广东省深圳市福田区福田中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题
1．（2025高三上·福田月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三上·福田月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高三上·福田月考）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·福田月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·福田月考）已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·福田月考）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高三上·福田月考）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·福田月考）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·福田月考）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．常数项为-64 B．含的项的系数为-160
C．所有的二项式系数之和为64 D．所有项的系数之和为-1
10．（2025高三上·福田月考）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数
11．（2025高三上·福田月考）在斜三角形中，角的对边分别为．若，则（ ）
A．为锐角三角形 B．
C．若，则 D．
12．（2025高三上·福田月考）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为 .
13．（2025高三上·福田月考）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
14．（2025高三上·福田月考）某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则 .
15．（2025高三上·福田月考）已知函数的最大值为．
（1）求常数的值；
（2）求使成立的的取值集合．
16．（2025高三上·福田月考）已知函数，其中为常数，且．
（1）若是奇函数，求的值；
（2）证明：在上有唯一的零点．
17．（2025高三上·福田月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形且，求a的取值范围.
18．（2025高三上·福田月考）2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场成功发射升空，鹊桥二号中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为嫦娥四号，嫦娥六号等任务提供地月间中继通信．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本进行调查，调查结果如下表：
学生群体 关注情况 合计
关注 不关注
大学生
高中生
合计
（1）完成上述列联表，若依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量的最小值；
（2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知某同学答出三个问题的概率分别是，回答三个问题正确与否相互独立，则该同学选择哪种方案晋级的可能性更大？
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．（2025高三上·福田月考）已知函数为自然对数的底数．
（1）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）若，试讨论方程在上解的个数；
（3）求证：对任意的，，恒有成立．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，
则或 ，因，
故.
故答案为：C．
【分析】先解一元二次不等式可得集合，再利用补集定义可得，，最后利用交集的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的图象与性质；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：已知，可得
当，不能得到，所以充分性不成立；
反之：由，可得，
根据不等式的基本性质，可得成立，所以必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】先利用幂函数的性质可得，再利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的判定方法即可求解.
3．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角差的余弦公式即可求解.
4．【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由正弦定理化简得，
再由余弦定理结合题干信息可得，，
得，，
则的面积是.
故答案为：B
【分析】先利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，，最后利用面积公式即可求解.
5．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，则，
因为，，所以，
且，，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正态分布的性质求得，再利用基本不等式求的最小值即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：当时，，易得在上单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
又为定义在上的奇函数，
所以当时，，
当时，，
当或时，.
综上，不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】由题意结合指数函数和对数型函数的性质可知在上单调递增，利用零点存在定理可得2是函数的零点，再利用奇函数的图象关于原点对称即可求解.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：因为，所以，
由函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
如图所示：
得，解得.
故答案为：C.
【分析】先由题意可得，再利用正弦函数的图象列出不等式即可求解.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：求导得，
令，即，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又因为，
所以为偶函数，
所以
令，则，
令，即，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，，
，即，
所以，即，
所以，即.
故答案为：A.
【分析】先对函数求导可得，利用导函数与函数单调性的关系可得函数的单调区间，再利用偶函数的定义可得为偶函数，可得，，令，求导可得的单调区间，最后结合的单调性即可求解.
9．【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、由题得二项式的展开式为，
当时，常数项为，故A错误；
B、当时，项是系数为，故B正确；
C、因为，所有的二项式系数之和为，故C正确；
D、令，所有项的系数之和为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先利用二项式展开式为，令k=6即可判断A；令k=3即可判断B；利用二项式系数的性质即可判断C，利用赋值法令求出展开式系数和即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、，即函数的周期为4，故A错误；
B、因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，故B正确；
C、因为，则，所以函数的图象关于对称，故C正确；
D、因为，则，所以函数为偶函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用可得即可判断A；利用为偶函数可得即可判断B；利用B和题意可得结合对称中心的定义即可判断C；利用AB的结论和偶函数的定义即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，且，则，故C正确；
由，可得是锐角，
当时，由，则，为直角三角形，故A错误，
当，由，解得，B正确；
因为，
可得
，
由，则，可得，
令，则，可得，
由，则代入可得最大值为，代入可得，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用可得B为锐角，分A为锐角和钝角两种情况结合诱导公式即判断AB；利用正弦定理即可判断C；利用三角恒等变换可得，再利用二次函数性质即可求解.
12．【答案】1
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由已知得，
所以.
故答案为：1.
【分析】先利用平移变换可得，再把代入即可求解.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：求导可得，
在区间上单调递增，
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，
，，
，即的取值范围是．
故答案为：
【分析】先求导，利用函数在区间上单调递增可得在上恒成立，分参可得，再利用二次函数的性质即可求解.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：情况一：前四次摸球中只有白球和红球，第五次摸到黄球，有种；
情况二：前四次摸球中只有白球和黄球，第五次摸到红球，有种；
情况三：前四次摸球中只有红球和黄球，第五次摸到白球，有种；
所以总共满足题意的有，
而，
故所求为.
故答案为：.
【分析】分三种情况利用排列和组合公式分别求解，再利用古典概型概率公式即可求解.
15．【答案】（1）解：
，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，即，∴，
∴，，
解得，，
∴使成立的的取值集合是，.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换可得，再利用最大值为1可得即可求解；
（2）在（1）的基础上可得不等式，再结合正弦函数的性质即可求解.
（1），
∵，，
∴，
∴．
（2）∵，即，
∴，
∴，，
解得，，
∴使成立的的取值集合是，.
16．【答案】（1）解：函数的定义域为，关于原点对称，
由是奇函数，得
，
解得；
（2）证明：函数，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，又在上单调递增，
因此在上单调递增，
而，，
所以在上有唯一的零点.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先化简可得，再利用奇函数的性质有，即可求解；
（2）利用指数函数、分式型函数的单调性可得在上单调递增，再利用零点存在定理即可判断区间零点个数，即可得证.
（1）函数的定义域为，关于原点对称，
由是奇函数，得
，
解得；
（2）函数，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，又在上单调递增，
因此在上单调递增，
而，，
所以在上有唯一的零点.
17．【答案】（1）证明：因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，
所以或（舍去），
所以只能；
（2）解：由题意，所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
从而的取值范围是，
所以的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理得，再利用三角恒等变换即可得证；
（2）先利用正弦定理、三角恒等变换得，利用锐角三角形得，再利用余弦函数的性质即可求解.
（1）因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，
所以或（舍去），
所以只能；
（2）由题意，所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
从而的取值范围是，
所以的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由题意可将列联表补充完整如下：
学生群体 关注情况 合计
关注 不关注
大学生
高中生
合计
零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关，，
因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立，认为关注航天事业发展与学生群体有关，
所以，解得，
由已知易得是10的倍数，所以．
（2）解：记该同学答出三个问题的事件分别，则显然要根据相互独立事件概率“”进行计算即可得出结论．
则，
记选择方案一通过的概率为，
则；
记选择方案二通过的概率为，则，
因为，故该同学应该选择方案一．
【知识点】独立性检验；相互独立事件的概率乘法公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先补全列联表，可得。再利用独立性检验得，即可求解；
（2）利用独立事件的概率公式分别求得方案一与方案二中小化晋级的概率，再比较即可得解.
（1）由题意可将列联表补充完整如下：
学生群体 关注情况 合计
关注 不关注
大学生
高中生
合计
零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关，，
因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立，认为关注航天事业发展与学生群体有关，所以，解得，
由已知易得是10的倍数，所以．
（2）记该同学答出三个问题的事件分别，
则显然要根据相互独立事件概率“”进行计算即可得出结论．
则，
记选择方案一通过的概率为，
则；
记选择方案二通过的概率为，则，
因为，故该同学应该选择方案一．
19．【答案】（1）解：由题意得，
因为函数存在单调递增区间，所以有解．
即有解，所以．
又，所以．
（2）解：由题意，得只需讨论在上的零点个数，
其，
因为，所以，，
所以，故在上单调递减，
而，令，其，
由得，所以在单调递减，由得，所以在单调递增，
故，从而．于是，
而，且函数的图像在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点．
（3）证明：证明：由于，即证对，成立，
只需证对恒成立，
由（2）可知，，所以有（当且仅当时取等）①
只需证对恒成立，
令函数，，
则，
当时，，，即在上是增函数，
当时，，，即在上是减函数，
所以在上，，所以．
所以（当且仅当时取等）②
因为①②不能同时取等号，所以对恒成立，
所以对任意的，，恒有成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）等价转化为有解，然后分离参数可得，最后利用最值判断即可求解；
（2）代入，对函数求导，判断函数单调性计算大小可得结果；
（3）依题意证对恒成立，构建函数，求导判断即可求解.
（1）由题意得，
因为函数存在单调递增区间，所以有解．
即有解，所以．
又，所以．
（2）由题意，得只需讨论在上的零点个数，
其，
因为，所以，，
所以，故在上单调递减，
而，令，其，
由得，所以在单调递减，由得，所以在单调递增，
故，从而．于是，
而，且函数的图像在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点．
（3）证明：由于，即证对，成立，
只需证对恒成立，
由（2）可知，，所以有（当且仅当时取等）①
只需证对恒成立，
令函数，，
则，
当时，，，即在上是增函数，
当时，，，即在上是减函数，
所以在上，，所以．
所以（当且仅当时取等）②
因为①②不能同时取等号，所以对恒成立，
所以对任意的，，恒有成立．
1 / 1广东省深圳市福田区福田中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题
1．（2025高三上·福田月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，
则或 ，因，
故.
故答案为：C．
【分析】先解一元二次不等式可得集合，再利用补集定义可得，，最后利用交集的定义即可求解.
2．（2025高三上·福田月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的图象与性质；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：已知，可得
当，不能得到，所以充分性不成立；
反之：由，可得，
根据不等式的基本性质，可得成立，所以必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】先利用幂函数的性质可得，再利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的判定方法即可求解.
3．（2025高三上·福田月考）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角差的余弦公式即可求解.
4．（2025高三上·福田月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由正弦定理化简得，
再由余弦定理结合题干信息可得，，
得，，
则的面积是.
故答案为：B
【分析】先利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，，最后利用面积公式即可求解.
5．（2025高三上·福田月考）已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，则，
因为，，所以，
且，，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正态分布的性质求得，再利用基本不等式求的最小值即可.
6．（2025高三上·福田月考）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：当时，，易得在上单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
又为定义在上的奇函数，
所以当时，，
当时，，
当或时，.
综上，不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】由题意结合指数函数和对数型函数的性质可知在上单调递增，利用零点存在定理可得2是函数的零点，再利用奇函数的图象关于原点对称即可求解.
7．（2025高三上·福田月考）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：因为，所以，
由函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
如图所示：
得，解得.
故答案为：C.
【分析】先由题意可得，再利用正弦函数的图象列出不等式即可求解.
8．（2025高三上·福田月考）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：求导得，
令，即，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又因为，
所以为偶函数，
所以
令，则，
令，即，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，，
，即，
所以，即，
所以，即.
故答案为：A.
【分析】先对函数求导可得，利用导函数与函数单调性的关系可得函数的单调区间，再利用偶函数的定义可得为偶函数，可得，，令，求导可得的单调区间，最后结合的单调性即可求解.
9．（2025高三上·福田月考）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．常数项为-64 B．含的项的系数为-160
C．所有的二项式系数之和为64 D．所有项的系数之和为-1
【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、由题得二项式的展开式为，
当时，常数项为，故A错误；
B、当时，项是系数为，故B正确；
C、因为，所有的二项式系数之和为，故C正确；
D、令，所有项的系数之和为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先利用二项式展开式为，令k=6即可判断A；令k=3即可判断B；利用二项式系数的性质即可判断C，利用赋值法令求出展开式系数和即可判断D.
10．（2025高三上·福田月考）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数
【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、，即函数的周期为4，故A错误；
B、因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，故B正确；
C、因为，则，所以函数的图象关于对称，故C正确；
D、因为，则，所以函数为偶函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用可得即可判断A；利用为偶函数可得即可判断B；利用B和题意可得结合对称中心的定义即可判断C；利用AB的结论和偶函数的定义即可判断D.
11．（2025高三上·福田月考）在斜三角形中，角的对边分别为．若，则（ ）
A．为锐角三角形 B．
C．若，则 D．
【答案】B,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，且，则，故C正确；
由，可得是锐角，
当时，由，则，为直角三角形，故A错误，
当，由，解得，B正确；
因为，
可得
，
由，则，可得，
令，则，可得，
由，则代入可得最大值为，代入可得，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用可得B为锐角，分A为锐角和钝角两种情况结合诱导公式即判断AB；利用正弦定理即可判断C；利用三角恒等变换可得，再利用二次函数性质即可求解.
12．（2025高三上·福田月考）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为 .
【答案】1
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由已知得，
所以.
故答案为：1.
【分析】先利用平移变换可得，再把代入即可求解.
13．（2025高三上·福田月考）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：求导可得，
在区间上单调递增，
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，
，，
，即的取值范围是．
故答案为：
【分析】先求导，利用函数在区间上单调递增可得在上恒成立，分参可得，再利用二次函数的性质即可求解.
14．（2025高三上·福田月考）某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：情况一：前四次摸球中只有白球和红球，第五次摸到黄球，有种；
情况二：前四次摸球中只有白球和黄球，第五次摸到红球，有种；
情况三：前四次摸球中只有红球和黄球，第五次摸到白球，有种；
所以总共满足题意的有，
而，
故所求为.
故答案为：.
【分析】分三种情况利用排列和组合公式分别求解，再利用古典概型概率公式即可求解.
15．（2025高三上·福田月考）已知函数的最大值为．
（1）求常数的值；
（2）求使成立的的取值集合．
【答案】（1）解：
，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，即，∴，
∴，，
解得，，
∴使成立的的取值集合是，.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换可得，再利用最大值为1可得即可求解；
（2）在（1）的基础上可得不等式，再结合正弦函数的性质即可求解.
（1），
∵，，
∴，
∴．
（2）∵，即，
∴，
∴，，
解得，，
∴使成立的的取值集合是，.
16．（2025高三上·福田月考）已知函数，其中为常数，且．
（1）若是奇函数，求的值；
（2）证明：在上有唯一的零点．
【答案】（1）解：函数的定义域为，关于原点对称，
由是奇函数，得
，
解得；
（2）证明：函数，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，又在上单调递增，
因此在上单调递增，
而，，
所以在上有唯一的零点.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先化简可得，再利用奇函数的性质有，即可求解；
（2）利用指数函数、分式型函数的单调性可得在上单调递增，再利用零点存在定理即可判断区间零点个数，即可得证.
（1）函数的定义域为，关于原点对称，
由是奇函数，得
，
解得；
（2）函数，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，又在上单调递增，
因此在上单调递增，
而，，
所以在上有唯一的零点.
17．（2025高三上·福田月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形且，求a的取值范围.
【答案】（1）证明：因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，
所以或（舍去），
所以只能；
（2）解：由题意，所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
从而的取值范围是，
所以的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理得，再利用三角恒等变换即可得证；
（2）先利用正弦定理、三角恒等变换得，利用锐角三角形得，再利用余弦函数的性质即可求解.
（1）因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，
所以或（舍去），
所以只能；
（2）由题意，所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
从而的取值范围是，
所以的取值范围是.
18．（2025高三上·福田月考）2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场成功发射升空，鹊桥二号中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为嫦娥四号，嫦娥六号等任务提供地月间中继通信．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本进行调查，调查结果如下表：
学生群体 关注情况 合计
关注 不关注
大学生
高中生
合计
（1）完成上述列联表，若依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量的最小值；
（2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知某同学答出三个问题的概率分别是，回答三个问题正确与否相互独立，则该同学选择哪种方案晋级的可能性更大？
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由题意可将列联表补充完整如下：
学生群体 关注情况 合计
关注 不关注
大学生
高中生
合计
零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关，，
因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立，认为关注航天事业发展与学生群体有关，
所以，解得，
由已知易得是10的倍数，所以．
（2）解：记该同学答出三个问题的事件分别，则显然要根据相互独立事件概率“”进行计算即可得出结论．
则，
记选择方案一通过的概率为，
则；
记选择方案二通过的概率为，则，
因为，故该同学应该选择方案一．
【知识点】独立性检验；相互独立事件的概率乘法公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先补全列联表，可得。再利用独立性检验得，即可求解；
（2）利用独立事件的概率公式分别求得方案一与方案二中小化晋级的概率，再比较即可得解.
（1）由题意可将列联表补充完整如下：
学生群体 关注情况 合计
关注 不关注
大学生
高中生
合计
零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关，，
因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立，认为关注航天事业发展与学生群体有关，所以，解得，
由已知易得是10的倍数，所以．
（2）记该同学答出三个问题的事件分别，
则显然要根据相互独立事件概率“”进行计算即可得出结论．
则，
记选择方案一通过的概率为，
则；
记选择方案二通过的概率为，则，
因为，故该同学应该选择方案一．
19．（2025高三上·福田月考）已知函数为自然对数的底数．
（1）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）若，试讨论方程在上解的个数；
（3）求证：对任意的，，恒有成立．
【答案】（1）解：由题意得，
因为函数存在单调递增区间，所以有解．
即有解，所以．
又，所以．
（2）解：由题意，得只需讨论在上的零点个数，
其，
因为，所以，，
所以，故在上单调递减，
而，令，其，
由得，所以在单调递减，由得，所以在单调递增，
故，从而．于是，
而，且函数的图像在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点．
（3）证明：证明：由于，即证对，成立，
只需证对恒成立，
由（2）可知，，所以有（当且仅当时取等）①
只需证对恒成立，
令函数，，
则，
当时，，，即在上是增函数，
当时，，，即在上是减函数，
所以在上，，所以．
所以（当且仅当时取等）②
因为①②不能同时取等号，所以对恒成立，
所以对任意的，，恒有成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）等价转化为有解，然后分离参数可得，最后利用最值判断即可求解；
（2）代入，对函数求导，判断函数单调性计算大小可得结果；
（3）依题意证对恒成立，构建函数，求导判断即可求解.
（1）由题意得，
因为函数存在单调递增区间，所以有解．
即有解，所以．
又，所以．
（2）由题意，得只需讨论在上的零点个数，
其，
因为，所以，，
所以，故在上单调递减，
而，令，其，
由得，所以在单调递减，由得，所以在单调递增，
故，从而．于是，
而，且函数的图像在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点．
（3）证明：由于，即证对，成立，
只需证对恒成立，
由（2）可知，，所以有（当且仅当时取等）①
只需证对恒成立，
令函数，，
则，
当时，，，即在上是增函数，
当时，，，即在上是减函数，
所以在上，，所以．
所以（当且仅当时取等）②
因为①②不能同时取等号，所以对恒成立，
所以对任意的，，恒有成立．
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