也是偶数，且；
综上所述，与奇偶性相同，且．
19．
【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知，，从而得到，然后代入求值即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
．
20．（1）①1； ②1；③1；④1
（2）①1；②1；③64
【分析】（1）①简单计算即可得到结果；
②，代入计算即可；
③，代入计算即可；
④，代入计算即可．
（2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可；
②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可；
③对比规律可发现，需要将式子变形为：
计算即可．
【详解】解：（1）计算：①
②；
③ ；
④；
（2）①；
②；
③
=
=
=
【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键．
21．7
【分析】根据有理数的绝对值以及乘方的意义化简各数后即可得到答案．
【详解】解：|﹣3|+（﹣2）2
=3+4
=7
【点睛】此题主要考查了有理数的运算，正确化简各数是解答此题的关键．
22．(1)3，2，1
(2)216
【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键．
（1）先根据，可得，即可求出n，a；
（2）将数值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，即，且a为正整数，
∴．
故答案为：3，2，1；
（2）解：原式．
23．4
【分析】根据相反数，倒数及绝对值的定义可得，，，再代入计算即可得到答案．
【详解】解：、互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，
，，，
原式．
【点睛】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义及有理数的乘方，根据题意得出，，是解题的关键．
24．(1)
(2)①；；②交换
【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键．
（1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案；
（2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律．
【详解】（1）解：当时，都有，
当时，，
；
（2）解：①当时，都有，
当时，，
；
当时，都有，
当时，，
；
②由上述计算结果可知，，
这个计算结果说明了这个运算满足交换律，
故答案为：②交换．
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