1.3勾股定理的应用寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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1.3勾股定理的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　）
A．70m B．80m C．90m D．100m
2．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（ ）．
A．216 B．270 C．432 D．540
5．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A．0.8 B．2.8 C． D．
7．如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，0.5小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距17海里，则乙船的航速是（ ）

A．15海里/时 B．30海里/时 C．16海里/时 D．32海里/时
8．如图，长、宽、高分别为2，1，1的长方体木块上有一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（ ）
A． B．3 C． D．
9．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（ ）
A．20米 B．16米 C．12米 D．24米
10．棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．2
12．如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题
13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断处到树顶的长度是 ．
14．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）．
15．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”）
16．如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元．
17．如图所示，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现使一绳子从点A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是 cm．
三、解答题
18．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
19．如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的关系，并说明理由．
20．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，．
(1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明；
(2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米．
21．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
（1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
【方法运用】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，求边上的高？
【应用拓展】
（3）如图4，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？
22．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长．
23．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染．
(1)求点C到铁路的距离；
(2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长．
24．如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？
《1.3勾股定理的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A B C B D A D
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，
，，
∴，
即20s后他们之间的距离为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，，
∴，
即从仓库到社区配送点的最短路径为，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．
【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合，
∴．
∵．
∴，
根据勾股定理可知，
解得．
∴的面积为．
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可．
【详解】解；如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这块地的面积，
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开图是解题关键．
将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短，即可求解．
【详解】解：将长方体展开，连接，
根据两点之间线段最短，共有种情况：
①如图，
，，
由勾股定理，得：；
②如图，
，，
由勾股定理，得：；
③如图，
，，
由勾股定理，得：；
，
蚂蚁需要爬行的最短距离是．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，则，
中，由勾股定理可得， ，
故选C．
7．B
【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理求直角三角形的线段长是解题的关键．
由题意知，，，，由勾股定理得，根据乙船的航速是，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
由勾股定理得，
∴乙船的航速是（海里/时），
故选：B．
8．D
【分析】蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程．
【详解】解：如图所示，
路径一：；
路径二： ，
，
蚂蚁爬行的最短路程为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．
9．A
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设米，得到米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，米，，，
设米，则：米，
在和中，由勾股定理，得：，
∴，即：，
解得，
∴米，
∴米；
故选：A．
10．D
【分析】本题考查平面展开最短问题．求出两种展开图的值，比较即可判断．
【详解】解：如图，，有两种展开方法：
方法一：，
方法二：．
故需要爬行的最短距离是．
故选：D．
11．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键；
设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解；
【详解】解：设，则，
由勾股定理得：在中，，
在中，，
由题意可知：，
∴，
解得：，
∴的长是，
∴，
故选：C；
12．B
【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况①当∠AD'P＝90°时②当∠APD'＝90°时分类计算即可；
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°，
∵BC=6，E是BC的中点，
∴BE＝3，
∵，
∴，
∴CD＝4，
在Rt△ABE中，AE，
∵四边形ABCD是矩形，
，
由折叠可知，PD＝PD'，
设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，
当△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P＝90°时，
∴∠AD'P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD'＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD'A，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
②当∠APD'＝90°时，
∴∠APD'＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD'∽△EBA，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，牢固掌握以上知识点并准确计算是解题的关键．
13．/米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度．根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解．
【详解】解：如图，∵是直角三角形，，，
故答案为：
14．合格
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用，根据“”可判断三角形木板为直角三角形，故可得结论．
【详解】解：∵木板的三边长分别为，，，
∴，
而，
∴，
∴三角形木板为直角三角形，
故答案为：合格．
15．不合格
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
【详解】解：不合格，
理由：∵802+1002=16400≠1302，
即：AB2+BC2≠AC2，
∴∠B≠90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格．
故答案为：不合格．
【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得，，
∴地毯的长为，
∴地毯的面积为，
∴铺完这个楼道至少需要元，
故答案为：．
17．5
【解析】略
18．这辆小汽车超速了．
【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．
【详解】解：根据题意：∠ACB= 90°
由勾股定理可得：
BC=米
40米= 0.04千米，
2秒=小时；
0.04÷= 72千米/时> 70千米/时；
所以超速了．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可．
19．和相等且垂直．理由见解析
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，连接，再结合勾股定理及其逆定理可得答案．
【详解】解：和相等且垂直．理由如下：
如图，连接，由勾股定理可得
，，，
∴，且，
∴是以为直角的等腰直角三角形，
即，且，
∴和的关系是相等且垂直．
20．(1)是村庄到河边最近的道路，计算见解析
(2)新路比原路少
【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；
（2）在中根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）∵，，
∴．
∴是直角三角形，且．
∴．
根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路．
（2）∵，
∴．
在中，．
由，可知新路比原路少
21．（1）见解析（2）（3）0.2千米
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握该知识点是关键．
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果．
【详解】解：（1）梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
（2）设边上的高为h，则：
，，
∴，
∴，
即边上的高是；
（3）设，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得，
即，
∴（千米），
答：新路比原路短0.2千米．
22．，
【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键．
【详解】解：设，则．
根据题意，得．
∴，
解得．
∴．
∴，．
23．(1)48米
(2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识．
（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题．
（2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题．
【详解】（1）解：过点C作于点D，如图．
由题意，得．
，
．
是直角三角形，，
，
．
答：点C到铁路的距离为．
（2）解：，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则．
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
24．点应建在距处
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设，那么，由勾股定理，可知，，结合，列出方程，解出答案即可．
【详解】解：设，
在笔直的铁路上、两点相距，
，
在中，，
，
在中， ，
，
由题意得：，
，
解得：．
答：点应建在距处．
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