1.2一定是直角三角形吗寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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1.2一定是直角三角形吗
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
2．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．6、8、10 C．8、15、17 D．10、12、15
3．将下列长度的3根木棒首尾依次连接，能组成直角三角形的是（ ）．
A．1，2，3 B． C． D．6，8，10
4．下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．6，8，12 C．5，6，11 D．5，12，14
6．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（ ）．
A．10个 B．9个 C．7个 D．6个
7．如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．若的三边长为a，b，c，满足，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
9．如图，P为正方形内一点，，将绕着D点按逆时针旋转到的位置，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15
11．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（ ）
甲同学：．乙同学：和互余．
丙同学：线段的长为点到直线的距离．
丁同学：直线与直线互相垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形．
14．如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ．
15．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ．
16．如图，在中，，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则点D到的距离为 ．
17．如图，中，，为的角平分线，则 ．
三、解答题
18．如图，在中，，求边上的高．

19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)求BC边上的高．
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=4，BC＝3，DB＝
(1)分别求出DC，AB的长；
(2)猜想：△ABC是什么特殊三角形，并证明你的猜想
21．如图，在中，，点D在边上，，．
(1)猜想的度数，并说明理由；
(2)若，求的面积．
22．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米．
(1)求的度数；
(2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）．
23．已知：在中，的对边分别是a，b，c，满足．试判断的形状．
24．如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A，B ( -1，0 ) 两点，交y轴于点D．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标，
(2)判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．
《1.2一定是直角三角形吗》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D D A B C D B A
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可．
【详解】解：由图形可知：；；，
∴，
∴是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
2．D
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．据此逐一判定即可得到答案．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理直接判断即可得到答案．
【详解】解：A、因为，不满足三角形两边之和大于第三边，所以不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
4．D
【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
【详解】解：、，故这是一组勾股数，不符合题意；
、，故这是一组勾股数，不符合题意；
、，故这是一组勾股数，不符合题意；
、，故这不是一组勾股数，符合题意；
故选：．
5．A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【详解】解：A. 62+82=102，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B.62+82≠122，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.52+62≠112，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D.52+122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．B
【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据网格的特点求得的长为，分为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定点的位置．
【详解】由于每个小正方形的边长为1，则，
如图，
①当为斜边时，
可以作出，，三个直角三角形
当为直角边时，
可以作出，两个直角三角形，
将上述三角以为对称轴翻折，可得出4个直角三角形，
综上所述，一共有9个直角三角形．
故选：B．
7．C
【分析】先根据勾股定理求出AB，AC与BC，再利用勾股定理逆定理确定△ABC为直角三角形，然后根据锐角三角函数定义求即即可
【详解】解：根据勾股定理得AB=，AC=，BC=，
∵AC2+BC2=5+20=25=52=AB2，，
∴△ABC为直角三角形，
∴，
故选：C.
【点睛】本题考查网格勾股定理与逆定理，锐角三角函数，是常考题，掌握网格勾股定理与逆定理，锐角三角函数是解题关键．
8．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关键．
根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴是等腰三角形或直角三角形，
故选：D．
9．B
【分析】根据旋转的性质可得AQ＝PC，再求出PQ，然后利用勾股定理逆定理求出△APQ是直角三角形，∠APQ＝90°，再根据∠APD＝∠APQ＋∠DPQ代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵△PDC绕着D点按逆时针旋转90°得到△AQD，
∴PD＝DQ=2，∠PDQ＝90°，AQ＝PC＝3，
∴PQ＝，∠DPQ＝45°
∵PA2＋PQ2＝12＋（2）2＝9＝PC2，
∴△APQ是直角三角形，∠APQ＝90°，
∴∠APD＝∠APQ＋∠DPQ＝90°＋45°＝135°．
故选：B
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，熟记各性质是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是判断每组数中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方．
对每个选项，确定最长边，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，若不相等则不能构成直角三角形．
【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长a、b、为最长边）满足则该三角形为直角三角形．
A.边长为，最长边为8．
计算
∵，
∴不能构成直角三角形．
B.边长为，最长边为．
计算，
∵，
∴能构成直角三角形．
C.边长为，最长边为．
计算，
∵，
∴能构成直角三角形．
D.边长为，最长边为．
计算，
∵，
∴能构成直角三角形．
故选：A．
11．C
【分析】本题考勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，连接，根据网格特点，结合勾股定理，勾股定理逆定理，点到直线的距离，以及平行线的性质，进行判断即可．
【详解】解：连接，
由图可知：，故甲同学说法正确；
由勾股定理，得：，
，
∴，
∴不是直角三角形，是直角三角形，
∴和不是互余关系，故乙同学说法错误，
∴，
∴线段的长为点到直线的距离；故丙同学说法正确；
∵，
∴，
∴直线与直线互相垂直；故丁同学说法正确；
∴结论正确的有3个．
故选C．
12．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A．，，故A不正确；
B．，，故B正确；
C．，，故C不正确；
D．，，故D不正确．
故选：B．
13．直角
【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，
设三边分别为，，，
而，
∴三角形构成直角三角形，
故答案为：直角
14．
【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解；
【详解】解：设四个正方形的面积分别为：，
由图可知：，
故答案为：
15．2026
【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和．
【详解】解：如图，
由题意得：，
由勾股定理得：，
则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026．
故答案为：2026．
16．
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，作角平分线以及角平分线性质定理，先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，过点作于点，由角平分线性质定理得，运用面积法可求出．
【详解】解：在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
由作图得是的平分线，过点作于点，
则；
又
∴
∴，
∵，
∴,
∴．
故答案为：．
17．4.5
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点D作，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据角平分线的性质可得，最后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：过点D作，垂足为E，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
，
即，
．
19．(1)△ABC是直角三角形，理由见解析
(2)BC边上的高为2
【分析】(1)根据正方形小方格边长为1，得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形．
(2)设BC边上的高为h，根据面积公式，用正方形的面积减去三个三角形面积可以求出△ABC 的面积．
【详解】（1）△ABC是直角三角形，理由：
∵正方形小方格边长为1，
∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）设BC边上的高为h，
△ABC 的面积＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5，
×h×5＝5；
∴h＝2．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉勾股定理以及逆定理是解答此题的关键．
20．(1)，5
(2)见解析
【分析】（1）在中，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理得到，再根据即可求解．
（2）根据勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形．
【详解】（1）于D点,
，
在中，
在中，
故，．
（2）猜想：是直角三角形．
中，
是直角三角形．
【点睛】考察了勾股定理的逆定理，勾股定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
21．(1)；理由见解析
(2)68
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键．
（1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果；
（2）利用勾股定理求出的长，利用求出的长，最后求三角形面积即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
，，，
，
，
；
（2）在中，
由勾股定理得，
，
．
22．(1)
(2)米
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可解答；
（2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
∴；
（2）解：设米，则米，
∵点恰好在边的垂直平分线上，
∴米，
在中，由勾股定理得，
，
解得
答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米．
23．直角三角形
【分析】此题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理．现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：，
，
原式可化为，
∴，，（a，b，c都是正的），
∴符合勾股定理的逆定理，
故是直角三角形．
24．(1)，D点坐标为（0，3）
(2)△ACD是以AC为斜边的直角三角形，3
【分析】（1）先把抛物线解析式设为顶点式，代入点B坐标求出解析式即可求出点D的坐标；
（2）先求出点A的坐标，然后利用勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，据此求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为，
∵与轴交于点B（-1，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线交y轴于点D，
∴D点坐标为（0，3）；
（2）解：由顶点C坐标(1，4)可知对称轴是直线x=1，点B(-1，0)和点A是对称点，
∴点A(3，0)，
，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，勾股定理的逆定理，两点距离公式，三角形面积等等，正确求出抛物线解析式是解题的关键．
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