4.1函数寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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4.1函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的前两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算），则租金y（元）与租赁天数之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是（ ）
A．7折 B．折 C．8折 D．折
5．函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小米的速度为 B．小华提速后的速度为
C．小米比小华先出发 D．小华比小米提前到达客人位置
8．小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如右图所示，给出结论①山的高度是720米，②表示的是爷爷爬山的情况，表示的是小强爬山的情况，③小强爬山的速度是爷爷的2倍，④爷爷比小强先出发20分钟．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
10．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的距离（单位：km）与所用时间（单位：min）之间的函数关系如图所示（粗线表示乙车，细线表示甲车），则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（ ）
A．9min B．10min C．11min D．12min
11．如图1，的边与长方形的边都在直线上，且点与点重合，，将沿着射线方向移动至点与点重合时停止，设与长方形重叠部分的面积是，的长度为，与之间的关系图象如图2所示，则长方形的面积为（ ）
A．8 B．10 C．6 D．15
12．王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是 （填写所有正确的序号）
15．如图，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去的小圆的半径由小变大时，剩下的圆环面积（图中阴影部分面积）也随之发生变化．如果设挖去的小圆半径为，则圆环的面积与的关系式为 ；当挖去小圆的半径由变化到时，由 变化到 ．（结果保留）
16．课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则 ．
17．已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是 平方厘米．
三、解答题
18．已知某一函数的图象所示，根据图象回答下列问题
（1）求当y＝0，x的值是多少？
（2）当﹣2≤x≤1.5时，y随x的增大而怎么样变化？
19．如图所示，数学老师每天晚饭后从家中出发去散步的时间与离开家的距离之间的关系的图象，请根据图象解答下列问题：
(1)如图反映了哪两个变量之间的关系？________；
(2)如果老师晚上分从家里出发，那么老师晚上________点回到家？
(3)老师散步时最远离家________米．
(4)分别计算老师离开家后的20分钟内和返回家一段的平均速度．
20．某人点燃一根长的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短，设后蜡烛剩下的长度为．
(1)求与之间的函数关系式．
(2)几小时后，蜡烛的长度为？
(3)几小时后，蜡烛的长度不足？
21．小芳从甲地出发沿一条笔直的公路匀速骑行前往乙地，她与乙地之间的距离（）与出发时间（）之间的函数关系式如图1中的线段所示.在小芳出发的同时，小亮从乙地沿同一公路匀速骑行前往甲地，两人之间的距离（）与出发时间（）之间的函数关系式如图中折线段所示．
（1）小芳骑行的速度为______，小亮骑行的速度为______；
（2）求线段所表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两人出发后两人之间的距离．
22．在全国抗击“非典”的斗争中，某市医学研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典的抗生药，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似的满足如图所示的折线．
(1)写出注射药液后自变量的取值范围．
(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？
(3)假若某病人一天中第一次注射药液是早晨6点钟，问怎样安排此人从注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？
23．如图1，长方形中，，点从B出发，沿方向运动，经过D，C，到B停止，点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图2是点出发t秒后的面积与t（秒）的关系图象．
(1)直接写出 ， ， ；
(2)设点离开点B的路程为，求出路程与运动时间t（秒）的关系式；
(3)直接写出，当点出发多少秒后，．
24．如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．
(1)直接写出　　　，　　　，　　　；
(2)求长方形的长；
(3)求当时，S与运动时间t的关系式．
《4.1函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A D D A B B A
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意、弄清量之间的关系成为解题的关键．
分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可解答．
【详解】解：由题意得，．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查函数的概念，正确理解函数的定义并灵活运用是解题的关键．根据函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．对于任意的x，有唯一的y与之对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意；
B．当，y有2个值与之对应，不能表示y是x的函数，故本选项符合题意；
C．对于任意的x，有唯一的y与之对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意；
D．对于任意的x，有唯一的y与之对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，准确分析出各部分情况下y随x的变化情况是解题关键．
理解题意，分别讨论点M在上、半圆上、以及上时，y随x的变化情况即可．
【详解】解：由题意：当点M在上时，y随x的增大而增大；
当点M在半圆上时，y不变，等于半径；
当点M在上时，y随x的增大而减小．
∴选项C符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息，
根据图象可求出没有打折时练习本的单价，再求出打折后的单价，进而得出答案．
【详解】解：由图象可知打折前的单价为元/本；
打折后的单价为，
则，
所以这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是7折．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了二次根式有意义条件，求函数的自变量的取值范围．根据二次根式有意义的条件可得，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
∴．
故选：D
6．D
【分析】本题考查函数的识别，根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的因变量与之对应，再进行判断即可．
【详解】解：A中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意，
B中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意，
C中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意，
D中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，符合题意，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了函数图像的应用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解．
【详解】解：由图像可知，小米的图像从开始，小华的图像从开始，
所以小米比小华先出发，故C选项错误，不符合题意；
∵当时，，当时，，
∴小华提速前的速度是，
∵小华出发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴小华提速后的速度为，故B选项错误，不符合题意；
∴提速后小华行走所用时间为，
∴，
∴，
∴小米的速度为，故A选项正确，符合题意；
∵，，
∴小华比小米提前到达客人位置，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
8．B
【分析】根据题干信息，结合图像逐一判断即可得解；
【详解】解：由图像可知，山的高度为720米，故①正确；
由于是爷爷先出发一段时间后小强再出发，结合图象可知表示的是爷爷爬山的情况，表示的是小强爬山的情况，故②不正确；
小强爬山的速度为，爷爷爬山速度为，小强爬山的速度是爷爷的2倍，故③正确；
爷爷提前出发，先爬了240米，时间为，故④不正确；
综上正确的个数是2个，
故选择：B
【点睛】本题主要考查函数的图像，根据函数的图像的特征提取关键性质是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答．
【详解】解：依题意，动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，
根据图象可知，当时，
∴，
∵点为边中点，
∴，
由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小，
∴根据垂线段最短，此时，
如图所示，此时点P运动的路程，
∴，
∴在中，，
即．
故选：B．
10．A
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车两次相遇的时间，然后作差即可．
【详解】解：设甲乙两地的距离为S km，
则甲车的速度为km/min，乙车的速度为km/min，
甲、乙两车在途中第一次相遇的时间为：=9（min），
设甲、乙两车在途中第二次相遇的时间为a min，
则（a-12）=a，
解得a=18，
18-9=9（min），
即甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为9min，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．B
【分析】本题主要考查了动点问题函数图象，解题的关键是数形结合，求出长方形的长和宽．从图2看，向右平移2个单位时，整体在长方形中，可得到长方形的宽，再向右平移3个单位时，点重合，可得到长方形的长，即可求出长方形的面积．
【详解】解：从图2看，向右平移2个单位时，整体正好在长方形中，此时与长方形重叠部分的面积为的面积为且，
的面积为，
解得：，
，
再向右平移3个单位时，点重合，
故：，
长方形的面积为，
故选：B．
12．B
【分析】本题主要考查了函数图象的确定，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据题意逐段进行分析，求出每个关键点的函数值和自变量的值，然后对比选项函数图象即可．
【详解】解：根据题意，当王红出门开始时，哥哥和王红的距离逐渐增大，当时，；
当哥哥开始追王红时，哥哥和王红的距离逐渐减小，哥哥追上王红所用时间为：，当时，；
当哥哥和王红离开时，哥哥和王红的距离逐渐增大，此时，哥哥到家和王红到达终点所用时间为，即当时，；
通过选项对比，只有B选项符合要求，
故选：B．
13．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
根据二次根式中被开方数大于等于零求解即可．
【详解】解：∵函数为，
∴，解得，
∴自变量x的取值范围是．
故答案为： ．
14．④
【分析】本题考查了函数的概念．根据函数的定义判断即可．
【详解】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，
∴①②③不符合定义，④符合定义，
故答案为：④．
15．
【分析】圆环的面积就是大圆的面积与挖去的小圆的面积的差；在函数解析式中分别求出半径分别是1cm与8cm时，面积的值，即可求解．
【详解】解：圆环的面积与的关系式为：y＝π×102﹣πx2＝100π﹣πx2；
在y＝100π﹣πx2，
当x＝1时，y＝99π；
当x＝8时，y＝36π．
故圆环面的面积由99πcm2变化到36πcm2．
故答案为：，，
【点睛】本题考查了列函数解析式和求函数值，理解圆环的面积等于大圆面积与小圆面积的差是解决本题的关键．
16．
【分析】本题考查了求自变量的值，将分别代入两个函数解析式，求出自变量的值，然后检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：将代入得，
，解得，不符合题意；
将代入得，
，解得，符合题意；
故答案为：．
17．135
【分析】本题考函数图像的应用，解题的关键是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，长方形的面积公式及应用．通过观察折线统计图可知，点从点移动到点用4秒，点从点移动到点用2秒，点从点移动到点用3秒，根据路程速度×时间，分别求出的距离，根据长方形的面积公式，把数据代入公式求出长方形的面积与长方形的面积差即可．
【详解】解：观察图像可得：
的长：（厘米），
的长：（厘米），
的长：（厘米）
图甲中的图形面积是：（平方厘米）．
答：图中甲的面积是135平方厘米．
故答案为：135．
18．（1）-3、-1或4；（2）y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据函数图像与x轴交点坐标可得；
（2）观察图像可得增减性．
【详解】解：（1）由图示知，当y=0时，x=-3、-1或4．
（2）由图示知，
当-2≤x≤1.5时，y随x的增大而增大．
【点睛】此题主要考查了函数的图象，利用图象得出正确信息是解题关键．
19．(1)散步的时间与离开家的距离
(2)
(3)900
(4)老师离开家后的20分钟内的平均速度为45米/分，返回家一段的平均速度为60米/分
【分析】本题考查一次函数的应用，从图象中获得必要的数学信息、掌握平均速度的求法是解题的关键．
（1）观察图象进行作答即可；
（2）根据出发的时间和回到家所用的时间计算即可；
（3）观察图象进行作答即可；
（4）分别根据平均速度=路程÷时间计算即可；
【详解】（1）解：图象反映了散步的时间与离开家的距离两个变量之间的关系，
故答案为：散步的时间与离开家的距离；
（2）解：老师晚上分从家里出发，经过45分后回到家，则老师晚上回到家
故答案为：；
（3）解：根据图象，老师散步时最远离家900米，
故答案为：900；
（4）解：依题意，（米/分），（米/分）
答：老师离开家后的20分钟内的平均速度为45米/分，返回家一段的平均速度为60米/分．
20．(1)
(2)2小时后，蜡烛的长度为
(3)3小时后蜡烛的长度不足
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是理解题意，然后根据题意求出函数关系式，再利用函数关系式解决实际问题．
（1）由于蜡烛每小时缩短，则函数解析式的，即可求出函数关系式；
（2）根据题意得，解方程即可；
（3）根据题意得，解不等式即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，，
即y与x之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，
即2小时后，蜡烛的长度为；
（3）解：当时，，
解这个不等式得，
所以3小时后蜡烛的长度不足．
21．（1）16，20；（2）线段DE所表示的函数关系式为：s=36t-36()；（3）两人出发后1.5h两人之间的距离是18km．
【分析】（1）由点A，点B，点D表示的实际意义，可求解；
（2）理解点E表示的实际意义，则点E的横坐标为小亮从甲地到乙地的时间，点E纵坐标为小芳这个时间段走的路程，根据D，E的坐标即可求解；
（3）根据1≤1.5≤1.8以及（2）中求得的函数关系式即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：小芳速度，
设小亮速度为xkm/h，
由题意得：1×(16+x)=36，
∴x=20，
答：小亮的速度为20km/h，小芳的速度为16km/h；
故答案为：16，20；
（2）由图象可得：点E表示小亮到了甲地，此时小芳没到，
∴点E的横坐标，
点E的纵坐标，
∴点，
设线段DE所表示的函数关系式为：s=kt+b，
将D（1，0），代入得：
，解得：，
∴线段DE所表示的函数关系式为：s=36t-36，
∵小亮速度较快，
∴相遇后小亮前往甲地的时间为：，
∴自变量的取值范围为：；
（3）∵t=1.5，，
∴t=1.5时，s=36×1.5-36=18（km），
答：两人出发后1.5h两人之间的距离是18km．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．
22．(1)
(2)这一次注射的药液经过1小时后对控制病情开始有效．有效时间持续3.5小时
(3)若病人从6点打第一针．则9点半打第二针，此后每隔2小时30分打一针，算上早上打的第一针，该患者共需打6针
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键在于根据函数图象获取需要的信息．
（1）根据图中信息回答即可；
（2）根据图中信息得到，时，，以及时，，进而即可分析求解；
（3）根据（2）中所得信息，结合要使病人的治疗效果最好进行分析，即可解题．
【详解】（1）解：由图知，注射药液后自变量的取值范围为；
（2）解：由图知，时，，以及时，，（小时），
这一次注射的药液经过1小时后控制病情开始有效，有效时间持续3.5小时．
（3）解：注射的药液经过1小时后控制病情开始有效，有效时间持续3.5小时，且要病人的治疗效果最好，
若病人从6点打第一针．
则9点半打第二针，此后每隔2小时30分打一针，
则12点打第三针，
14点半打第四针，
17点打第五针，
19点半打第六针，
即该患者共需打6针．
23．(1)5；；4
(2)
(3)或
【分析】本题考查动点问题的函数图象，一元一次方程的实际应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
（1）根据a秒时的面积可求a的值，由6.5秒时，点P与点D重合，利用路程速度时间，即可求出k的值，由时间路程速度即可求出b的值；
（2）分为点P速度为每秒和点P速度为每秒，两种情况由路程速度时间，列出关系式即可；
（3）分为点P在上和点P在上，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：根据图象可得：a秒时的面积为12，即，
，
，
；
6.5秒时，点P与点D重合，
；
点P从点D运动到点B的速度为每秒，
，
长方形中，，
；
（2）解：点P速度为每秒时：；
点P速度为每秒时：；
综上，；
（3）解：点P在上时，
当点P加速前：
，
（舍去，不符合题意），
当点P加速后：
，
；
当点P运动到点C时，所需时间为：（秒），
点P在上时，，
，
，
综上，当点出发或时，．
24．(1)1，4，9
(2)6
(3)
【分析】（1）由函数图象可知，当时，点的速度为每秒2个单位，而当时，的面积为8，当时，的面积为12，可列方程，解方程求得；可由求得；当时，点的速度为每秒2单位，而当时，的面积为4，当时，的面积为12，可列方程，解方程求得；
（2）由函数图象可知，当时，的面积不变，可知此时点在边上运动，由点与点重合时，的面积为12得，可求得，所以长方形的长为6；
（3）点在边上时，分两种情况求出关系式即可．
【详解】（1）解：由函数图形可得：当时，点的速度为每秒2个单位，而当时，的面积为8，当时，的面积为12，
∴，解得；
当时，点的速度为每秒m个单位，当时，的面积为8，
∴，解得；
当时，点的速度为每秒2单位，而当时，的面积为4，当时，的面积为12，
∴，解得；
故答案为：1，4，9；
（2）解：由函数图象可知，当时，的面积为定值，
当点从点运动到点时，的面积为12，
，
，
长方形的长为6；
（3）解：当点在边上时，，
当时，如图，，
，
；
当时，，
当时，如图，，
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为．
【点睛】此题考查根据图形的面积求函数关系式以及数形结合与分类讨论数学方法的运用等知识与方法，此题难度较大，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键．
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