1.1探索勾股定理寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 1.1探索勾股定理寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-17 00:00:00 | ||
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文档简介
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1.1探索勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（ ）米
A．10 B．12 C．16 D．18
2．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
4．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．13米 D．15米
5．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（ ）
A． B． C． D．
6．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
7．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
8．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．6
10．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，直线分别交轴、轴于点、，交线段于点，连接，当直线将的面积分为相等的两部分时，的周长为（ ）
A． B． C．12 D．16
11．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．5
12．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题
13．在中，斜边，则的值为 ．
14．用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理．
（1）图2中大正方形的边长是 ，里面小正方形的边长为 ；
（2）大正方形面积可以表示为 ，也可以表示为 ；
（3）对比这两种表示方法，可得出 ，整理得 ．
15．直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ．
16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为 ．
17．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为 m．
三、解答题
18．如图，在中，，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积．
19．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了，和三个区域．已知，，米，米，米，米．小明和小林从点出发散步，小明沿路径行走，小林沿路径行走，试比较两人所走路程的长短．
20．如图，各边的长如图所示，求的面积．
21．如图，为上一点，，，，，交于点，且．
(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理．
22．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度； 第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度．
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中BC的长度 1
图②中BD的长度 5
… …
(1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
(2)如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度（结果保留根号）．
23．如图，已知矩形的边，．
(1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？
24．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，则当为多少时，为直角三角形？
《1.1探索勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B A A A B C B
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：在中，米，米，
∴（米），
故这根高压电线杆断裂前高度为：（米）．
故选：C．
2．A
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．
【详解】由题意，画出图形如下：
由勾股定理得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、利用A中结论，本选项不符合题意．
D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解．
【详解】解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得：
，
解得，
答：旗杆的高度为12米．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】如图，连接．
依题意，
∵，
∵在中，，
∴，
∴．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵
∴，
在中，米，米。
∴，
米 ，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解．
【详解】解：设面积为、、的正方形的边长分别为、、．
∴，， ．
∵是直角三角形，，
∴ ．
∵为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，
∴；； ．
∴ ．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可．
【详解】解：如图，
，，
阴影部分面积，
朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，
，，
青出与青入的三角形全等，
，
，
，
，
，，
，
阴影部分面积
，
故选：B．
9．C
【分析】根据旋转的性质得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，设BC＝x，根据直角三角形的性质得到AB＝DE＝2x，根据勾股定理得到AC＝，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴AB＝BE，
∴∠A＝∠E＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EDF＝90°，
设BC＝x，
∴AB＝BE＝2x，
∴CE＝x，AC＝，
∵∠ECF＝90°，∠E＝30°，
∴CF＝EF，
∵CE＝x，
∴CF＝，
∵AF＝8，
∴，
∴x＝
∴AB＝2x＝，
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理．根据题意点为的中点，利用中点坐标求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点的坐标，据此求解即可．
【详解】解：∵直线将的面积分为相等的两部分，
∴点为的中点，
∴点，
∵，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴点，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
11．A
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、三角形面积公式，由勾股定理可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
由作图可得：平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：A．
12．D
【分析】取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解；
【详解】解：取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，
则
∵
设
解得：
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
13．72
【分析】】
本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．
利用勾股定理将转化为，再求值．
【详解】解：中，为斜边，
，
．
故答案为：72．
14．
【分析】本题考查图形验证勾股定理，数形结合找准面积关系是解决问题的关键．
由图2可得大正方形的边长、小正方形的边长，再结合正方形及三角形面积公式即可用两种方式表示出大正方形面积，列出等式后整理即可得到勾股定理．
【详解】解：如图所示：
图2中大正方形的边长是，里面小正方形的边长为；
大正方形面积可以表示为，也可以表示为；
对比这两种表示方法，可得出，
则，
整理得，
故答案为：，，，，，．
15．289或161
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论．
分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：①当第三边为斜边时，
由勾股定理得，；
②当第三边为直角边时，
由勾股定理得，；
综上，的值为289或161，
故答案为：289或161．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，完全平方公式，设正方形，，的面积分别为，由全等三角形性质可得，，然后分别求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设正方形，，的面积分别为，
∵八个直角三角形全等，正方形，，是正方形，
∴，，
∴
，
，，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
故答案为：．
17．5
【分析】由垂径定理可知，设，则，根据勾股定理计算即可；
【详解】由图可知：，
∴，
设，则，
在Rt△AOC中，，
∴，
解得：．
∴该输水管的半径为5m．
故答案是：5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键．
18．
【分析】先利用勾股定理计算的长，再利用长方形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理并灵活运用是解本题的关键．
19．一样长，见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理求出，的长，从而得到，的长，比较即可得到答案．
【详解】解：∵，米，米，
∴米．
又∵米，，
∴米．
∵（米），（米），
∴两人所走路程一样长．
20．
【分析】本题考查了勾股定理；先利用勾股定理列方程求出，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，
解得，
所以的面积．
21．(1)，理由见解析
(2)证明过程见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据可证明，则，．又因为，代换线段可得答案；
（2）根据列出等式，化简即可得到答案．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图，
，，
．
又，
．
，，
．
在和中，
，
，
，．
又，
．
（2）证明：，
∴，
由（1）得，，
作于，
，，
，
，
由平行线间距离处处相等可知，
∴，
，
．
22．(1)旗杆的高度为12米；
(2)该同学前进的距离的长为米．
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
（1）由勾股定理得，设旗杆的高度为米，即可求解；
（2）过点作于点，由勾股定理得，即可求解．
【详解】（1）解：由题知，，，米
在中，；
由勾股定理得：，
设旗杆的高度为米，则米，
，
解得：，
所以旗杆的高度为12米；
（2）解：如图，过点作于点，
，
由条件可知四边形是矩形，米，
，
，
在中，
由勾股定理得：，
，
；
故该同学前进的距离的长为米．
23．(1)点在内，点在上，点在外
(2)
【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
（1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．
【详解】（1）解：连接，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴点在内，
∵，
∴点在上，
∵，
∴点在外；
（2）解：∵以点A为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴的半径的取值范围是：．
24．或16
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形的性质，先利用勾股定理求得值，作边上的高，结合三角形等面积求得，分①当为直角时和②当为直角时两种情况分别求解即可．
【详解】解：在中，，，
所以由勾股定理，得，所以．
如图，作边上的高．
因为，
所以．
①当为直角时，点与点重合，，所以；
②当为直角时，点与点重合，．
在中，因为，所以，解得．
综上，当或16时，为直角三角形．
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1.1探索勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（ ）米
A．10 B．12 C．16 D．18
2．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
4．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．13米 D．15米
5．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（ ）
A． B． C． D．
6．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
7．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
8．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．6
10．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，直线分别交轴、轴于点、，交线段于点，连接，当直线将的面积分为相等的两部分时，的周长为（ ）
A． B． C．12 D．16
11．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．5
12．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题
13．在中，斜边，则的值为 ．
14．用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理．
（1）图2中大正方形的边长是 ，里面小正方形的边长为 ；
（2）大正方形面积可以表示为 ，也可以表示为 ；
（3）对比这两种表示方法，可得出 ，整理得 ．
15．直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ．
16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为 ．
17．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为 m．
三、解答题
18．如图，在中，，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积．
19．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了，和三个区域．已知，，米，米，米，米．小明和小林从点出发散步，小明沿路径行走，小林沿路径行走，试比较两人所走路程的长短．
20．如图，各边的长如图所示，求的面积．
21．如图，为上一点，，，，，交于点，且．
(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理．
22．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度； 第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度．
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中BC的长度 1
图②中BD的长度 5
… …
(1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
(2)如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度（结果保留根号）．
23．如图，已知矩形的边，．
(1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？
24．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，则当为多少时，为直角三角形？
《1.1探索勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B A A A B C B
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：在中，米，米，
∴（米），
故这根高压电线杆断裂前高度为：（米）．
故选：C．
2．A
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．
【详解】由题意，画出图形如下：
由勾股定理得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、利用A中结论，本选项不符合题意．
D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解．
【详解】解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得：
，
解得，
答：旗杆的高度为12米．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】如图，连接．
依题意，
∵，
∵在中，，
∴，
∴．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵
∴，
在中，米，米。
∴，
米 ，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解．
【详解】解：设面积为、、的正方形的边长分别为、、．
∴，， ．
∵是直角三角形，，
∴ ．
∵为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，
∴；； ．
∴ ．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可．
【详解】解：如图，
，，
阴影部分面积，
朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，
，，
青出与青入的三角形全等，
，
，
，
，
，，
，
阴影部分面积
，
故选：B．
9．C
【分析】根据旋转的性质得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，设BC＝x，根据直角三角形的性质得到AB＝DE＝2x，根据勾股定理得到AC＝，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴AB＝BE，
∴∠A＝∠E＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EDF＝90°，
设BC＝x，
∴AB＝BE＝2x，
∴CE＝x，AC＝，
∵∠ECF＝90°，∠E＝30°，
∴CF＝EF，
∵CE＝x，
∴CF＝，
∵AF＝8，
∴，
∴x＝
∴AB＝2x＝，
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理．根据题意点为的中点，利用中点坐标求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点的坐标，据此求解即可．
【详解】解：∵直线将的面积分为相等的两部分，
∴点为的中点，
∴点，
∵，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴点，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
11．A
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、三角形面积公式，由勾股定理可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
由作图可得：平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：A．
12．D
【分析】取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解；
【详解】解：取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，
则
∵
设
解得：
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
13．72
【分析】】
本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．
利用勾股定理将转化为，再求值．
【详解】解：中，为斜边，
，
．
故答案为：72．
14．
【分析】本题考查图形验证勾股定理，数形结合找准面积关系是解决问题的关键．
由图2可得大正方形的边长、小正方形的边长，再结合正方形及三角形面积公式即可用两种方式表示出大正方形面积，列出等式后整理即可得到勾股定理．
【详解】解：如图所示：
图2中大正方形的边长是，里面小正方形的边长为；
大正方形面积可以表示为，也可以表示为；
对比这两种表示方法，可得出，
则，
整理得，
故答案为：，，，，，．
15．289或161
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论．
分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：①当第三边为斜边时，
由勾股定理得，；
②当第三边为直角边时，
由勾股定理得，；
综上，的值为289或161，
故答案为：289或161．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，完全平方公式，设正方形，，的面积分别为，由全等三角形性质可得，，然后分别求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设正方形，，的面积分别为，
∵八个直角三角形全等，正方形，，是正方形，
∴，，
∴
，
，，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
故答案为：．
17．5
【分析】由垂径定理可知，设，则，根据勾股定理计算即可；
【详解】由图可知：，
∴，
设，则，
在Rt△AOC中，，
∴，
解得：．
∴该输水管的半径为5m．
故答案是：5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键．
18．
【分析】先利用勾股定理计算的长，再利用长方形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理并灵活运用是解本题的关键．
19．一样长，见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理求出，的长，从而得到，的长，比较即可得到答案．
【详解】解：∵，米，米，
∴米．
又∵米，，
∴米．
∵（米），（米），
∴两人所走路程一样长．
20．
【分析】本题考查了勾股定理；先利用勾股定理列方程求出，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，
解得，
所以的面积．
21．(1)，理由见解析
(2)证明过程见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据可证明，则，．又因为，代换线段可得答案；
（2）根据列出等式，化简即可得到答案．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图，
，，
．
又，
．
，，
．
在和中，
，
，
，．
又，
．
（2）证明：，
∴，
由（1）得，，
作于，
，，
，
，
由平行线间距离处处相等可知，
∴，
，
．
22．(1)旗杆的高度为12米；
(2)该同学前进的距离的长为米．
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
（1）由勾股定理得，设旗杆的高度为米，即可求解；
（2）过点作于点，由勾股定理得，即可求解．
【详解】（1）解：由题知，，，米
在中，；
由勾股定理得：，
设旗杆的高度为米，则米，
，
解得：，
所以旗杆的高度为12米；
（2）解：如图，过点作于点，
，
由条件可知四边形是矩形，米，
，
，
在中，
由勾股定理得：，
，
；
故该同学前进的距离的长为米．
23．(1)点在内，点在上，点在外
(2)
【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
（1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．
【详解】（1）解：连接，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴点在内，
∵，
∴点在上，
∵，
∴点在外；
（2）解：∵以点A为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴的半径的取值范围是：．
24．或16
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形的性质，先利用勾股定理求得值，作边上的高，结合三角形等面积求得，分①当为直角时和②当为直角时两种情况分别求解即可．
【详解】解：在中，，，
所以由勾股定理，得，所以．
如图，作边上的高．
因为，
所以．
①当为直角时，点与点重合，，所以；
②当为直角时，点与点重合，．
在中，因为，所以，解得．
综上，当或16时，为直角三角形．
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