2.2平方根与立方根寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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2.2平方根与立方根
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．“16的算术平方根是4”用式子表示为（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．下列语句正确的是（ ）
A．是5的一个平方根
B．400万有7个有效数字
C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的
D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1
5．下列说法：
①负数没有立方根；
②实数和数轴上的点是一一对应的；
③；
④正数的两个平方根互为相反数；
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于的描述正确的是（ ）
A．它是一个有理数 B．27的平方根
C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长
8．下列命题中：①任意两个无理数的和还是无理数；②一个数的算术平方根一定是正数；③无限小数都是无理数；④负数没有平方根；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥在数轴上可以找到表示的点；其中正确的个数有（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知a，b，c是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（ ）．
A．6 B．3 C． D．
10．已知，，则的值约是（ ）
A． B． C． D．
11．已知a，b为实数，且，则的值为（ ）．
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题
12．已知， ．
13．已知的算术平方根是4，则的立方根是 ．
14．已知的平方根是的立方根是，则 ．
15．若，则的值为 ．
16．已知，则的值是 ．
三、解答题
17．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根．
18．先说出下列各式的意义，再计算．
(1)
(2)
(3)．
19．（1）怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形（如图）剪拼成一个大正方形？
（2）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点．
20．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或．
(1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数；
(2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．
22．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
23．已知的平方根为，的立方根为，是的整数部分
(1)求a和b的值；
(2)求的平方根．
《2.2平方根与立方根》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A B A D B B B
题号 11
答案 D
1．B
【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出a的值，再利用夹逼法估算即可．
【详解】解：∵面积为20的正方形的边长为a，
∴，
∴（舍负），
∵，
∴，
∴a的值在4和5之间，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：“16的算术平方根是4”用式子表示为，
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过估算的值，再减去2，确定结果所在区间．
【详解】解：∵，
∴，
∴的值应在2和3之间；
故选B．
4．A
【分析】本题考查近似数、有效数字、平方根、立方根，根据它们的定义逐项判断即可．
【详解】解：A：5的平方根是，故是5的一个平方根，故A正确；
B：400万有3个有效数字，故B错误；
C：近似数12.8和12.80表示的意义是不同的，12.8精确到十分位，12.80精确到百分位，故C错误；
D：一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故D错误．
故选：A．
5．B
【分析】根据立方根的定义，数轴与实数的关系，算术平方根，平方根的定义解答即可．
本题考查了立方根的定义，数轴与实数的关系，算术平方根，平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：①负数有立方根，故原说法错误；
②实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
③，故原说法错误；
④正数的两个平方根互为相反数，正确；
故选：B．
6．A
【分析】根据球的体积公式，代入已知体积求解半径。
【详解】解：设球的半径为r代入公式：
．
两边同时除以，
得．
对216开立方，
得 ．
因此，皮球的半径为．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义和勾股定理，逐一进行判断即可．
【详解】解：A. 它是一个无理数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 27的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意；
C. 不能表示为体积为27的正方体的棱长，故该选项不正确，不符合题意；
D. 面积为27的正方形的边长，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数和有理数，根据无理数的定义即可判断①和③，根据算术平方根的定义即可判断②，根据平方根的定义即可判断④，根据实数与数轴的关系即可判断⑤和⑥．
【详解】解：①任意两个无理数的和可能是有理数，如和，所以本选项说法错误，不符合题意；
②一个数的算术平方根一定是非负数，所以本选项说法错误，不符合题意；
③无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所以本选项说法错误，不符合题意；
④负数没有平方根，本选项说法正确，符合题意；
⑤实数和数轴上的点一一对应，所以本选项说法错误，不符合题意；
⑥因为实数和数轴上的点一一对应，所以在数轴上可以找到表示的点，本选项说法正确，符合题意；
综上，其中正确的个数有2个．
故选：B．
9．B
【分析】根据绝对值、平方数、算术平方根的非负性求出三角形三边，再判断三角形形状，进而求面积．本题主要考查了非负数的性质以及勾股定理的逆定理（如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 ），熟练掌握这些知识是解题的关键．
【详解】解：∵ ，且，，，
∴ ，，，
∴ ，，，
∵ ，即，
∴ 该三角形是直角三角形，、为直角边，
∴ 三角形面积，
故选：．
10．B
【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算
【详解】解：∵，而，
∴==
因此，的值约为，
故选B
11．D
【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
故选：D．
12．
【分析】本题考查立方根的定义，理解立方根的定义是解题的关键．因为 ，所以，即可得出答案．
【详解】解：因为 ，
所以 ；
故答案为：．
13．2
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根等概念，解题的关键是掌握以上两个概念．
利用算术平方根的定义求出的值，然后代入求这个数的立方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，根据题意，求出值代入即可，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键．
【详解】解：的平方根是的立方根是，
，，解得，，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查非负性，完全平方公式的变形，根据非负性求出，再根据完全平方公式的变形进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
16．
【分析】由条件，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及平方根，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键．
17．2
【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，以及一元一次方程的解法，熟记概念并列出方程是解题的关键．根据平方根求出，由立方根求出，然后代入即可求出答案.
【详解】解：的平方根是
，；
的立方根是2
，
∴，
∴；
，
的算术平方根为．
18．(1)
(2)15
(3)
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，熟知平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
（1）根据平方根的计算方法和平方根的意义求解即可；
（2）根据算术平方根的计算方法和算术平方根的定义求解即可；
（3）根据平方根的计算方法和平方根的意义求解即可．
【详解】（1）解：解： 表示 的平方根，
；
（2）解：表示225的算术平方根，
；
（3）解：表示的负平方根，
．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了算术平方根的意义：
（1）根据题意，拼出面积为5的正方形，即可；
（2）求出长方形面积的算术平方根即可．
【详解】解：（1）如图，
（2）∵5个边长为1的小正方形的面积之和为，
∴剪拼成一个大正方形的边长为，
∴在数轴上这个大正方形的边长所对应的点表示为，
在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点，如图，
．
20．(1)12；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据算术平方根的计算方法计算即可得解；
（2）根据立方根的定义计算即可得解；
（3）根据平方根的定义计算即可得解；
（4）根据立方根的定义计算即可得解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
21．(1)
(2)秒
【分析】本题考查了平方根、平方根的运用等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
（1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得到关于的等式，解得的值，进而求得这个正数即可；
（2）把和的值代入等式得到关于t的方程，然后根据平方根的意义求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，解得：，
∴，，
，即这个数为．
（2）解：当，时，，解得：（舍弃）．
答：这个物体到达地面所需的时间为秒．
22．(1)
(2)
(3)或，或，
【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：∵，即，
∴或1或
解得：或或
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴当时，
当时，；
当，．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握平方根、立方根的定义和无理数估算方法是解题的关键．
（1）根据平方根的定义，一个数的平方根互为相反数，其平方相等，可由的平方根为列出方程求；再依据立方根的定义，若一个数的立方根为，则这个数是的立方，结合的值列出关于的方程求解．
（2）先确定的整数部分得到，再将、、的值代入计算，最后求其平方根．
【详解】（1）解：的平方根为，
，即，
，
．
的立方根为，，
，即，
，
，
．
（2）解：，
，即，
．
把，，代入，
．
，
的平方根为．
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