第二章实数寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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第二章实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算的结果为（ ）
A． B． C．4 D．8
2．在0，，，这四个数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
3．若，则a的值估计在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
4．无理数的小数部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（ ）
A．8 B． C．2 D．
7．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　）
A． B． C． D．
9．已知，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
10．在一个正整数数列中，第二项之后的每一项都是前面两项的乘积．数列中的第六项是4000．问第一项是多少？
A．1 B．2 C．4 D．5 E．10
11．若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组a和b使得；
②只存在两组a和b使得；
③不存在a和b使得；
④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为 ．
14．计算： ．
15．请用“>，=，<”符号比较大小： ；
16．下列等式：①；②；③；④，不成立的是 ．（请填写序号）
17．如果和是一个数m的平方根，则 ；
三、解答题
18．把下列各数分别填入相应的集合里：
，（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，，0.12，，，，300%
(1)负数集合：{__________________________}；
(2)非负数集合：{__________________________}；
(3)分数集合：{__________________________}；
(4)无理数集合：{__________________________}；
19．若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”．
(1)判断58是否是“完美数”，并说明理由；
(2)已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值；
(3)已知 ，求的值．
20．已知的算术平方根是3，的立方根是2．求的平方根．
21．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．
(1)A类正方形的边长是___________；
(2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长；
(3)求长方形邀请函的长和宽．
22．已知的算术平方根是3，的立方根是2，c的平方根是它本身．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
23．观察下列计算：
；
；
；
…
则：
(1)________，________；
(2)利用你发现的规律计算：的值．
24．已知，求的值．
《第二章实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D C D B C D D
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．
【详解】解：在0，，，这四个数中，是无理数，故B正确．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，实数与数轴，先根据二次根式的加减法则，进行计算，再估算无理数的范围，即可得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴；
∴表示的值估计在7到8之间．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数大小判断和估算是解题关键．
判断的范围，求出其整数部分，从而可得的整数部分，用减去整数部分即可得到其小数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴无理数的整数部分是6，
小数部分是，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围．
【详解】解：∵，，且10介于9和16之间，
∴应在3和4之间，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图，进行计算，直至结果为无理数，输出即可．
【详解】解：按照流程依次输出：，是无理数，输出，
故值是；
故选D．
7．B
【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，
，，
，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解：∵；，即；；；
∴在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是，
故选：C；
9．D
【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
解得，，
∴ ，
故选：D．
10．D
【分析】此题考查平方根、立方根及单项式乘以单项式，熟练掌握平方根、立方根及单项式乘以单项式是解题的关键．设出第一项为a，第二项为b，根据题意表示出第六项，进一步探讨a、b的数值，求得答案即可．
【详解】解：设第一项为a，第二项为b，则第三项为，第四项为，第五项为，第六项是，
∵，
∴，
∵a、b都为正整数，
∴，
∴，
∴；
故选D
11．D
【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小比较，有理数的乘法，有理数的加法运算的符号确定，本题先得到，再逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意；
故选：D．
12．B
【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．
直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案．
【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，
，
，
当时，，故结论①正确；
②，
当，则
当则．故结论②正确；
③，
当时，，
当时，，故结论③错误；
④，
，
当时，，
，
，
有无数和满足等式，故结论④错误．
综上所述：正确结论有①②，共2个，
故选：B．
13．0或1
【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可得出答案．
【详解】解：根据算术平方根的定义，一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1．
故答案为：0或1．
14．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15．>
【分析】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，求出，，再比较大小即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：
16．③
【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则．
利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：①，成立；
②，成立；
③，不成立；
④，成立．
故答案为：③．
17． 81
【分析】本题考查平方根，立方根的概念；
解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
根据平方根的性质即可得到关于a的方程，解出即可得到结果．
【详解】解：由题意得
解得，
则
18．(1)
(2)（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，0.12，，，，300%
(3)
(4)（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），，
【分析】本题考查实数的分类，先化简各数，再根据负数、非负数、分数、无理数的定义，直接填空即可．
【详解】（1）解：，，，．
负数集合：；
（2）解：非负数集合：（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，0.12，，，，300%；
（3）解：分数集合：；
（4）解：无理数集合：（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），，．
19．(1)58是“完美数”，理由见解析
(2)
(3)2
【分析】本题考查了新定义，完全平方式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）整理得，结合“完美数”的定义，进行作答即可．
（2）先整理得，因为要使W为“完美数”，所以需要是完全平方式，即可作答．
（3）因为，得出，得，把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，58是“完美数”，理由如下：
依题意，，
∴58是“完美数”，
（2）解：
∵要使W为“完美数”，
∴需要是完全平方式，
即，
∴．
（3）解：∵，
∴
∴，
∴，
∴．
20．
【分析】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根、立方根的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．
根据平方根、立方根的定义即可求解．
【详解】解：的算术平方根是3，的立方根是2，
∴，，
解得：，，
∴，
则的平方根是．
21．(1)
(2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为
(3)长方形的长为，宽为
【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键．
（1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是；
（2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是，
（3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解．
【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2，
∴A类正方形的边长是，
故答案为：；
（2）解：∵A类正方形的边长是，
∴A类正方形的周长是：，
∵B类正方形的面积是4，
∴B类正方形的边长是，
∴B类正方形的周长为；
（3）解：长方形的长为，宽为．
22．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）根据平方根，算术平方根，立方根的知识进行作答，即可求解；
（2）由（1）得，，，将其代入，然后即可求解的平方根；
【详解】（1）解：由题意可得：，，，
解得：，
把代入，
解得：，
∴，，；
（2）解：把，，代入，得：，
∴的平方根为；
23．(1)，
(2)
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算；
（1）根据所给式子，观察可得答案；
（2）利用得到的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：
．
24．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．直接将，代入求值即可．
【详解】解：原式
．
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