4.2认识一次函数寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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4.2认识一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．张奶奶在超市买了2千克橘子，每千克橘子元，一共花了元，买橘子的总价与质量之间的关系是（ ）
A．正比例关系 B．反比例关系 C．不成比例 D．不能确定
2．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积随着边长的变化而变化
B．圆的周长随着半径的变化而变化
C．面积为20的三角形的一边，随着这边上的高的变化而变化
D．矩形的一边长为，比它的邻边短2．矩形的周长随着边长的变化而变化
3．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是一次函数的有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．下列函数关系式中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（ ）
A．长铁丝折成长为，宽为的长方形
B．斜边长为的直角三角形的直角边和
C．圆的面积与它的半径
D．路程一定时，时间和速度的关系
6．在y=（k-1）x+k2-1中，若y是x的正比例函数，则k的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．无法确定
7．若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是( )
A．路程一定时，时间y和速度x
B．长10米的铁丝折成长为y、宽为x的长方形
C．圆的面积y与它的半径x
D．斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
9．对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 E．5
10．关于x的一次函数的图像经过原点，则在该一次函数图像上的点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
11．若函数是关于的正比例函数，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ）
A． B．24 C． D．12
二、填空题
13．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号）
14．已知函数，当k 时，它为一次函数；当k 时，它是正比例函数．
15．函数是一次函数，则常数k的值为 ．
16．某商品的定价是每千克5元，元旦期间，该商品推出优惠活动，若一次购买该商品的数量超过2千克，则超过2千克的部分，价格打八折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款．若一次购买的数量为x千克，在的条件下，付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式为 ．
17．从地向地打长途电话，通话时间不超过收费2.4元，超过后每分钟加收1元．有10元钱时，打一次电话最多可以通话 分钟.（结果取整数，不足的通话时间按计费）
三、解答题
18．下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？
（1）；（2）；（3）；（4）．
19．用“描点法”画出函数的图象．
解：函数的自变量x的取值范围是 ．
x … 0 1 2 …
y
判断是否在函数的图象上．

20．(1)在如下图所示的平面直角坐标系内画出正比例函数与的图象．
(2)请你用量角器度量一下（1）中这两条直线的夹角，你发现这两条直线的位置关系是________．
(3)在同一平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是________．
(4)若直线（m为常数）与直线互相垂直，求m的值．
21．已知一次函数的图象经过点和．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)若点在这个一次函数的图象上，求a的值．
22．某电信公司手机的类套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费元，另外，通话费按元分钟计算；类套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按元/分钟计算．
(1)直接写出类和类每月应缴费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系式；
(2)若某手机用户这个月通话时间为分钟，他选择哪种方式更合算？
(3)若某用户平均每月缴话费元，他应选择哪种方式更合算？
23．已知三点，求直线的解析式，并用两种不同的方法判断点C是否在直线上．
24．我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）．
供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/）
居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15
第二阶梯 144~240（含） 4.05
第三阶梯 240以上 6.75
(1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式．
(2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？
(3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量．
《4.2认识一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B A B C B B C
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】本题主要考查了正比例关系的概念，熟练掌握正比例关系的定义是解题的关键．根据买橘子的总价质量单价即可得到答案．
【详解】解：根据买橘子的总价质量单价，
买橘子的总价与质量之间的关系是正比例关系．
故选A．
2．B
【分析】本题主要考查正比例函数的定义．先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做正比例函数，进行判断即可．
【详解】解：A.，是二次函数；
B.，是正比例函数；
C.，是反比例函数；
D.，是一次函数；
故选：B．
3．C
【分析】根据一次函数的定义逐项分析判断即可即可求解．
【详解】解：①，正比例函数，属于一次函数，符合题意；
②不是整式，不符合题意；
③，符合题意；
④的次数是2，不符合题意；
⑤，符合题意；
⑥这是x次方，不是1次，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的概念，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的概念．一次函数中、为常数，，自变量次数为．
4．B
【分析】此题主要考查了一次函数的概念，关键是明确一次函数解析式的结构特征．
形如（，k、b是常数）的函数，叫作一次函数，根据一次函数的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A、该选项不是y关于x的一次函数，不符合题意；
B、该选项是y关于x的一次函数，符合题意；
C、该选项不是y关于x的一次函数，是反比例函数，不符合题意；
D、该选项不是y关于x的一次函数，不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】分别求出各个选项的函数关系式，即可得到答案．
【详解】解：A、∵长铁丝折成长为，宽为的长方形，∴，满足一次函数关系，符合题意；
B、∵斜边长为的直角三角形的直角边和，∴，不满足一次函数的关系，不符合题意；
C、圆的面积与它的半径，关系式为，不是一次函数关系，不符合题意；
D、路程一定时，时间和速度的关系式为（k表示路程），不是一次函数关系，不符合题意；
故选A
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，熟知如果x、y满足（，k、b是常数），那么y是x的一次函数是解题的关键．
6．B
【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的方程组，求出k的值即可．
【详解】∵函数y=（k1）x+k21是正比例函数，
∴，
解得k=1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，即形如y=kx（k≠0）的函数叫正比例函数．
7．C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的函数是一次函数，
∴，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了一次函数的定义，列函数解析式，求得每个问题对应的函数解析式是解题的关键．一般地，形如是常数，且)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，
根据各选项中的问题列出函数关系式，进而即可判断形如形式的，即变量y与x成一次函数关系的选项．
【详解】解：A、路程一定时，根据路程=速度乘以时间，得时间y和速度x是反比例函数；
B、长10米的铁丝折成长为y、宽为x的长方形，得 ，根据一次函数的定义，得：变量y与x成一次函数；
C、圆的面积y与它的半径x，得： ，变量y与x成二次函数；
D、斜边长为5的直角三角形的直角边y和x， ，变量y不是x的一次函数
故选B
9．B
【分析】本题考查了一次函数，新定义，理解直角距离的含义是解题的关键．根据直角距离的定义，点P到直线的直角距离即为P到该直线上所有点的直角距离的最小值．设直线上的点Q坐标为，计算，可知当时，取到最小值0，此时最小，即可得解．
【详解】解：设直线上的点Q坐标为，
则，
当时，取得最小值0，此时直角距离最小为2，
到直线的直角距离为2，
故选：．
10．C
【分析】先将代入求得k的值，确定一次函数解析式，然后再根据一次函数图像上的点满足解析式即可解答．
【详解】解：∵一次函数的图像经过原点
∴，解得：
∴一次函数的解析式为
∴在一次函数的图像上．
故选C．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质等知识点，正确确定一次函数解析式成为解答本题的关键．
11．C
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断即可．
【详解】是关于的正比例函数，
且，
解得，
故选C．
12．A
【分析】根据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．
【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，
∴＝﹣+，
∴a﹣b＝﹣c，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，
∴ab＝4，即ab＝8，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a﹣b）2+2ab＝c2，
∴（﹣c）2+2×8＝c2，
解得c＝2，
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，完全平方公式等知识，根据新定义和直角三角形面积公式、勾股定理得到三个关系式并结合完全平方公式进行转化是解答此题的关键．
13．①③⑤
【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键在于能够熟知定义．
根据一次函数的定义：形如的函数叫做一次函数，进行逐一判断即可．
【详解】解：①是一次函数；
②不是一次函数；
③是一次函数；
④不是一次函数；
⑤是一次函数；
故答案为：①③⑤．
14．
【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的解析式，根据一次函数的解析式是,正比例函数的解析式是得出答案．
【详解】解：当是一次函数时，
得，
∴，
当是正比例函数时，
得且，
解得，
故答案为：，．
15．
【分析】根据一次函数的定义，形如的函数为一次函数，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，解得
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义．
16．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用知识，掌握以上知识并充分理解题意是解答本题的关键．
本题当时，付款金额由两部分构成，一部分是2千克所花的钱，另一部分是超过2千克所花的钱，然后即可求解．
【详解】解：由题意可列式：当，即．
故答案为：
17．10
【分析】设通话时间为x分钟，通话费用为y元，由题意知，前3分钟话费是固定不变，若通话时间小于3分钟，则话费是2.4元，若大于等于3分钟，则所需费用是2.4加上超过的部分，据此即可列出函数关系式，再将y=10代入解析式即可解答．
【详解】解：根据题意，设通话时间为x分钟，且易知x大于3分钟，通话费用为y元，则依题意得到函数关系式为：
y=2.4+（x-3）=x-0.6；
当y=10时，10=x-0.6，
解得：x=10.6，
因为x为整数，
故x=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是至关重要的一步．
18．（1）（2）
【分析】根据正比例函数的定义，即一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．可得答案．
【详解】解：（1）；（2）是正比例函数，
故答案为：（1）（2）
【点睛】本题考查了正比例函数，熟知一般地，形如y＝kx（k是不等于零的常数）的函数，叫做正比例函数是解题关键．
19．实数；见解析；点A、B在函数的图象上，点C不在函数的图象上
【分析】一次函数的自变量取值为实数；把自变量x的值代入解析式，求出y的值；描点、连线画出一次函数的图象；
把代入解析式，通过等式是否成立判断是否是直线上的点．
【详解】解：函数的自变量x的取值范围是实数；
故答案为：实数；
列表：
x … 0 1 2 …
y … 1 3 5 …
描点、连线，画出一次函数的图象如图：

把代入解析式，
；
，
∴点A、B在函数的图象上．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与图象上的点，解题的关键是掌握一次函数的图象与一次函数图象上点的特点．
20．（1）见解析
（2）互相垂直
（3）互相垂直
（4）
【分析】本题主要考查正比例函数的图像，涉及到正比例函数的性质、垂直的判定等知识.
（1）在平面直角坐标系中分别取两点，画出两图像；
（2）用量角器度量出两直线的夹角即可；
（3）根据（2）作出猜想；
（4）利用（2）得出的结论，求出的值即可.
【详解】（1）解：图像如图所示：
（2）经过测量，两直线的夹角为，
猜想：当两个正比例函数的比例系数之积为：时，两直线的夹角为，这两条直线的位置关系是互相垂直；
故答案为：互相垂直.
（3）由（2）的猜想可知：
∵，
∴直线与直线的位置关系是：互相垂直；
故答案为：互相垂直.
（4）∵直线（m为常数）与直线互相垂直，
∴，
解得：.
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出一次函数的解析式为，再把两组对应值代入得到k、b的方程组，然后解方程组可得到一次函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）把点代入得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设一次函数的表达式为．
把和代入，
解得，
所以一次函数的表达式为．
（2）解：把代入，得，
解得．
22．(1)套餐：，；套餐：，
(2)套餐更合算
(3)套餐更合算．
【分析】本题主要考查一次函数的应用及方案选择问题，理解题意，根据题意列出函数关系式是解题关键．
（1）根据题目中收费标准可列出函数关系式；
（2）分别由A、B两类收费关系式可求得相应的通话费用，费用低则更合算．
（3）分别由A、B两类收费关系式可求得相应的通话时间，时间久则更合算．
【详解】（1）解：A类：，；
B类：，．
（2）当时，
A类：
类：
∵
所以用套餐更合算
（3）当时，
A类：，解得．
类：，解得．
因为，
所以用套餐更合算．
23．，点C在直线上（点C坐标符合解析式，或求出解析式发现与相同）．
【分析】先利用待定系数法求解的解析式为： 再求解当时的函数值，可判断在不在上，或利用待定系数法再求解的解析式，证明直线是同一直线，从而可判断在不在上.
【详解】解：设直线的解析式为 而
解得：
所以：直线的解析式为
方法一：当时，
在直线上，
方法二：设直线为 而，
解得：
所以直线为
所以直线即直线
在直线上，
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.
24．(1)
(2)小米家应缴2024年水费元
(3)小乐家2024年全年用水量为
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程．
（1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可；
（2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可；
（3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，
当时，，
当时，，
当时，，
；
（2）解：（元），
小米家应缴2024年水费元；
（3）解：设小乐家2024年全年用水量为，
，，
，
，
解得，
小乐家2024年全年用水量为．
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