中国人民大学附属中学2024-2025学年高一上学期统练三数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京人大附中高一（上）统练三
数 学
一、选择题（共 10 道小题，每题 4 分，共 40 分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案
填在答题纸上）
(0,+ )
1. 下列函数中，既是奇函数又在 上是增函数的是（ ）
1
2 1 3
A. f (x) = x2 B. f (x) = x C. f (x) = D. f (x) = x x
2. 3 a 6 a等于（ ）
A. a B. a C. a D. a
y = ln (x23. 函数 2x)的单调递减区间是（ ）
A. ( ,1) B. (1,+ ) C. ( , 0) D. (2,+ )
4. 已知 a = 20.5，b = 0.50.5， c = log2 0.9 ，则a、b、 c的大小关系为（ ）
A. a b c B. b a c C. b c a D. c b a
5. 函数 f ( x)在区间 1,2 上的图像是连续不断的，则“ f (1) f (2) 0 ”是“函数 f ( x)在区间 (1, 2) 上没有
零点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2x 2 x
6. 函数 y = 的图象大致为（ ）.
x
2
A. B. C. D.
7. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的 AI 算力需求呈指数级增长，现
5 12
有一台计算机每秒能进行 10 次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行 2126 次运算，那么处
4
理这段自然语言的翻译所需时间约为（ ）（参考数据： lg 2 0.301，100.829 6.753）
A. 6.753 1022 秒 B. 6.753 1023秒 C. 6.753 1025 秒 D. 6.753 1021秒
x
8. 已知 f ( x)是在 R上的奇函数，满足 f (x) = f (2 x)，且 x 0,1 时，函数 f (x) = 2 1，函数
g (x) = f (x) loga x(a 1) 恰有 3 个零点，则 a的取值范围是（ ）
第1页/共7页
1 1 1
A. 0, B. , C. (1,5) D. (5,9)
9 9 5
2x , x 1
9. 已知函数 f (x) = ，若 f (x) 在区间 (a,b)上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确
x2 4x, x 1
的是（ ）
A. a有最小值 B. a有最大值
C. b有最小值 D. b有最大值
f (a)+ f x2 + ax +b
10. 已知奇函数 f ( x)在R 上单调递增，对 a 2,2 ( )，关于 x的不等式 0 在
x
x 2,0) (0,2 上有解，则实数b的取值范围为（ ）
A. b 2 或b 1 B. b 6 或b 3
C. 1 b 3 D. b 2或b 3
二、填空题（共 5道小题，每题 5分，共 25分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填
在答题纸上）
2
0 33 11. 3 +8 + lg 6 lg + ln e
2 = _____．
5
12. 函数 f (x) = log (2x 3)+8 a的图象恒过定点 A，且点 A在幂函数 g (x) = x 的图象上，则 f (3) =a
______.
13. 已知正数a,b满足 a 9 b 27 = 3，则3a + 2b的最小值为_____．
x t
14. 已知函数 f (x) = e ， g (x) = x + e， h (x) = max f (x) , g (x) ，其中max a,b 表示 a，b中最
大的数．若 t =1，则 h (0) = ________；若h ( x) e对 x R 恒成立，则 t的取值范围是________．
(2 a) x, x 1,
15. 已知函数 f (x) = （ a 0 且 a 1）.给出下列四个结论：
ax 1 , x 1
①存在实数 a，使得 f ( x)有最小值；
②对任意实数 a（a 0 且 a 1）， f ( x)都不是 R上的减函数；
③存在实数 a，使得 f ( x)的值域为 R；
④若 a 3，则存在 x0 (0,+ )，使得 f (x0 ) = f ( x0 ) .
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题：（共 3道小题，共 35分．请把正确答案填在答题纸上）
1 lg (x 1)
16. 已知全集U = R，集合 A = x 3
x 27 ，函数 f (x) = 的定义域为 B．
9 4 x
第2页/共7页
（1）求 A ( UB)：
（2）已知集合C ={x∣m 1 x 2m + 3}，若 A C = A，求实数m的取值范围．
17. 函数 f (x) =|1 lg x | c，其中 c R．
（1）若c = 0 ，求 f (x) 的零点；
（2）若函数 f (x) 有两个零点 x1, x2 (x1 x2 )，求 4x1 + x2的取值范围．
18. 设函数 f (x) 的定义域为 D，对于区间 I = [a,b](a b, I D) ，若满足以下两条性质之一，则称 I 为
f (x) 的一个“Ω区间”．
性质 1：对任意 x I ，有 f (x) I ；
性质 2：对任意 x I ，有 f (x) I ．
（1）分别判断区间 1,2 是否为下列两函数的“Ω区间”（直接写出结论）；
3
① y = 3 x； ② y = ；
x
（2）若[0,m](m 0) 2是函数 f (x) = x + 2x的“Ω区间”，求 m的取值范围；
（3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数 f (x) 满足：对任意 x1, x2 R，且 x1 x2 ，有
f (x2 ) f (x1 )
1．求证： f (x) 存在“Ω区间”，且存在 x0 R，使得 x0 不属于 f (x) 的所有“Ω区
x2 x1
间”．
第3页/共7页
参考答案
一、选择题（共 10 道小题，每题 4 分，共 40 分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案
填在答题纸上）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D B A C D D A
二、填空题（共 5道小题，每题 5分，共 25分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填
在答题纸上）
2 2 2
3
11. 【答案】因为30 =1，83 = (23 )3 = 2 3 = 22 = 4 ，
3 5 5
lg6 lg = lg 6+ lg = lg 6 =1， ln e
2 = 2ln e = 2 ，
5 3 3
2
3
30 +83

+ lg 6 lg 2 + ln e =1+ 4+1+ 2 = 8，
5
故答案为：8 .
12. 【答案】因为函数 f (x) = loga (2x 3)+8的图象恒过定点 A，
令 2x 3 =1，解得 x = 2 ，则 f (2) = loga1+8 = 8，
所以 A点坐标为 (2,8)，
又点 A在幂函数 g (x) = xa的图象上，所以 2a = 8，解得 a = 3，
所以 f (x) = log3 (2x 3)+8 ，
所以 f (3) = log3 (2 3 3)+8 = 9，
故答案为：9
2 3 2 3
13. 【答案】由题意， +a 9 b 27 = 3a 3b = 3a b = 3，
2 3
所以 + =1.
a b
2 3 9a 4b 9a 4b
所以3a + 2b = (3a + 2b) + = 6+ + + 6 12+ 2 = 24 .
a b b a b a
9a 4b
当且仅当 = 即 a = 4,b = 6时等号成立，此时3a + 2b的最小值为 24.
b a
故答案为：24.
14. 【答案】由已知h (x) x t= max e , x + e ，
若 t =1，则h (0) = max e,e ，所以 h (0) = e ，
第4页/共7页
当 x 0 时， g(x) = x +e e，当 x 0 时， g(x) e，
因为 h(x) = max{ f (x), g(x)} e对 x R 恒成立；
所以当 x 0 时， x te e 恒成立，
所以当 x 0 时， x t 1恒成立，
若 t 0，则当 x = t时， x t =0，矛盾，
当 t 0时，可得 x 1 t恒成立，所以 t 1，
所以 t的取值范围是为 ( , 1)，
故答案为： e， ( , 1) .
0, x 1,
15. 【答案】当 a = 2时， f (x) = x 1 当 x 1时， 2x 1 1，所以 f ( x)有最小值 0，①正确；
2 , x 1
2 a 0 a 2

若 f ( x)是 R上的减函数，则 0 a 1 0 a 1，无解，所以②正确；

2 a a
1 1 =1 a 1
当0 a 1时， y = a x 1单减，且当 x 1时，值域为 (0,1)，而此时 y = (2 a) x单增，最大值为 2 a，
所以函数 f ( x)值域不为 R；
当1 a 2时， y = (2 a) x x 1单增， y = a 单增，若 f ( x)的值域为 R，则 2 a a1 1 =1，所以
a 1，与1 a 2矛盾；所以不存在实数 a，使得 f ( x)的值域为 R；
由①可知，当 a = 2时，函数 f ( x)值域不为 R；当 a 2时， y = (2 a) x单减，最小值为 2 a，
y = a x 1单增，且 a x 1 1，所以函数 f ( x)值域不为 R，综上③错误；
又 y = (2 a) x关于 y轴的对称函数为 y = (a 2) x，若 a 3，则a 2 1= a1 1 =1，但指数函数
y = a x 1的增长速度快于函数 y = (a 2) x的增长速度，所以必存在 x0 (1,+ )，使得
( ) x0 1a 2 x0 = a ，即 f (x0 ) = f ( x0 )成立，所以④正确.
故答案为：①②④
三、解答题：（共 3道小题，共 35分．请把正确答案填在答题纸上）
16. 【答案】（1）
1 x
解不等式 3 27，即3 2 3x 33 ，解得 2 x 3，得 A = 2,3
9
lg (x 1) x 1 0
对于函数 f (x) = ，有 ，解得1 x 4，则B = (1,4)
4 x 4 x 0
UB = ( ,1 4,+ )，则 A ( UB) = ( ,3 4,+ )；
第5页/共7页
（2）
因为 A C = A，所以C A，
当C = 时，m 1 2m + 3，得到m 4，符合题意，
m 1 2m + 3

当C 时， 2 m 1 ，解得 1 m 0

2m + 3 3
综上所述，实数m的取值范围是 ( , 4) 1,0 .
17. 【答案】（1）
当 c = 0时， f (x) =|1 lg x |，令 f (x) = 0 ，则 lgx 1，故 x =10 ，
所以 f (x) 的零点为 x =10 .
（2）
令 f (x) =|1 lg x | c=0，则 |1 lg x |= c， (c 0)，故1 lg x = c，
c+1 c+1 c+1
由于 x1 x2 ，所以 x1 =10 , x2 =10 ，因此4x1 + x2 = 4 10 +10
c+1=40 10 c +10 10c，由于
10 c 0,10c 0 ，由基本不等式可得4x1 + x
c c
2 =40 10 +10 10 2 40 10
c 10 10c =40，当且仅
当 40 10 c=10 10c，即 c = lg 2时取等号，故 4x1 + x2 40，
所以 4x1 + x2的取值范围为 40，
18. 【答案】（1）
对①，当 x [1,2]， y = 3 x [1, 2]，满足性质 1， 1,2 是函数的“Ω区间”，
3
对②，当 x =1时， y = 3 [1, 2]，当 x = 2 时， y = [1,2]，故不满足性质 1,2，
2
1,2 不是函数的“Ω区间”.
（2）
记 I = [0,m](m 0)， S ={ f (x) | x I}，注意到 f (0) = 0 [0,m] ，
因此，若 I 为函数 f (x) 的“Ω区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即 S I .
f (x) = x2 + 2x = (x 1)2 +1.
当0 m 1时， f (x) 在 I 上单调递增，且 f (m) m = m(m 1) 0 ，
所以 S = [0, f (m)]不包含于 I = [0,m]，不合题意；
当1 m 2时， S = [ f (0) , f (1) ] = 0,1 0,m = I，符合题意；
当m 2 时， f (m) f (2) = f (0) = 0 ，所以 f (m) I ，不合题意.
综上，m [1, 2] .
（3）
第6页/共7页
对于任意区间 I = [a,b](a b)，记 S ={ f (x) | x I}，
依题意， f (x) 在 I 上单调递减，则 S = [ f (b), f (a)] .
f (b) f (a)
因为 1，所以 f (a) f (b) b a，
b a
即 S的长度大于 I 的长度，故不满足性质①.
因此，如果 I 为 f (x) 的“Q 区间”，只能满足性质②，即 S I = ，
即只需存在 a R 使得 f (a) a，或存在b R 使得 f (b) b .
因为 f (x) = x不恒成立，所以上述条件满足，所以 f (x) 一定存在“Q 区间" .
记 g(x) = f (x) x，先证明函数 g(x) 有唯一零点；
因为 f (x) 在R 上单调递减，所以 g(x) 在R 上单调递减.
若 f (0) = 0，则 x0 = 0为 g(x) 的唯一零点；
若 f (0) = t 0，则 f (t) f (0) = t，即 g(0) 0, g(t) 0 ，
由零点存在定理，结合 g(x) 单调性，可知存在唯一 x0 (0, t) ，使得 g(x0 ) = 0 ；
若 f (0) = t 0 ，则 f (t) f (0) = t，即 g(0) 0, g(t) 0 ，
由零点存在定理，结合 g(x) 单调性，可知存在唯一 x0 (t,0) ，使得 g(x0 ) = 0 ；
综上，函数 g(x) 有唯一零点 x0 ，即 f (x0 ) = x0 ，
已证 f (x) 的所有“Q 区间” I 都满足条件②，所以 x0 I .
第7页/共7页