沪科版九年级数学下册24.3.2圆内接四边形测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学下册24.3.2圆内接四边形测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 297.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-10 21:55:44 | ||
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文档简介
沪科版九年级数学下册24.3.2《圆内接四边形》测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2016 兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
2．（2016 聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
3．（2016 黄冈校级自主招生）如图，MN是⊙O的直径，若∠E=25°，∠PMQ=35°，则∠MQP=（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．50°
4．（2016 株洲模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80°
B．100°
C．60°
D．40°
5．（2016 微山县校级一模）在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于（ ）
A．67.5°
B．135°
C．112.5°
D．45°
6．（2016 河南模拟）如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=120°，则∠ABC的度数是（ ）
A．100°
B．120°
C．140°
D．110°
7．（2016 宁波二模）已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠A比∠C的2倍小30°，则∠C的度数是（ ）
A．50°
B．70°
C．80°
D．90°
8．（2016 南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．AB=AE
B．AB=BE
C．AE=BE
D．AB=AC
9．（2016 黄石二模）如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等，若∠ABC=30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
10．（2015 温州模拟）在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（ ）
A．1：2：3：4
B．4：2：1：3
C．4：2：3：1
D．1：3：2：4
二．填空题（共4小题）
11．（2016 娄底）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是 ．
12．（2016 吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）．
13．（2016 东丽区二模）四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= ．
14．（2016 洛阳模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A= °．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长．
16．（2016 上城区二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
17．（2016 盐田区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．
18．（2016 汉阳区模拟）如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD=，sin∠ABC=
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD=DF时，求CE的长．
19．（2015 佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
20．（2015 黄冈中学自主招生）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．
求证：（1）M为BD的中点；
（2）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
2．（2016 聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵=，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
3．（2016 黄冈校级自主招生）如图，MN是⊙O的直径，若∠E=25°，∠PMQ=35°，则∠MQP=（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．50°
【分析】连接PO、QO，根据圆周角定理，得∠POQ=2∠PMQ=70°，则∠OPQ=∠OQP=55°，则∠POM=80°，再根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：连接PO、QO．
根据圆周角定理，得
∠POQ=2∠PMQ=70°，
又OP=OQ，
则∠OPQ=∠OQP=55°，
则∠POM=∠E+∠OPE=80°，
所以∠PQM=∠POM=40°．
故选C．
【点评】此题综合运用了圆周角定理、等边对等角、三角形的外角的性质．
4．（2016 株洲模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80°
B．100°
C．60°
D．40°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数，根据圆周角定理得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°﹣130°=50°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．（2016 微山县校级一模）在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于（ ）
A．67.5°
B．135°
C．112.5°
D．45°
【分析】根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形，得出∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，设∠A=2a，∠B=3a，∠C=6a，得出2a+6a=180°，求出a的值，求出∠B的度数，即可求出答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∵∠A：∠B：∠C=2：3：6，
设∠A=2a，∠B=3a，∠C=6a，
则2a+6a=180°，
∴a=22.5°，
∴∠B=3a=67.5°，
∴∠D=180°﹣∠B=112.5°．
故选C．
【点评】本题考查了对圆内接四边形的性质的运用，关键是得出关于a的方程，题目是一道具有代表性的题目，主要培养学生的计算能力．
6．（2016 河南模拟）如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=120°，则∠ABC的度数是（ ）
A．100°
B．120°
C．140°
D．110°
【分析】先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，且∠AOC=120°，
∴∠ADC=∠AOC=60°，
∴∠ABC=180°﹣∠ADC=180°﹣6°=120°，
故选B．
【点评】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
7．（2016 宁波二模）已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠A比∠C的2倍小30°，则∠C的度数是（ ）
A．50°
B．70°
C．80°
D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=180°，根据题意列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，又∠A=2∠C﹣30°，
∴∠C=70°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2016 南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．AB=AE
B．AB=BE
C．AE=BE
D．AB=AC
【分析】只要证明∠ECB=∠BAE，∠ECD=∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．
【解答】解：连接EC．
∵EC平分∠BCD，
∴∠ECB=∠ECD，
∵∠ECB=∠BAE，∠ECD=∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴EA=EB．
故选C．
【点评】本题考查圆的有关性质、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
9．（2016 黄石二模）如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等，若∠ABC=30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
【解答】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=150°，
故选A
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
10．（2015 温州模拟）在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（ ）
A．1：2：3：4
B．4：2：1：3
C．4：2：3：1
D．1：3：2：4
【分析】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．
【解答】解：∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：2：1：3．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．（2016 娄底）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是 ．
【分析】由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
又∵∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°．
∴AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
【点评】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、平行线的判定，求得∠A+∠D=180°是解题的关键．
12．（2016 吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）．
【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，根据圆周角定理求出∠DOB的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB．
【解答】解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，
∴∠DCB=180°﹣130°=50°，
由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100°，
∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即50°＜∠BPD＜100°，
∴∠BPD可能为80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．（2016 东丽区二模）四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= ．
【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求解．
【解答】解：如图
∵弧BAD的度数为140°，
∴∠BOD=140°，
∴∠BCD=∠BOD=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．
同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°
故答案为：130°或50°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．
14．（2016 洛阳模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A= °．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=180°﹣∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD=180°﹣∠A，
∵∠CBF=∠A+∠E，∠DCB=∠CBF+∠F，
∴180°﹣∠A=∠A+∠E+∠F，即180°﹣∠A=∠A+40°+60°，
解得∠A=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长．
【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；
（2）根据弧长公式计算．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴=，
∵M为中点，
∴=，
∴+=+，即=，
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∴的长=×4π=π．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
16．（2016 上城区二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
【分析】（1）根据已知和三角形内角和定理求出∠CBF的度数；
（2）设∠CFD=α，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理求出∠CDF=90°，得到答案．
【解答】解：（1）∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，
∴∠ABD=∠FBC，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠CBF=∠BCF，
∵∠BFC=2∠DFC=80°，
∴∠CBF==50°；
（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，
又∵AB=AD，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，
∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，理解圆内接四边形的对角互补、一个外角等于它的内对角是解题的关键．
17．（2016 盐田区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，根据等腰三角形的性质得到∠DCE=∠DEC，等量代换证明结论；
（2）根据垂径定理得到OE是CD的垂直平分线，根据题意证明△DEC为等边三角形，证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵DC⊥OE，
∴DF=CF，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，又DE=DC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB，
∴△ABE是等边三角形．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和垂径定理的应用，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
18．（2016 汉阳区模拟）如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD=，sin∠ABC=
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD=DF时，求CE的长．
【分析】（1）由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠GBD，从而得出△ADB≌△GDB求出AG，最后用勾股定理即可；
（2）先求出AC，BC，CD，DF，BF，根据勾股定理求出CG，FG，从而求出CF，最后用相交弦定理即可．
【解答】解：（1）如图1，延长AD、BC交于G点，过G点作GH⊥AB于H，
∵⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠GBD，
在△ADB和△GDB中
∵，
∴△ADB≌△GDB（ASA），
∴AD=DG=2，AB=BG，
∴AG=，
设GH=4x，∵sin∠ABC=，
∴BG=BA=5x，
∴BH=3x，AH=2x，
∴（2x）2+（4x）2=（4）2
解得：x=2
∴半径为5；
（2）如图2，
过点C作CG⊥BD，在Rt△ADB中，BD==4，
∴cos∠ABD==，
在Rt△ABC中，AB=10，
∴sin∠ABC==，
∴AC=8，∴BC=6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=CD=2，
∵CD=DF，
∴DF=2，
在Rt△CBG中，cos∠ABD=cos∠CBG==，
∴BG=，
∴GF=，CG=
∴根据勾股定理，FC==2，
根据相交弦定理得，DF×BF=EF×CF，
∴EF==5，
∴CE=．
【点评】此题是圆内接四边形，蛀牙考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相交弦定理，解本题的关键是FC，作辅助线是解本题的难点．
19．（2015 佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．
【解答】解：（1）∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°﹣42°=48°；
（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°﹣．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
20．（2015 黄冈中学自主招生）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．
求证：（1）M为BD的中点；
（2）．
【分析】（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；
（2）欲证，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．
【解答】证明：
（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．
又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，
∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．
∴△BAM∽△CBM，
∴，即BM2=AM CM．①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
∴△DAM∽△CDM，
则，即DM2=AM CM．②
由式①、②得BM=DM，
即M为BD的中点．
（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．
∵PC∥BD，
∴．③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠MCP．
而∠ABC=∠APC，
则∠APC=∠MCP，
有MP=CM．④
由式③、④得．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．
一．选择题（共10小题）
1．（2016 兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
2．（2016 聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
3．（2016 黄冈校级自主招生）如图，MN是⊙O的直径，若∠E=25°，∠PMQ=35°，则∠MQP=（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．50°
4．（2016 株洲模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80°
B．100°
C．60°
D．40°
5．（2016 微山县校级一模）在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于（ ）
A．67.5°
B．135°
C．112.5°
D．45°
6．（2016 河南模拟）如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=120°，则∠ABC的度数是（ ）
A．100°
B．120°
C．140°
D．110°
7．（2016 宁波二模）已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠A比∠C的2倍小30°，则∠C的度数是（ ）
A．50°
B．70°
C．80°
D．90°
8．（2016 南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．AB=AE
B．AB=BE
C．AE=BE
D．AB=AC
9．（2016 黄石二模）如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等，若∠ABC=30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
10．（2015 温州模拟）在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（ ）
A．1：2：3：4
B．4：2：1：3
C．4：2：3：1
D．1：3：2：4
二．填空题（共4小题）
11．（2016 娄底）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是 ．
12．（2016 吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）．
13．（2016 东丽区二模）四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= ．
14．（2016 洛阳模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A= °．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长．
16．（2016 上城区二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
17．（2016 盐田区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．
18．（2016 汉阳区模拟）如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD=，sin∠ABC=
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD=DF时，求CE的长．
19．（2015 佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
20．（2015 黄冈中学自主招生）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．
求证：（1）M为BD的中点；
（2）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
2．（2016 聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵=，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
3．（2016 黄冈校级自主招生）如图，MN是⊙O的直径，若∠E=25°，∠PMQ=35°，则∠MQP=（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．50°
【分析】连接PO、QO，根据圆周角定理，得∠POQ=2∠PMQ=70°，则∠OPQ=∠OQP=55°，则∠POM=80°，再根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：连接PO、QO．
根据圆周角定理，得
∠POQ=2∠PMQ=70°，
又OP=OQ，
则∠OPQ=∠OQP=55°，
则∠POM=∠E+∠OPE=80°，
所以∠PQM=∠POM=40°．
故选C．
【点评】此题综合运用了圆周角定理、等边对等角、三角形的外角的性质．
4．（2016 株洲模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80°
B．100°
C．60°
D．40°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数，根据圆周角定理得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°﹣130°=50°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．（2016 微山县校级一模）在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于（ ）
A．67.5°
B．135°
C．112.5°
D．45°
【分析】根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形，得出∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，设∠A=2a，∠B=3a，∠C=6a，得出2a+6a=180°，求出a的值，求出∠B的度数，即可求出答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∵∠A：∠B：∠C=2：3：6，
设∠A=2a，∠B=3a，∠C=6a，
则2a+6a=180°，
∴a=22.5°，
∴∠B=3a=67.5°，
∴∠D=180°﹣∠B=112.5°．
故选C．
【点评】本题考查了对圆内接四边形的性质的运用，关键是得出关于a的方程，题目是一道具有代表性的题目，主要培养学生的计算能力．
6．（2016 河南模拟）如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=120°，则∠ABC的度数是（ ）
A．100°
B．120°
C．140°
D．110°
【分析】先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，且∠AOC=120°，
∴∠ADC=∠AOC=60°，
∴∠ABC=180°﹣∠ADC=180°﹣6°=120°，
故选B．
【点评】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
7．（2016 宁波二模）已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠A比∠C的2倍小30°，则∠C的度数是（ ）
A．50°
B．70°
C．80°
D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=180°，根据题意列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，又∠A=2∠C﹣30°，
∴∠C=70°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2016 南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．AB=AE
B．AB=BE
C．AE=BE
D．AB=AC
【分析】只要证明∠ECB=∠BAE，∠ECD=∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．
【解答】解：连接EC．
∵EC平分∠BCD，
∴∠ECB=∠ECD，
∵∠ECB=∠BAE，∠ECD=∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴EA=EB．
故选C．
【点评】本题考查圆的有关性质、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
9．（2016 黄石二模）如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等，若∠ABC=30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
【解答】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=150°，
故选A
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
10．（2015 温州模拟）在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（ ）
A．1：2：3：4
B．4：2：1：3
C．4：2：3：1
D．1：3：2：4
【分析】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．
【解答】解：∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：2：1：3．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．（2016 娄底）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是 ．
【分析】由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
又∵∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°．
∴AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
【点评】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、平行线的判定，求得∠A+∠D=180°是解题的关键．
12．（2016 吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）．
【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，根据圆周角定理求出∠DOB的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB．
【解答】解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，
∴∠DCB=180°﹣130°=50°，
由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100°，
∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即50°＜∠BPD＜100°，
∴∠BPD可能为80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．（2016 东丽区二模）四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= ．
【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求解．
【解答】解：如图
∵弧BAD的度数为140°，
∴∠BOD=140°，
∴∠BCD=∠BOD=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．
同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°
故答案为：130°或50°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．
14．（2016 洛阳模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A= °．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=180°﹣∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD=180°﹣∠A，
∵∠CBF=∠A+∠E，∠DCB=∠CBF+∠F，
∴180°﹣∠A=∠A+∠E+∠F，即180°﹣∠A=∠A+40°+60°，
解得∠A=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长．
【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；
（2）根据弧长公式计算．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴=，
∵M为中点，
∴=，
∴+=+，即=，
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∴的长=×4π=π．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
16．（2016 上城区二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
【分析】（1）根据已知和三角形内角和定理求出∠CBF的度数；
（2）设∠CFD=α，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理求出∠CDF=90°，得到答案．
【解答】解：（1）∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，
∴∠ABD=∠FBC，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠CBF=∠BCF，
∵∠BFC=2∠DFC=80°，
∴∠CBF==50°；
（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，
又∵AB=AD，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，
∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，理解圆内接四边形的对角互补、一个外角等于它的内对角是解题的关键．
17．（2016 盐田区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，根据等腰三角形的性质得到∠DCE=∠DEC，等量代换证明结论；
（2）根据垂径定理得到OE是CD的垂直平分线，根据题意证明△DEC为等边三角形，证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵DC⊥OE，
∴DF=CF，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，又DE=DC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB，
∴△ABE是等边三角形．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和垂径定理的应用，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
18．（2016 汉阳区模拟）如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD=，sin∠ABC=
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD=DF时，求CE的长．
【分析】（1）由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠GBD，从而得出△ADB≌△GDB求出AG，最后用勾股定理即可；
（2）先求出AC，BC，CD，DF，BF，根据勾股定理求出CG，FG，从而求出CF，最后用相交弦定理即可．
【解答】解：（1）如图1，延长AD、BC交于G点，过G点作GH⊥AB于H，
∵⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠GBD，
在△ADB和△GDB中
∵，
∴△ADB≌△GDB（ASA），
∴AD=DG=2，AB=BG，
∴AG=，
设GH=4x，∵sin∠ABC=，
∴BG=BA=5x，
∴BH=3x，AH=2x，
∴（2x）2+（4x）2=（4）2
解得：x=2
∴半径为5；
（2）如图2，
过点C作CG⊥BD，在Rt△ADB中，BD==4，
∴cos∠ABD==，
在Rt△ABC中，AB=10，
∴sin∠ABC==，
∴AC=8，∴BC=6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=CD=2，
∵CD=DF，
∴DF=2，
在Rt△CBG中，cos∠ABD=cos∠CBG==，
∴BG=，
∴GF=，CG=
∴根据勾股定理，FC==2，
根据相交弦定理得，DF×BF=EF×CF，
∴EF==5，
∴CE=．
【点评】此题是圆内接四边形，蛀牙考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相交弦定理，解本题的关键是FC，作辅助线是解本题的难点．
19．（2015 佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．
【解答】解：（1）∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°﹣42°=48°；
（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°﹣．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
20．（2015 黄冈中学自主招生）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．
求证：（1）M为BD的中点；
（2）．
【分析】（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；
（2）欲证，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．
【解答】证明：
（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．
又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，
∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．
∴△BAM∽△CBM，
∴，即BM2=AM CM．①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
∴△DAM∽△CDM，
则，即DM2=AM CM．②
由式①、②得BM=DM，
即M为BD的中点．
（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．
∵PC∥BD，
∴．③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠MCP．
而∠ABC=∠APC，
则∠APC=∠MCP，
有MP=CM．④
由式③、④得．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．