广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高三上学期九月统测数学试题
1．（2025高三上·深圳月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知，由题意可得，所以．
故答案为：D.
【分析】利用交集运算和整数的定义即可求解.
2．（2025高三上·深圳月考）若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，，所以，
所以.
故选：B.
【分析】根据复数的除法运算求得复数z，进而利用模长公式即可求得|z|.
3．（2025高三上·深圳月考）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．12
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，则，
由，得，
所以.
故答案为：B
【分析】利用向量共线的坐标表示列式即可求解.
4．（2025高三上·深圳月考）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由函数，令，解得，
令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.
故答案为：B．
【分析】利用正切型函数的对称中心为，令即可求解.
5．（2025高三上·深圳月考）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：)满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意可知，，
解得.
即至少大约需要的时间为42分钟.
故答案为：C
【分析】先由题意列出方程，再利用对数的运算性质化简即可求解.
6．（2025高三上·深圳月考）已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的减函数，
所以解得，即.
故答案为：A.
【分析】先利用二次函数在上单调递减可得，再利用反比例函数在单调递减可得，最后结合分割点处函数值之间的关系可得，解不等式组即可求解.
7．（2025高三上·深圳月考）已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：设，
则分别为与图象交点的横坐标，
当时，如下图所示：
此时，故A正确；
当时，且位于和交点上方时，如下图所示：
此时，故C正确；
当时，且位于和交点下方时，如下图所示：
此时，故D正确；故C不可能.
故答案为：B
【分析】先设，再同一坐标系下画出三个函数图象，再，，结合函数图象即可求解.
8．（2025高三上·深圳月考）已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为的图象关于对称，
所以，于是，
又是定义在上的奇函数，所以，
则，即，
所以的周期为4，
所以，
又因为是定义在上的奇函数，所以.
故答案为：.
【分析】先函数关于直线对称性可得到，利用函数为奇函数可得，即可得函数的周期为4，利用周期性和函数的奇偶性即可求解.
9．（2025高三上·深圳月考）下列函数中，最小值是4的有（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、，
当且仅当时，即当时，等号成立，故A正确；
B、当时，，则，故B错误；
C、，
当且仅当时，即时，等号成立，又，故等号不成立，
即的最小值不是，故C错误；
D、，
当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值是4，满足题意.
故答案为：AD.
【分析】利用基本不等式求最值判断ACD，取，变形也可以利用基本不等式即可判断B.
10．（2025高三上·深圳月考）已知定义域为R的是奇函数，则（ ）
A．
B．在R上单调递增
C．的值域为
D．的解集为
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得，
此时，，是奇函数，
故，故A正确．
因为，所以在R上单调递减，故B错误．
因为，所以，所以，故C正确．
因为在R上单调递减，所以，即，解得或，
所以的解集为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】先利用函数为奇函数可得即可判断A；把函数化简成结合指数函数的单调性和值域即可判断B和C；利用函数的单调性去“f”可得即可判断D.
11．（2025高三上·深圳月考）“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（ ）
A．点和点的曼哈顿距离为3
B．设，则
C．的最小值为
D．的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；圆的标准方程；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、易知点和点的曼哈顿距离为，
故A正确；
B、若，可得，
易知，
当时，可得，
当时，可得；
所以可得，故B正确；
C，D，由B选项分析可知不妨取，
当时，，则，
因此可知当时，取得最大值为，当时，的最小值为；
当时，，则，
若时，取得最大值为，当趋近于时，趋近于；
综上可知，的最小值为，的最大值为，故C错误，D正确.
故答案为：ABD
【分析】利用“曼哈顿距离”公式直接计算即可判断得A；先利用公式得出，再分类，去绝对值化简即可判断B；利用辅助角公式以及三角函数单调性和值域性质即可判断C、D.
12．（2025高三上·深圳月考）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 .
【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设，则，
所以，
又函数是奇函数，
所以，
即时，的解析式为.
故答案为：
【分析】设，则，由题意可得，再利用奇函数的定义即可求解.
13．（2025高三上·深圳月考）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数在区间上是减函数，
所以在区间上是减函数且恒成立，
所以，解得，
综上，实数a的取值范围为.
故答案为：
【分析】令，利用复合函数的单调性可得在区间上是减函数，结合二次函数的性质列出不等式组即可求解.
14．（2025高三上·深圳月考）若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的图象；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意知存在实数a，对任意的，都有恒成立，
即或恒成立；
在同一坐标系中，作出函数的图象如图所示：
由图象可知当时，要使不等式恒成立，只有；
当时，需使得的图象不能在直线，即的同一侧，
故此时需满足，
综合可知实数m的最大值为，
故答案为：
【分析】先由题意可得或恒成立，再画出正弦、余弦函数图象，的图象不能在直线，即的同一侧，即可求解.
15．（2025高三上·深圳月考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的值域.
【答案】解：
（1）因为，所以函数的最小正周期
（2）由得
的单调递增区间为
（3）因为，所以，所以，所以
所以函数的值域为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换公式将函数化简可得，再利用余弦函数的性质计算即可求解；
（2）利用函数的单调性结合可得，即可求解；
（3）由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的性质计算可得；
16．（2025高三上·深圳月考）设中，角所对的边分别为，．
（1）求A；
（2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值．
【答案】（1）解：由正弦定理及，得，
，
，
．
∵，∴，整理得．
又∵，
∴，∴．
（2）解：由题知，则，
故，
两边平方得．
∵，
∴，
即．
∵，即，∴，
∴．
【知识点】向量在几何中的应用；简单的三角恒等变换；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理边化角结合三角恒等变换可得，再利用辅助角公式化简可得即可求解；
（2）利用是边上靠近点的三等分点，可得，再利用平面向量基本定理可得，对等式两边同时平方结合余弦定理化简即可求解．
（1）由正弦定理及，
得，
，
，
．
∵，∴，整理得．
又∵，
∴，∴．
（2）由题知，
则，
故，
两边平方得．
∵，
∴，
即．
∵，即，∴，
∴．
17．（2025高三上·深圳月考）已知数列，满足
（1）证明：为等差数列，并求通项公式；
（2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
【答案】（1）证明：因为，
所以两边同除以得：，即，
又因为，所以的首项，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以
（2）解：由题意知，，
所以，
，
两式相减得，，
所以
＝，
因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，
因为，所以，
所以，所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）先利用题意的递推关系即可证明为常数，再利用等差数列通项公式可得，即可求通项公式；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求其前n项和，求单调性即可求解.
（1）因为，
所以两边同除以得：，即，
又因为，所以的首项，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以
（2）由题意知，，
所以，
，
两式相减得，，
所以
＝，
因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，
因为，所以，
所以，所以
18．（2025高三上·深圳月考）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为．
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）解：（ⅰ）因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
所以点是外接圆的圆心．
因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上．
又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心．
因为球的表面积，所以球的半径，
所以，，，
所以三棱锥的体积．
（ⅱ）以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则，
所以，
设，则．
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则
.
令，则，
当时，，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用中位线可得，再利用线面平行的判断定理即可；
（2）（i）先利用已知条件确定球的球心位置F，再利用球的表面积求出球的半径，最后利用三棱锥的体积公式即可求解；
（ii）先建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为，再利用向量夹角的余弦公式即可求解.
（1）证明：因为，分别是，的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）（ⅰ）如图，连接．
因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
所以点是外接圆的圆心．
因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上．
又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心．
因为球的表面积，所以球的半径，
所以，，，
所以三棱锥的体积．
（ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则．
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则.
令，则，
当时，，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19．（2025高三上·深圳月考）已知函数．
（1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围；
（3）请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值．
【答案】（1）解：当时，，定义域为，
则，所以为偶函数．
（2）解：当时，；
当时，，
此时有；
当时，，
此时有．
（3）解：由（2）猜想，当，时，．
下面证明该结论：
因为n为偶数，所以，
故是周期为的周期函数，
那么不妨只讨论时函数的取值范围，
因为此范围即为函数在定义域上的取值范围；
因为n为偶数，则，，
此时，，
令，解得，或，
易知，当时，，
此时单调递减，
当时，，
此时单调递增，
因为，，
所以此时的最大值为1，最小值为，即；，
所以要使方程有解，只需不等式成立，
当时，，当时，，所以．
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可求解；
（2）分，4，6时分别利用二倍角公式化简函数解析式，再利用正弦函数的性质即可求解；
（3）猜想，当，时，，求导可得，要使方程有解，只需不等式成立，，然后解不等式即可求解.
（1）当时，，定义域为，
则，所以为偶函数．
（2）当时，；
当时，，
此时有；
当时，，
此时有．
（3）由（2）猜想，当，时，．
下面证明该结论：
因为n为偶数，所以，
故是周期为的周期函数，
那么不妨只讨论时函数的取值范围，
因为此范围即为函数在定义域上的取值范围；
因为n为偶数，则，，
此时，，
令，解得，或，
易知，当时，，
此时单调递减，
当时，，
此时单调递增，
因为，，
所以此时的最大值为1，最小值为，即；，
所以要使方程有解，只需不等式成立，
当时，，当时，，所以．
1 / 1广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高三上学期九月统测数学试题
1．（2025高三上·深圳月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·深圳月考）若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2025高三上·深圳月考）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．12
4．（2025高三上·深圳月考）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·深圳月考）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：)满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟
6．（2025高三上·深圳月考）已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·深圳月考）已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·深圳月考）已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．（2025高三上·深圳月考）下列函数中，最小值是4的有（ ）.
A． B． C． D．
10．（2025高三上·深圳月考）已知定义域为R的是奇函数，则（ ）
A．
B．在R上单调递增
C．的值域为
D．的解集为
11．（2025高三上·深圳月考）“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（ ）
A．点和点的曼哈顿距离为3
B．设，则
C．的最小值为
D．的最大值为
12．（2025高三上·深圳月考）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 .
13．（2025高三上·深圳月考）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 .
14．（2025高三上·深圳月考）若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为 .
15．（2025高三上·深圳月考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的值域.
16．（2025高三上·深圳月考）设中，角所对的边分别为，．
（1）求A；
（2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值．
17．（2025高三上·深圳月考）已知数列，满足
（1）证明：为等差数列，并求通项公式；
（2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
18．（2025高三上·深圳月考）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为．
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19．（2025高三上·深圳月考）已知函数．
（1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围；
（3）请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知，由题意可得，所以．
故答案为：D.
【分析】利用交集运算和整数的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，，所以，
所以.
故选：B.
【分析】根据复数的除法运算求得复数z，进而利用模长公式即可求得|z|.
3．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，则，
由，得，
所以.
故答案为：B
【分析】利用向量共线的坐标表示列式即可求解.
4．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由函数，令，解得，
令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.
故答案为：B．
【分析】利用正切型函数的对称中心为，令即可求解.
5．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意可知，，
解得.
即至少大约需要的时间为42分钟.
故答案为：C
【分析】先由题意列出方程，再利用对数的运算性质化简即可求解.
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的减函数，
所以解得，即.
故答案为：A.
【分析】先利用二次函数在上单调递减可得，再利用反比例函数在单调递减可得，最后结合分割点处函数值之间的关系可得，解不等式组即可求解.
7．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：设，
则分别为与图象交点的横坐标，
当时，如下图所示：
此时，故A正确；
当时，且位于和交点上方时，如下图所示：
此时，故C正确；
当时，且位于和交点下方时，如下图所示：
此时，故D正确；故C不可能.
故答案为：B
【分析】先设，再同一坐标系下画出三个函数图象，再，，结合函数图象即可求解.
8．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为的图象关于对称，
所以，于是，
又是定义在上的奇函数，所以，
则，即，
所以的周期为4，
所以，
又因为是定义在上的奇函数，所以.
故答案为：.
【分析】先函数关于直线对称性可得到，利用函数为奇函数可得，即可得函数的周期为4，利用周期性和函数的奇偶性即可求解.
9．【答案】A,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、，
当且仅当时，即当时，等号成立，故A正确；
B、当时，，则，故B错误；
C、，
当且仅当时，即时，等号成立，又，故等号不成立，
即的最小值不是，故C错误；
D、，
当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值是4，满足题意.
故答案为：AD.
【分析】利用基本不等式求最值判断ACD，取，变形也可以利用基本不等式即可判断B.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得，
此时，，是奇函数，
故，故A正确．
因为，所以在R上单调递减，故B错误．
因为，所以，所以，故C正确．
因为在R上单调递减，所以，即，解得或，
所以的解集为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】先利用函数为奇函数可得即可判断A；把函数化简成结合指数函数的单调性和值域即可判断B和C；利用函数的单调性去“f”可得即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；圆的标准方程；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、易知点和点的曼哈顿距离为，
故A正确；
B、若，可得，
易知，
当时，可得，
当时，可得；
所以可得，故B正确；
C，D，由B选项分析可知不妨取，
当时，，则，
因此可知当时，取得最大值为，当时，的最小值为；
当时，，则，
若时，取得最大值为，当趋近于时，趋近于；
综上可知，的最小值为，的最大值为，故C错误，D正确.
故答案为：ABD
【分析】利用“曼哈顿距离”公式直接计算即可判断得A；先利用公式得出，再分类，去绝对值化简即可判断B；利用辅助角公式以及三角函数单调性和值域性质即可判断C、D.
12．【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设，则，
所以，
又函数是奇函数，
所以，
即时，的解析式为.
故答案为：
【分析】设，则，由题意可得，再利用奇函数的定义即可求解.
13．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数在区间上是减函数，
所以在区间上是减函数且恒成立，
所以，解得，
综上，实数a的取值范围为.
故答案为：
【分析】令，利用复合函数的单调性可得在区间上是减函数，结合二次函数的性质列出不等式组即可求解.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的图象；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意知存在实数a，对任意的，都有恒成立，
即或恒成立；
在同一坐标系中，作出函数的图象如图所示：
由图象可知当时，要使不等式恒成立，只有；
当时，需使得的图象不能在直线，即的同一侧，
故此时需满足，
综合可知实数m的最大值为，
故答案为：
【分析】先由题意可得或恒成立，再画出正弦、余弦函数图象，的图象不能在直线，即的同一侧，即可求解.
15．【答案】解：
（1）因为，所以函数的最小正周期
（2）由得
的单调递增区间为
（3）因为，所以，所以，所以
所以函数的值域为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换公式将函数化简可得，再利用余弦函数的性质计算即可求解；
（2）利用函数的单调性结合可得，即可求解；
（3）由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的性质计算可得；
16．【答案】（1）解：由正弦定理及，得，
，
，
．
∵，∴，整理得．
又∵，
∴，∴．
（2）解：由题知，则，
故，
两边平方得．
∵，
∴，
即．
∵，即，∴，
∴．
【知识点】向量在几何中的应用；简单的三角恒等变换；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理边化角结合三角恒等变换可得，再利用辅助角公式化简可得即可求解；
（2）利用是边上靠近点的三等分点，可得，再利用平面向量基本定理可得，对等式两边同时平方结合余弦定理化简即可求解．
（1）由正弦定理及，
得，
，
，
．
∵，∴，整理得．
又∵，
∴，∴．
（2）由题知，
则，
故，
两边平方得．
∵，
∴，
即．
∵，即，∴，
∴．
17．【答案】（1）证明：因为，
所以两边同除以得：，即，
又因为，所以的首项，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以
（2）解：由题意知，，
所以，
，
两式相减得，，
所以
＝，
因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，
因为，所以，
所以，所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）先利用题意的递推关系即可证明为常数，再利用等差数列通项公式可得，即可求通项公式；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求其前n项和，求单调性即可求解.
（1）因为，
所以两边同除以得：，即，
又因为，所以的首项，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以
（2）由题意知，，
所以，
，
两式相减得，，
所以
＝，
因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，
因为，所以，
所以，所以
18．【答案】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）解：（ⅰ）因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
所以点是外接圆的圆心．
因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上．
又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心．
因为球的表面积，所以球的半径，
所以，，，
所以三棱锥的体积．
（ⅱ）以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则，
所以，
设，则．
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则
.
令，则，
当时，，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用中位线可得，再利用线面平行的判断定理即可；
（2）（i）先利用已知条件确定球的球心位置F，再利用球的表面积求出球的半径，最后利用三棱锥的体积公式即可求解；
（ii）先建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为，再利用向量夹角的余弦公式即可求解.
（1）证明：因为，分别是，的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）（ⅰ）如图，连接．
因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
所以点是外接圆的圆心．
因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上．
又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心．
因为球的表面积，所以球的半径，
所以，，，
所以三棱锥的体积．
（ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则．
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则.
令，则，
当时，，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19．【答案】（1）解：当时，，定义域为，
则，所以为偶函数．
（2）解：当时，；
当时，，
此时有；
当时，，
此时有．
（3）解：由（2）猜想，当，时，．
下面证明该结论：
因为n为偶数，所以，
故是周期为的周期函数，
那么不妨只讨论时函数的取值范围，
因为此范围即为函数在定义域上的取值范围；
因为n为偶数，则，，
此时，，
令，解得，或，
易知，当时，，
此时单调递减，
当时，，
此时单调递增，
因为，，
所以此时的最大值为1，最小值为，即；，
所以要使方程有解，只需不等式成立，
当时，，当时，，所以．
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可求解；
（2）分，4，6时分别利用二倍角公式化简函数解析式，再利用正弦函数的性质即可求解；
（3）猜想，当，时，，求导可得，要使方程有解，只需不等式成立，，然后解不等式即可求解.
（1）当时，，定义域为，
则，所以为偶函数．
（2）当时，；
当时，，
此时有；
当时，，
此时有．
（3）由（2）猜想，当，时，．
下面证明该结论：
因为n为偶数，所以，
故是周期为的周期函数，
那么不妨只讨论时函数的取值范围，
因为此范围即为函数在定义域上的取值范围；
因为n为偶数，则，，
此时，，
令，解得，或，
易知，当时，，
此时单调递减，
当时，，
此时单调递增，
因为，，
所以此时的最大值为1，最小值为，即；，
所以要使方程有解，只需不等式成立，
当时，，当时，，所以．
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