2.1认识实数寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
2.1认识实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．下列说法正确的是（ ）
A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数
C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应
4．下列说法中正确的是（　　）
A．的平方根是 B．是无理数
C．正实数和负实数统称实数 D．是无理数
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列实数，，0.1212212221（相邻两个1之间依次多一个2），，，中，无理数有（　　）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是( )
A．3.0C．3.29．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在处，其中x1＝1，y1＝1，当k ≥2时， [a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0．按此方案，第2009棵树种植点的坐标为（ ）
A．（5，2009） B．（6，2010） C．（3，401） D．（4，402）
10．在1、0、π、这四个数中，最小的数是（ ）
A．1 B．0 C．π D．-2
11．如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（ ）
A．与之间 B．与之间
C．与之间 D．与之间
12．如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（ ）
A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变
C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化
二、填空题
13．写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个）
14．如图，直径为1个单位长度的圆从原点向左滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，点对应的数是 ．
15．“一石激起千层浪”，一枚石子投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形涟渏．如图所示，当半径为的圆的面积为时，则半径是 （填写“有理数”或“无理数”）．
16．如图，在中，，边在数轴上，若，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是 ．
17．下列各数中：①面积为3的正方形的边长；②体积为8的正方体的棱长；③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线长，其中是无理数的是 （填序号）．
三、解答题
18．将下列各数填入相应的括号里：
（每两个1之间依次多一个0），．
负数集合：{___________…}；
分数集合：{___________…}；
非正整数集合：{___________…}；
无理数集合：{___________…}．
19．用估算法比较下列各组数的大小：
(1)与．
(2)与6．
20．如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为．
(1)在数轴上画出点；
(2)点表示的数为________，其绝对值为________；
(3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”）
21．（1）写出两个负数，使它们的差为﹣5，并写出具体算式．
（2）“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明．
（3）在图4×4方格中画一个面积为2或5或8（任选之一）的格点正方形（四个顶点都在方格顶点上）；并把图中的数轴补充完整，用圆规在数轴上表示相应实数，，．（任选之一）
22．下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…，
（1）有理数集合：_____；
（2）无理数集合：_____；
（3）非负整数集合：_____；
王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数．
比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数）
23．将下列各数填入相应的大括号内：
，0，8，， (每相邻两个2之间依次多一个1)，，．
正数集：{ …}；
有理数集：{ …}；
负数集：{ …}；
无理数集：{ …}．
24．阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较和的大小．
解：∵，且
∴，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较和的大小
解：∵，且，
∴，即．
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小，
【方法运用】
(1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）；
(2)已知，，比较a、b的大小；
(3)比较与的大小．
《2.1认识实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B D C B B D D
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的绝对值是，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先求出的范围，再确定点的位置即可选择．
【详解】解：，
数轴上的A，B，C，D四个点中，只有A符合，
故选：A．
3．D
【分析】根据无理数的定义、绝对值的性质、实数与数轴上点的对应关系逐一判断即可．
【详解】解：A．无理数是无限不循环小数，该项说法不正确；
B．一个实数的绝对值可以是正数，也可以是零，该项说法不正确；
C．绝对值最小的数是0，该项说法不正确；
D．实数与数轴上的点一一对应，该项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查实数的相关概念，掌握无理数、绝对值的性质是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查了实数、无理数、平方根的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据实数的定义，无理数的定义，平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A 、的平方根是，故A选项不符合题意；
B、是无理数，故B选项符合题意；
C、正实数，和负实数统称实数，故C选项不符合题意；
D、不是无理数，故D选项不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，则可得，再根据正数大于负数解答即可得．
【详解】解：由数轴可知，，
所以，
所以，，
故选：D．
6．C
【分析】根据无理数、有理数的定义解答即可．
【详解】解：是分数，属于有理数；
=2、是整数，属于有理数；
无理数有、0.1212212221（相邻两个1之间依次多一个2）、，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，0.80800800008……(每两个8之间一次多1个0)等形式．
7．B
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出的长，在利用夹逼法进行估算即可．
【详解】解：由题意和勾股定理，得：，
∵以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，
∴该点表示的数为：，
∵，
∴，
故选B．
8．B
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB=,
∴3.1＜AB＜3.2．
故选B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
9．D
【分析】根据题意，2009数值较大，不能一一写出，分别找到横纵坐标的规律求解即可．
【详解】根据题意知，当，，
当取其他值时，
所以横坐标有如下规律：
，
，，，
，，，
，，，……
对于纵坐标有如下规律
，，
，
，……
为正数，
设
解得：
为正数
第2009棵树种植点的坐标为．
故选D．
【点睛】本题考查了以坐标系为背景的新概念题，找到规律是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【详解】试题分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
解：∵在1、0、π、这四个数中只有，
∴在1、0、π、这四个数中，最小的数是．
故选D．
11．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及无理数的估算，实数与数轴，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度确定圆的半径，再结合点的坐标求出点C的横坐标并进行估算．
构造直角三角形，利用勾股定理计算 的长度，得到圆的半径；根据点A的坐标和半径，确定点C的横坐标表达式；估算无理数的大小，判断横坐标所在的范围．
【详解】∵是直角三角形，
∴，
∴，即．
∴，
因点C在x轴的负半轴上，则点C的横坐标为，
∵，即，
∴，
∴，即，
故选：A．
12．D
【分析】本题考查勾股定理，无理数，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．求出，由勾股定理得到，因此，由三角形面积公式得到的面积，求出，由，得到．
【详解】解：、分别表示数和，
，
四边形是正方形，
，，
，
，故B不符合题意；
的面积，
故D符合题意；
，表示的数分别为，，
，
，
一定是无理数，故C不符合题意；
，，，
，
，
的值随的变化而变化，
故A不符合题意．
故选：D．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键．
考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数．
【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数．
故答案为：（答案不唯一）．
14．
【分析】本题考查了圆的滚动和数轴相结合，此题较灵活，但不难；关键把线段的长度转化为圆的周长．圆从滚动到在数轴上线段长即为一个圆周长度．
【详解】解：圆的直径，
周长，
，
点对应的数是，
故答案为：．
15．无理数
【分析】本题主要考查无理数的识别，根据圆的面积计算公式可求出圆的半径再进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即半径是无理数，
故答案为：无理数．
16．4或
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是要分类讨论；根据勾股定理算出的长度，在数轴上画弧的时候要考虑在的左边和右边都有可能进而得到答案；
【详解】解：由题可知：，
在中，，，
∴，
∴（舍负），
∵点表示的数是，
∴点表示的数是或4，
故答案为4或．
17．①③④
【分析】本题考查了无理数的定义，勾股定理．分别计算各数，判断是否为无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此即可得解．
【详解】解：①面积为3的正方形的边长为，是无理数；
②体积为8的正方体的棱长为，2是有理数；
③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长为，是无理数；
④长为3、宽为2的长方形的对角线长为，是无理数，
综上所述，其中是无理数的是①③④．
故答案为：①③④．
18．； ；
； （每两个1之间依次多一个0
【分析】本题考查实数的分类，根据实数和有理数的分类方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：负数集合：{,...}；
分数集合：{，...}；
非正整数集合：{,...}；
无理数集合：{（每两个1之间依次多一个0),...．}
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握估算法比较无理数大小是解题的关键．
（1）求出，通过比较和即可解答；
（2）根据，通过比较和即可解答．
【详解】（1）解：因为，
∴，
∵，
∴，
即．
（2）解：因为，
∴．
20．(1)见解析；
(2)，；
(3)，右侧．
【分析】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）在数轴上表示点即可；
（）由点向右运动个单位长度到达点，则有点表示的数为，然后通过绝对值定义即可求解；
（）根据数轴特点即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∴点即为所求；
（2）解：点表示的数为，其绝对值，
故答案为：，；
（3）解：根据数轴可知，，点在点的右侧，
故答案为：，右侧．
21．（1）见解析，答案不唯一；（2）不正确，证明见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据题意和有理数的运算法则书写即可；
（2）根据0乘以任何数都得0，证明说法即可；
（3）首先根据题意画出面积符合要求的正方形，根据正方形的面积公式可推出边长，进而利用圆规在数轴上截取出相应长度的点即可得出对应数据．
【详解】解：（1）-8和-3，计算如下：
原式
（答案不唯一）
（2）不正确；理由如下：
若有理数为0，无理数为，那么，，结果仍为有理数，
∴原说法不正确；
（3）如图所示建立数轴；
①选择面积为2，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处，
则根据正方形面积公式可得：，
∴，
此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P，
则，即点P表示的数为；
②选择面积为5，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处，
则根据正方形面积公式可得：，
∴，
此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P，
则，即点P表示的数为；
③选择面积为8，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处，
则根据正方形面积公式可得：，
∴，
此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P，
则，即点P表示的数为；
（以上任选其一作答即可，答案不唯一）．
【点睛】本题考查有理数的运算，实数与数轴等，掌握有理数的运算法则，理解实数与数轴的关系是解题关键．
22．（1）0，0.3（3无限循环），，18，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，；（2），，，0.8080080008…，；（3）0，18，；
【分析】本题主要考查了实数，解决本题的关键是熟记实数的分类；
（1）根据有理数的定义，即可解答；
（2）根据无理数的定义，即可解答；
（3）非负整数集合包括0和正整数，即可解答．
【详解】解：有理数集合：，无限循环，，，，无限循环，，，；
无理数集合：，，，，；
非负整数集合：，，；
设（21无限循环），则（21无限循环），
（21无限循环）（21无限循环），
，
S；
故1.21（21无限循环）
23．8，；，0，8，，；， (每相邻两个2之间依次多一个1)，；， (每相邻两个2之间依次多一个1)
【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数和有理数的识别，解题的关键是熟练掌握相关定义．
利用实数的分类，无理数和有理数的定义进行求解即可．
【详解】解：正数集：{8，，…}；
有理数集：{，0，8，，，…}；
负数集：{， (每相邻两个2之间依次多一个1)，，…}；
无理数集：{， (每相邻两个2之间依次多一个1)，…}.
24．(1)＞
(2)
(3)
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法．
（1）由，，再比较大小即可；
（2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可；
（3）由，，再比较大小即可．
【详解】（1）解：，，
∵，
∴，即，
故答案为：＞．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：，
，
∵，
∴，
即．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)