甘肃省定西市渭源县第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·渭源期中）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，的中点为，
所以，线段的垂直平分线的方程为，即.
故答案为：A.
【分析】根据两点求斜率公式和中点坐标公式以及两直线垂直斜率之积等于-1，再结合直线的点斜式方程转化成直线的一般式方程的方法，从而得出线段的垂直平分线的方程.
2．（2025高二上·渭源期中）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：直线方程可化为，
则，
解得，
所以直线恒过点，设为点，此时为点到直线的最大距离，且，
由斜率关系，
可得.
故答案为：B.
【分析】先求出直线所过定点的坐标，从而得到最大距离时，再由两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出实数的值.
3．（2025高二上·渭源期中）方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：将方程化简得，
要使得该方程表示圆，则，
解得.
故答案为：C.
【分析】将已知圆的方程转化为圆的标准方程，再利用圆的判断方法，从而得出实数k的取值范围.
4．（2025高二上·渭源期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：对于A，假设，即，
则，显然无实数解，
所以与向量不共面，故A错误；
对于B，因为，
所以共面，故B正确；
对于C，假设，即，
则，显然无实数解，
所以与向量不共面，故C错误；
对于D，假设，即，
则，显然无实数解，
所以与向量不共面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据共面向量定理，从而逐项判断找出与向量共面的向量.
5．（2025高二上·渭源期中）在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共面向量定理
6．（2025高二上·渭源期中）若，，，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，在上的投影向量的模为：
.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量的坐标运算得出向量的坐标，再利用数量积的坐标运算得出和，再代入投影向量公式求解得出在上的投影向量的模.
7．（2025高二上·渭源期中）在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
所以，
所以，
异面直线与所成角为90°，其余弦值为0.
故答案为：C.
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出直线与直线方向向量的坐标，代入异面直线所成的角的公式，可求得异面直线与所成角的余弦值及其夹角.
8．（2025高二上·渭源期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：因为平面的方程为，
所以，其法向量为，且直线的方程为，
则其方向向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
可得，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：D.
【分析】根据题中给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，再利用数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出直线与平面所成角的余弦值.
9．（2025高二上·渭源期中）如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．异面直线所成角的余弦值为
C．
D．若四点共面，则点是线段的中点
【答案】B,C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
取FC中点为M，因为点是三角形的重心，
所以，
则
，
所以
，
所以
，
所以，故A错误；
因为，所以异面直线所成角即为所成角，
又因为，
所以，
则所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确；
因为
，
所以，则，故C正确；
因为，又因为四点共面，
所以，
则，所以点是线段的中点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】用基底表示出，再结合数量积求向量的模的公式，从而得出AP的长，则判断出选项A；由基底法和数量积求向量夹角公式得出的值，再结合异面直线所成角定义，从而求解判断出选项B；由基底法和数量积的运算律以及两向量垂直数量积为0的等价关系，则判断出选项C；用基底表示，再由共面定理求出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高二上·渭源期中）下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．相反向量就是方向相反的向量
C．零向量不能作为任意直线的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的概念
【解析】【解答】解：对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确；
对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误；
对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量，
所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确；
对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据零向量概念可判断选项A；根据相反向量概念可判断选项B；根据直线的方向向量与零向量可判断选项C；根据相等向量概念可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高二上·渭源期中）下列说法正确的是（ ）
A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
D．过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程是
【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的截距式方程；直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，由两直线垂直，得：，
解得或，
所以，“或”是“”的必要不充分条件，故选项A错误；
对于B，由，得：，则直线斜率，
∵，∴，则，
∵，∴倾斜角的取值范围是，故选项B正确；
对于C，因为到点距离为的点在圆上，由题意，得，
所以，圆与圆有两个公共点，
则两圆相交，∵圆心距，
∴，∴，即的取值范围是，故选项C正确；
对于D：当截距为0时，设直线方程为，又因为直线过点，
可得，所以直线方程为；
当截距不为0时，设直线方程为，又因为直线过点，
可得，所以直线方程为，
则过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程为或，故D错误.
故答案为：BC。
【分析】利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出的值，再结合充分条件、必要条件的判断方法，则可判断选项A；根据直线的斜率为计算出斜率的取值范围，从而推出直线倾斜角的取值范围，则判断出选项B；将问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系判断出选项C；分截距是否为0两种情况求解可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高二上·渭源期中）已知直线与直线互相垂直，则的值是 ．
【答案】2
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：将直线化为一般式方程为，
因为直线与直线互相垂直，
所以，解得.
故答案为：2.
【分析】根据两直线垂直的充要条件，从而列方程求解得出实数a的值.
13．（2025高二上·渭源期中）已知，且，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为，半径为，
则与之间的距离为，
所以点与圆上任意一点的最大距离为，
又因为表示圆上点到原点距离的平方与11的差，
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】先求出与之间的距离，再将问题转化为定点到圆上任意一点的距离的最大值，从而得出的最大值.
14．（2025高二上·渭源期中）如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：三棱柱是直三棱柱，，
，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，
，分别是的中点，令，
则，
，
，
与所成角的余弦值为．
故答案为：．
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，再利用直三棱柱的性质得出相关点的坐标，从而得出的坐标，再利用数量积求向量夹角的余弦公式，从而求解得出与所成角的余弦值．
15．（2025高二上·渭源期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上.
（1）求圆C的方程；
（2）求直线被圆C所截得的弦长.
【答案】（1）解：法一：设圆C的方程为，
依题意，得
解得，，.
所以圆C的方程为.
法二：设线段的垂直平分线为直线m，
则点C既在直线m上，又在直线上，
因为的中点为，即（2，2），
所以，直线的斜率为，
则直线m的斜率为-1.
所以直线m的方程为，即，
联立，
解得，
所以点C坐标为.
又因为圆的半径为，
所以圆C的方程为.
（2）解：因为圆心到直线的距离为：
，
设直线与圆C交于M，N两点，
由垂径定理，得弦长.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
法一：设圆的标准方程，结合点，在圆上，从而列出等式求解得出圆C的标准方程.
法二，易知圆心在上，从而得出中垂线方程，再联立两直线方程可得圆心坐标，从而可得圆的标准方程.
（2）由点到直线的距离公式和弦长公式，从而得出直线被圆C所截得的弦长.
（1）法一：设圆C的方程为，
依题意得，
解得，，.
所以圆C的方程为.
法二：
设线段的垂直平分线为直线m，
则C既在直线m上，又在直线上.
因为的中点为即（2，2），
直线的斜率为，
所以直线m的斜率为-1.
所以直线m的方程为，
即.
联立，解得.
所以点C坐标为.
又因为圆的半径为，
所以圆C的方程为.
（2）因为圆心到直线的距离
设直线与圆C交于M，N两点，
由垂径定理得，弦长.
16．（2025高二上·渭源期中）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为.
（1）求外接圆的标准方程；
（2）若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程.
【答案】（1）解：因为线段的垂直平分线为：，
即，
由，即，
又因为，
所以外接圆方程为.
（2）解：如图：
因为直线与圆相交截得弦长为8，
所以圆心到直线的距离为：，
若直线斜率不存在，
则直线方程为：，
又因为点到直线的距离为3，
所以满足题意；
若直线斜率存在，可设直线的方程为，即，
由，此时直线方程为：，
综上可得，直线的方程为：或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）先得到线段的垂直平分线的方程，与线段的垂直平分线联立，从而可得外接圆圆心的坐标，再利用两点间的距离公式得出圆的半径，从而可得所求三角形外接圆的方程.
（2）先利用几何法确定圆心到直线的距离，分直线的斜率不存在和存在两种情况，再利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，从而得出直线l的方程.
（1）线段的垂直平分线为：，即.
由，即.
又.
所以外接圆方程为
（2）如图：
因为直线与圆相交截得弦长为8，所以圆心到直线的距离为：.
若直线斜率不存在，则方程为：，点到直线的距离为3，故满足题意；
若直线斜率存在，可设直线的方程为，即.
由，此时直线方程为：.
综上直线的方程为：或.
17．（2025高二上·渭源期中）如图，在三棱锥中，分别是的中点．求
（1），用表示
（2）求异面直线所成角的余弦值．
【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为是的中点，
所以.
（2）解：连接，取的中点，连接，
则，
是异面直线，所成的角，
因为分别是的中点，
所以，
，，
又，
，
，
异面直线，所成的角的余弦值为．
【知识点】异面直线所成的角；空间向量基本定理
【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理和中点的性质，从而用表示.
（2）连接，取的中点，连接，从而推导出异面直线，所成角就是，再利用余弦定理得出异面直线所成角的余弦值．
（1）因为，所以，
因为是的中点，
所以；
（2）
连接，取的中点，连接，
则，是异面直线，所成的角，
因为分别是的中点，
所以，，，
又，，
，
异面直线，所成的角的余弦值为．
18．（2025高二上·渭源期中）如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为底面，平面，
所以，
又因为又底面为矩形，所以，
因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，，
所以平面.
（2）解：由（1）知，平面，垂足为，
所以即为与平面所成的角，
由，，得，
在中，，，
所以，
则.
由，得，
由，得，
以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
因为为中点，
所以，且，.
设平面的法向量为，
则，可取.
由（1）可知，平面的法向量可取，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和线面垂直的判定定理，从而证出平面.
（2）由（1）知，平面，垂足为，则即为与平面所成的角，利用直角三角形中垂直关系和勾股定理，从而建立空间直角坐标系，再利用已知条件确定的长，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）因为底面，平面，所以.
又底面为矩形，所以.
因为平面，，所以平面.
又平面，所以.
又，为的中点，所以.
因为平面，，所以平面.
又平面，所以.
又，平面，，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，垂足为.
所以即为与平面所成的角.
由，，所以.
在中，，，所以，
所以.
由，所以.
由，所以.
以为原点，建立如图空间直角坐标系：
则，，，，，
因为为中点，所以.
且，.
设平面的法向量为，
则，可取.
由（1）可知，平面的法向量可取.
设平面与平面所成的角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
19．（2025高二上·渭源期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：取的中点E，连接，
因为M是的中点，
所以且，
又因为且，
所以且，
则四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：由题意，得平面且，
则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
又因为，是的中点，
所以，
显然平面的一个法向量为，
设平面PCD的一个法向量为，，
所以，
令，则，
则，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
（3）解：设且，，
则，，，
设平面PAQ的法向量为，
则，
令，所以，
因为点D到平面的距离为，又因为，
所以，
则，
所以，
解得，
所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点E，连接，根据已知条件证出，再由线面平行的判定定理证出平面.
（2）构建合适的空间直角坐标系，从而求出相关点的坐标和相关平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值.
（3）根据，设且，由点到平面距离的向量求解方法，从而列出方程得出的值，从而得出存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时.
（1）取的中点E，连接，因为M是的中点，所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）由题意平面且，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
又因为，是的中点，
所以，显然平面的一个法向量为，
设平面PCD的一个法向量为，，
所以，令，则，
所以，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为；
（3）设且，，
则，，，
设平面PAQ的法向量为，则，
令，所以，又点D到平面的距离为，
又，所以，
所以，则，解得，
所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时.
1 / 1甘肃省定西市渭源县第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·渭源期中）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2025高二上·渭源期中）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（ ）
A． B． C． D．2
3．（2025高二上·渭源期中）方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·渭源期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·渭源期中）在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·渭源期中）若，，，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·渭源期中）在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C．0 D．1
8．（2025高二上·渭源期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·渭源期中）如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．异面直线所成角的余弦值为
C．
D．若四点共面，则点是线段的中点
10．（2025高二上·渭源期中）下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．相反向量就是方向相反的向量
C．零向量不能作为任意直线的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
11．（2025高二上·渭源期中）下列说法正确的是（ ）
A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
D．过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程是
12．（2025高二上·渭源期中）已知直线与直线互相垂直，则的值是 ．
13．（2025高二上·渭源期中）已知，且，则的最大值为 .
14．（2025高二上·渭源期中）如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为 ．
15．（2025高二上·渭源期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上.
（1）求圆C的方程；
（2）求直线被圆C所截得的弦长.
16．（2025高二上·渭源期中）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为.
（1）求外接圆的标准方程；
（2）若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程.
17．（2025高二上·渭源期中）如图，在三棱锥中，分别是的中点．求
（1），用表示
（2）求异面直线所成角的余弦值．
18．（2025高二上·渭源期中）如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
19．（2025高二上·渭源期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，的中点为，
所以，线段的垂直平分线的方程为，即.
故答案为：A.
【分析】根据两点求斜率公式和中点坐标公式以及两直线垂直斜率之积等于-1，再结合直线的点斜式方程转化成直线的一般式方程的方法，从而得出线段的垂直平分线的方程.
2．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：直线方程可化为，
则，
解得，
所以直线恒过点，设为点，此时为点到直线的最大距离，且，
由斜率关系，
可得.
故答案为：B.
【分析】先求出直线所过定点的坐标，从而得到最大距离时，再由两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出实数的值.
3．【答案】C
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：将方程化简得，
要使得该方程表示圆，则，
解得.
故答案为：C.
【分析】将已知圆的方程转化为圆的标准方程，再利用圆的判断方法，从而得出实数k的取值范围.
4．【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：对于A，假设，即，
则，显然无实数解，
所以与向量不共面，故A错误；
对于B，因为，
所以共面，故B正确；
对于C，假设，即，
则，显然无实数解，
所以与向量不共面，故C错误；
对于D，假设，即，
则，显然无实数解，
所以与向量不共面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据共面向量定理，从而逐项判断找出与向量共面的向量.
5．【答案】D
【知识点】共面向量定理
6．【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，在上的投影向量的模为：
.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量的坐标运算得出向量的坐标，再利用数量积的坐标运算得出和，再代入投影向量公式求解得出在上的投影向量的模.
7．【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
所以，
所以，
异面直线与所成角为90°，其余弦值为0.
故答案为：C.
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出直线与直线方向向量的坐标，代入异面直线所成的角的公式，可求得异面直线与所成角的余弦值及其夹角.
8．【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：因为平面的方程为，
所以，其法向量为，且直线的方程为，
则其方向向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
可得，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：D.
【分析】根据题中给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，再利用数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出直线与平面所成角的余弦值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
取FC中点为M，因为点是三角形的重心，
所以，
则
，
所以
，
所以
，
所以，故A错误；
因为，所以异面直线所成角即为所成角，
又因为，
所以，
则所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确；
因为
，
所以，则，故C正确；
因为，又因为四点共面，
所以，
则，所以点是线段的中点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】用基底表示出，再结合数量积求向量的模的公式，从而得出AP的长，则判断出选项A；由基底法和数量积求向量夹角公式得出的值，再结合异面直线所成角定义，从而求解判断出选项B；由基底法和数量积的运算律以及两向量垂直数量积为0的等价关系，则判断出选项C；用基底表示，再由共面定理求出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的概念
【解析】【解答】解：对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确；
对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误；
对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量，
所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确；
对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据零向量概念可判断选项A；根据相反向量概念可判断选项B；根据直线的方向向量与零向量可判断选项C；根据相等向量概念可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的截距式方程；直线的一般式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，由两直线垂直，得：，
解得或，
所以，“或”是“”的必要不充分条件，故选项A错误；
对于B，由，得：，则直线斜率，
∵，∴，则，
∵，∴倾斜角的取值范围是，故选项B正确；
对于C，因为到点距离为的点在圆上，由题意，得，
所以，圆与圆有两个公共点，
则两圆相交，∵圆心距，
∴，∴，即的取值范围是，故选项C正确；
对于D：当截距为0时，设直线方程为，又因为直线过点，
可得，所以直线方程为；
当截距不为0时，设直线方程为，又因为直线过点，
可得，所以直线方程为，
则过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程为或，故D错误.
故答案为：BC。
【分析】利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出的值，再结合充分条件、必要条件的判断方法，则可判断选项A；根据直线的斜率为计算出斜率的取值范围，从而推出直线倾斜角的取值范围，则判断出选项B；将问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系判断出选项C；分截距是否为0两种情况求解可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】2
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：将直线化为一般式方程为，
因为直线与直线互相垂直，
所以，解得.
故答案为：2.
【分析】根据两直线垂直的充要条件，从而列方程求解得出实数a的值.
13．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为，半径为，
则与之间的距离为，
所以点与圆上任意一点的最大距离为，
又因为表示圆上点到原点距离的平方与11的差，
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】先求出与之间的距离，再将问题转化为定点到圆上任意一点的距离的最大值，从而得出的最大值.
14．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：三棱柱是直三棱柱，，
，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，
，分别是的中点，令，
则，
，
，
与所成角的余弦值为．
故答案为：．
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，再利用直三棱柱的性质得出相关点的坐标，从而得出的坐标，再利用数量积求向量夹角的余弦公式，从而求解得出与所成角的余弦值．
15．【答案】（1）解：法一：设圆C的方程为，
依题意，得
解得，，.
所以圆C的方程为.
法二：设线段的垂直平分线为直线m，
则点C既在直线m上，又在直线上，
因为的中点为，即（2，2），
所以，直线的斜率为，
则直线m的斜率为-1.
所以直线m的方程为，即，
联立，
解得，
所以点C坐标为.
又因为圆的半径为，
所以圆C的方程为.
（2）解：因为圆心到直线的距离为：
，
设直线与圆C交于M，N两点，
由垂径定理，得弦长.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
法一：设圆的标准方程，结合点，在圆上，从而列出等式求解得出圆C的标准方程.
法二，易知圆心在上，从而得出中垂线方程，再联立两直线方程可得圆心坐标，从而可得圆的标准方程.
（2）由点到直线的距离公式和弦长公式，从而得出直线被圆C所截得的弦长.
（1）法一：设圆C的方程为，
依题意得，
解得，，.
所以圆C的方程为.
法二：
设线段的垂直平分线为直线m，
则C既在直线m上，又在直线上.
因为的中点为即（2，2），
直线的斜率为，
所以直线m的斜率为-1.
所以直线m的方程为，
即.
联立，解得.
所以点C坐标为.
又因为圆的半径为，
所以圆C的方程为.
（2）因为圆心到直线的距离
设直线与圆C交于M，N两点，
由垂径定理得，弦长.
16．【答案】（1）解：因为线段的垂直平分线为：，
即，
由，即，
又因为，
所以外接圆方程为.
（2）解：如图：
因为直线与圆相交截得弦长为8，
所以圆心到直线的距离为：，
若直线斜率不存在，
则直线方程为：，
又因为点到直线的距离为3，
所以满足题意；
若直线斜率存在，可设直线的方程为，即，
由，此时直线方程为：，
综上可得，直线的方程为：或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）先得到线段的垂直平分线的方程，与线段的垂直平分线联立，从而可得外接圆圆心的坐标，再利用两点间的距离公式得出圆的半径，从而可得所求三角形外接圆的方程.
（2）先利用几何法确定圆心到直线的距离，分直线的斜率不存在和存在两种情况，再利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，从而得出直线l的方程.
（1）线段的垂直平分线为：，即.
由，即.
又.
所以外接圆方程为
（2）如图：
因为直线与圆相交截得弦长为8，所以圆心到直线的距离为：.
若直线斜率不存在，则方程为：，点到直线的距离为3，故满足题意；
若直线斜率存在，可设直线的方程为，即.
由，此时直线方程为：.
综上直线的方程为：或.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为是的中点，
所以.
（2）解：连接，取的中点，连接，
则，
是异面直线，所成的角，
因为分别是的中点，
所以，
，，
又，
，
，
异面直线，所成的角的余弦值为．
【知识点】异面直线所成的角；空间向量基本定理
【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理和中点的性质，从而用表示.
（2）连接，取的中点，连接，从而推导出异面直线，所成角就是，再利用余弦定理得出异面直线所成角的余弦值．
（1）因为，所以，
因为是的中点，
所以；
（2）
连接，取的中点，连接，
则，是异面直线，所成的角，
因为分别是的中点，
所以，，，
又，，
，
异面直线，所成的角的余弦值为．
18．【答案】（1）证明：因为底面，平面，
所以，
又因为又底面为矩形，所以，
因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，，
所以平面.
（2）解：由（1）知，平面，垂足为，
所以即为与平面所成的角，
由，，得，
在中，，，
所以，
则.
由，得，
由，得，
以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
因为为中点，
所以，且，.
设平面的法向量为，
则，可取.
由（1）可知，平面的法向量可取，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和线面垂直的判定定理，从而证出平面.
（2）由（1）知，平面，垂足为，则即为与平面所成的角，利用直角三角形中垂直关系和勾股定理，从而建立空间直角坐标系，再利用已知条件确定的长，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）因为底面，平面，所以.
又底面为矩形，所以.
因为平面，，所以平面.
又平面，所以.
又，为的中点，所以.
因为平面，，所以平面.
又平面，所以.
又，平面，，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，垂足为.
所以即为与平面所成的角.
由，，所以.
在中，，，所以，
所以.
由，所以.
由，所以.
以为原点，建立如图空间直角坐标系：
则，，，，，
因为为中点，所以.
且，.
设平面的法向量为，
则，可取.
由（1）可知，平面的法向量可取.
设平面与平面所成的角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）证明：取的中点E，连接，
因为M是的中点，
所以且，
又因为且，
所以且，
则四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：由题意，得平面且，
则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
又因为，是的中点，
所以，
显然平面的一个法向量为，
设平面PCD的一个法向量为，，
所以，
令，则，
则，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
（3）解：设且，，
则，，，
设平面PAQ的法向量为，
则，
令，所以，
因为点D到平面的距离为，又因为，
所以，
则，
所以，
解得，
所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点E，连接，根据已知条件证出，再由线面平行的判定定理证出平面.
（2）构建合适的空间直角坐标系，从而求出相关点的坐标和相关平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值.
（3）根据，设且，由点到平面距离的向量求解方法，从而列出方程得出的值，从而得出存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时.
（1）取的中点E，连接，因为M是的中点，所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）由题意平面且，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
又因为，是的中点，
所以，显然平面的一个法向量为，
设平面PCD的一个法向量为，，
所以，令，则，
所以，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为；
（3）设且，，
则，，，
设平面PAQ的法向量为，则，
令，所以，又点D到平面的距离为，
又，所以，
所以，则，解得，
所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时.
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