2.3二次根式寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
2.3二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列二次根式，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B．2 C． D．16
3．已知，则（ ）
A．1 B．4 C．9 D．8
4．已知，，估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．与是同类二次根式，则整数的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．24
6．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　）
A．4 B．2 C．-4 D．2
8．已知，则（ ）
A．2025 B． C． D．5050
9．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．化成最简二次根式后不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知实数，满足，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．18
12．若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组a和b使得；
②只存在两组a和b使得；
③不存在a和b使得；
④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．若有意义，则x的取值范围是 ．
14．计算： ．
15．请写出一个与的积是整数的实数 ．
16．若，则x的取值范围是 ．
17．如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为 ．
三、解答题
18．计算：．
19．数、在数轴上的位置如图所示，化简并求值：其中，
20．计算：
(1)．
(2)．
21．若a，b，c为三角形的三边．化简．
22．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
23．【基本概念】
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如—样的式子，其实我们还可将其进一步化简：，，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
【理解应用】
（1）化简；
【拓展提升】
（2）化简：．
24．计算：．
《2.3二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B B B A B A D
题号 11 12
答案 A B
1．D
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．，故不符合题意；
B．，故不符合题意；
C．，故不符合题意；
D．是最简二次根式，故符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解∶．
故选：B
3．D
【分析】本题考查平方差公式，先计算，，再代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：D
4．B
【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的混合运算；先计算的表达式，再通过估算确定其范围即可．
【详解】解：∵，，则
∵，
∴，
∴，
∴的值在3和4之间，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，首先得出，再根据同类二次根式的定义得出最小为时满足题意，即可得出结论．
【详解】解：，且与是同类二次根式，是整数，
是正整数，
∴最小为时，与是同类二次根式，
n的最小整数值是，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答．
【详解】解：A、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故不符合题意；
B、，是最简二次根式，故符合题意；
C、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解．
【详解】解：由和的被开方数非负性，得，
解得：，
将代入原方程，得，
，
将和代入，得，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案．
【详解】解：，，，，，
是最简二次根式的是，只有1个．
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简四个选项中的二次根式，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可．
【详解】解：A、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意；
B、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意；
C、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
11．A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等．
首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值．
【详解】解：∵和同时有意义，
∴且，
∴．
将代入，得．
∴．
故选A．
12．B
【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．
直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案．
【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，
，
，
当时，，故结论①正确；
②，
当，则
当则．故结论②正确；
③，
当时，，
当时，，故结论③错误；
④，
，
当时，，
，
，
有无数和满足等式，故结论④错误．
综上所述：正确结论有①②，共2个，
故选：B．
13．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，
解得：．
故答案为：．
14．1
【分析】本题考查实数的混合运算，先去绝对值，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：1．
15．（答案不唯一）
【分析】根据二次根式的乘法法则即可求得答案．
本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴与的积是整数的实数．
故答案为：（答案不唯一）．
16．
【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值．
根据二次根式的性质得到，再分三种情况作答即可．
【详解】．
①当时，，
所以原式，
当时，，舍去；
②当时，，
所以原式；
③当8时，，
所以原式，
当时，，舍去．
所以当时，的取值范围是，
故答案为．
17．
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
连接．根据轴对称的性质得到点三点共线，则，，，由三角形内角和定理证明，由对称性可得，最后在中，由勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接．
点是点关于直线的对称点，
．
，
点在上，即点三点共线，
．
又，
，
，．
，
，即．
，是边上靠近点的三等分点，
，
，
．
故答案为：．
18．-1
【分析】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
先算绝对值，负指数幂，算术平方根，幂的乘方，再算乘法，最后算加减法即可．
【详解】解：原式，
，
．
19．，
【分析】本题主要考查了实数混合运算，化简绝对值，先根据、在数轴上的位置得出，然后再化简绝对值，根据立方根定义，算术平方根定义，绝对值意义，求出b的值，即可得出答案．
【详解】解：，
∴，
，
．
20．(1)-5
(2)2
【分析】（1）先化简，然后合并同类项即可；
（2）先化简，然后计算乘法，再算加法即可．
【详解】（1）解∶
（2）解∶
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．
【分析】本题考查二次根式的性质，三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角形三边关系定理判断被开方数的正负，再利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可．
【详解】解：为三角形的三边，
，
原式．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（）利用二次根式的性质及去括号法则先化简，再相加减即可；
（）利用二次根式的性质先化简，再进行除法运算，最后进行减法运算即可；
（）利用完全平方公式和平方差公式展开，再相加减即可；
（）根据乘方的定义、绝对值的性质及二次根式的除法法则先化简，再相加减即可；
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
23．（1）
（2）．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，理解题意并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）将原式的分子，分母同时乘以后计算即可；
（2）将原式变形后利用分母有理化化简后进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原式
=．
24．
【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算有理数的乘方、立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算乘除，最后计算加减．
【详解】解：
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)