广东省汕头市金山中学2025-2026学年高三上学期10月阶段考试数学试题
1．（2025高三上·汕头月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·汕头月考）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，那么 D．若，则
3．（2025高三上·汕头月考）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高三上·汕头月考）已知，则的值（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
5．（2025高三上·汕头月考）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·汕头月考）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高三上·汕头月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高三上·汕头月考）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·汕头月考）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高三上·汕头月考）已知函数，则（ ）
A．当时，在R上单调递增
B．当时，有两个极值
C．过点且与曲线相切的直线恰有两条
D．恒成立
11．（2025高三上·汕头月考）函数和的定义域均为且不恒为零，若对任意，，则和互为“关联函数”.已知，互为“关联函数”，则以下说法正确的是（ ）
A．，中必有一个为周期函数
B．若，则的解析式可以为
C．与中至少有一个函数为奇函数
D．若，，则
12．（2025高三上·汕头月考）函数 的单调递减区间是 ．
13．（2025高三上·汕头月考）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 ．
14．（2025高三上·汕头月考）已知函数，上有四个不同的零点，则实数的取值范围是 .
15．（2025高三上·汕头月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
（1）求角A；
（2）若，边中线长为1，求的面积．
16．（2025高三上·汕头月考）如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线．
（1）证明：平面平面．
（2）若，，，求与平面所成角的正弦值．
17．（2025高三上·汕头月考）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响.
（1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
（2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.
18．（2025高三上·汕头月考）已知数列的前项和为，且．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）记，记数列的前项和为．
①求；②对，都有成立，求的取值范围．
19．（2025高三上·汕头月考）已知，
（1）求在处的切线方程；
（2）若不等式对任意成立，求a的最大整数解．
（3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由.
所以集合，所以.
故答案为：A
【分析】解分式不等式确定集合，再根据交集的定义求出与的交集.解分式不等式时，需通过移项、通分将其转化为整式不等式（注意分母不为零），进而求解.
2．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对A，取，满足，而，A错误；
对B，取，则，B错误；
对C，取，满足，而，C错误；
对D，由，得，则，D正确.
故答案为：D
【分析】对每个选项逐一分析，通过举反例判断错误选项，通过作差法结合不等式性质判断正确选项，核心是检验不等式在不同条件下的成立性.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，如，，不能得到，
由，则，又，所以一定能得到，
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故答案为：.
【分析】通过定义分别验证“”能否推出“”（充分性），以及“”能否推出“”（必要性）。
4．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】用同角三角函数的基本关系和二倍角公式，将所求式子转化为关于的表达式，再代入已知值计算.通过“弦化切”，将正弦、余弦的式子转化为正切的式子，简化计算.
5．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，在上单调递减；
当时，，
要使得函数是上的减函数，
需满足，解得，
则的取值范围是，
故答案为：A
【分析】分段函数在上单调递减，需满足：各段函数分别单调递减，且分段点处左侧函数值不小于右侧函数值。
6．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的解集
【解析】【解答】解：原不等式可化为，
若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数；
所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，，
令，解得，所以的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】先将不等式因式分解，结合解集含 4 个正整数的条件，分析2m的范围，进而确定m的取值。
7．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
故，而的定义域为，它关于原点对称，故为上的偶函数.
当时，令，由对勾函数的单调性可得在上为增函数，且，
而在上为增函数，故在上为增函数，而在上为
增函数，故在上为增函数.因为，故，平方后化简可得，即，解得或，
故原不等式的解集为.
故答案为：D
【分析】通过函数变形判断奇偶性，结合复合函数单调性判断法则分析单调性，再利用奇偶性和单调性化简不等式.
8．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以，
又，，所以，所以，
设，则，
当时，，仅当时等号成立，则在上单调递减，
而，故，即，所以，
综上所述，可得.
故答案为：B
【分析】将指数形式转化为可比较的幂次或利用函数单调性建立不等关系.、
9．【答案】A,B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对A，，，即，解得，故A选项正确；
对B，，故B选项正确；
对C，，又，，所以，
所以，故C选项错误；
对D，，故D选项错误.
故答案为：AB
【分析】围绕正数、满足的条件，结合基本不等式的“一正、二定、三相等”原则，对每个选项逐一分析，判断不等式是否成立.
10．【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对A，，，，
所以在R上单调递增，故A正确；
对B，，，，则有两个零点，
不妨设为，，所以当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以有两个极值，故B正确；
对C，不妨设切点为，则，切线方程为，整理得，
又过，所以，即，又，所以无根，即只有一个解，
所以过点且与曲线相切的直线只有一条，故C错误；
对D，
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，通过求导，判断导函数的符号，确定函数单调性；对于B，根据导函数的判别式，分析极值点个数；对于C，设切点，利用导数的几何意义写出切线方程，代入定点后分析方程解的个数；对于D，代入函数表达式，化简后判断等式是否恒成立.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：对A，令，，则，，，满足，
但，均不是周期函数，故A错误.
对B，若，，则，
所以与是“关联函数”，B正确.
对C，令，则，得，
令，则，因为不恒为零，所以，
令，得，将，代入，得，
所以为奇函数，故C正确.
对D，由为奇函数，得，，
令，，则，得，
分别令和，得，，
两式相加得，所以，即，
所以是以4为一个周期的周期函数，故，
所以，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】围绕“关联函数”的定义，结合函数的周期性、奇偶性及特殊函数验证，对每个选项逐一分析.用定义式赋值推导，或通过举反例、代入已知函数验证来判断命题真假路是利用定义式赋值推导，或通过举反例、代入已知函数验证来判断命题真假.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】函数的定义域为 ，且 ，
令 ，解得，
则函数的单调递减区间是 ，
故答案为：.
【分析】先求出函数的定义域，再求导令 ，解得，即可求出单调递减区间.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：在上的奇函数满足，则，
所以，即是函数的最小正周期，
因为定义在上的奇函数，则，解得，
而，则，，
又当时，，所以
故答案为：.
【分析】通过条件变形得到周期，再通过赋值确定解析式中的参数，最后利用周期和奇偶性化简计算.
14．【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
令，则，
又函数的图象如下所示：
要使函数，上有四个不同的零点，
对于关于的方程，
若，则或，
当时，解得，此时有且仅有个不同的零点，不符合题意；
当时，解得，此时无零点，不符合题意；
若为方程的一个根，则，则方程有两个实数根和，
此时有且仅有个不同的零点，不符合题意；
所以有两个不相等实数根，且两根均大于或一根小于0，一根大于0小于1，
①当两根均大于时，令，则有两个零点，且两个零点均大于，
所以，解得；
②当一根小于0，一根大于0小于1，则，解得；
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】通过换元法将函数转化为关于的二次函数，结合的图象（，且时对应2个，时对应4个），分析方程的根分布，使原函数有4个零点。
15．【答案】（1）解：由可知，，
也即，，
又因为，
所以，．
（2）解：由，
两边平方得
又，
所以，解得，所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）求角A：利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换（和角公式）化简，最终由三角函数值确定角。
（2）求三角形面积：利用中线的向量表达式平方，结合余弦定理联立方程，求出bc的值，再代入面积公式计算。
（1）由可知，，
也即，，
又因为，
所以，．
（2）由，
两边平方得
又，
所以，解得，所以．
16．【答案】（1）证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以．
因为为该圆柱的母线，所以平面，平面，
所以，又，平面．
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）解：设点在圆柱下底面的射影为，连接．
以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，，所以，
所以，
．
设平面的法向量为，
则，即，
取，得．
由，
得与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）面面垂直证明：先由直径和母线性质证线面垂直（平面），再由线面垂直推面面垂直。
（2）线面角计算：建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用“线面角的正弦值=直线向量与法向量夹角的余弦值的绝对值”计算。
（1）证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以．
因为为该圆柱的母线，所以平面，平面，
所以，又，平面．
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）设点在圆柱下底面的射影为，连接．
以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，，所以，
所以，
．
设平面的法向量为，
则，即，
取，得．
由，
得与平面所成角的正弦值为．
17．【答案】（1）解：若选择方案一，
设该同学获得学习用品的价值为元，则，
则，，，
所以；
若选择方案二，
设该同学获得学习用品的价值为元，则，
则，
，
，
所以，
因为，
故选择方案一比较合适.
（2）解：设“该同学抽取中奖”为事件，
“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，
则，
，
，
所以
则，
则所求概率为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件分别计算出两种方案的期望，再根据期望值判断该同学选择方案一比较合适.
（2）根据已知条件和全概率公式以及条件概率公式，从而得出该同学选择乙抽奖箱的概率.
（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则；
则，，，
所以，
若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则；
则，，
，
所以
因为，故选择方案一比较合适
（2）设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，
则，，，
所以，
故，
所以所求概率为.
18．【答案】（1）证明：在数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，即，
而，即，则，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
，，经检验当也符合.
（2）解： ①由（1）知，，，
所以
.
②由①知，，，
，
由数列单调递增，得，因此，
由对，，得，
所以的取值范围是
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据已知的前项和公式，利用推导递推关系，结合等比数列定义证明是等比数列，进而求通项.
（2）先对裂项，再通过分组求和求；分析的单调性求最小值，从而确定的取值范围.
（1）在数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，即，
而，即，则，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，，
经检验当也符合.
（2）①由（1）知，，，
所以
.
②由①知，，，
，
由数列单调递增，得，因此，
由对，，得，
所以的取值范围是．
19．【答案】（1）解：的定义域为，，，
又，所以在处的切线方程为，
即.
（2）解：，，，
即，即对任意成立，
令，，则，
令，，故，
所以在上单调递增，，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
所以，a的最大整数解为3
（3）证明： ，定义域为，
当时，在上单调递增，此时不存在两个零点，
所以，，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，故，
要使得有两个零点，需满足，
即，解得，
因为，所以，
令，由得，
所以，
要证，只需证，
即证，即证，
，只需证，
令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求函数的导数，得到切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程；
（2）将不等式整理后进行参变分离，构造新函数，通过求导分析其单调性和最小值，进而确定参数的最大整数解；
（3）先分析函数的单调性和极值点，再结合零点关系，通过变量代换和构造函数证明不等式.
（1）的定义域为，
，，又，
所以在处的切线方程为，
即；
（2），，
，
即，
即对任意成立，
令，，则，
令，，
故，所以在上单调递增，
，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
所以，a的最大整数解为3；
（3），定义域为，
当时，在上单调递增，此时不存在两个零点，
所以，，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，故，
要使得有两个零点，需满足，
即，解得，
因为，所以，
令，由得，
所以，
要证，只需证，
即证，即证，
，只需证，
令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
所以.
1 / 1广东省汕头市金山中学2025-2026学年高三上学期10月阶段考试数学试题
1．（2025高三上·汕头月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由.
所以集合，所以.
故答案为：A
【分析】解分式不等式确定集合，再根据交集的定义求出与的交集.解分式不等式时，需通过移项、通分将其转化为整式不等式（注意分母不为零），进而求解.
2．（2025高三上·汕头月考）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，那么 D．若，则
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对A，取，满足，而，A错误；
对B，取，则，B错误；
对C，取，满足，而，C错误；
对D，由，得，则，D正确.
故答案为：D
【分析】对每个选项逐一分析，通过举反例判断错误选项，通过作差法结合不等式性质判断正确选项，核心是检验不等式在不同条件下的成立性.
3．（2025高三上·汕头月考）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，如，，不能得到，
由，则，又，所以一定能得到，
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故答案为：.
【分析】通过定义分别验证“”能否推出“”（充分性），以及“”能否推出“”（必要性）。
4．（2025高三上·汕头月考）已知，则的值（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】用同角三角函数的基本关系和二倍角公式，将所求式子转化为关于的表达式，再代入已知值计算.通过“弦化切”，将正弦、余弦的式子转化为正切的式子，简化计算.
5．（2025高三上·汕头月考）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，在上单调递减；
当时，，
要使得函数是上的减函数，
需满足，解得，
则的取值范围是，
故答案为：A
【分析】分段函数在上单调递减，需满足：各段函数分别单调递减，且分段点处左侧函数值不小于右侧函数值。
6．（2025高三上·汕头月考）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的解集
【解析】【解答】解：原不等式可化为，
若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数；
所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，，
令，解得，所以的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】先将不等式因式分解，结合解集含 4 个正整数的条件，分析2m的范围，进而确定m的取值。
7．（2025高三上·汕头月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
故，而的定义域为，它关于原点对称，故为上的偶函数.
当时，令，由对勾函数的单调性可得在上为增函数，且，
而在上为增函数，故在上为增函数，而在上为
增函数，故在上为增函数.因为，故，平方后化简可得，即，解得或，
故原不等式的解集为.
故答案为：D
【分析】通过函数变形判断奇偶性，结合复合函数单调性判断法则分析单调性，再利用奇偶性和单调性化简不等式.
8．（2025高三上·汕头月考）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以，
又，，所以，所以，
设，则，
当时，，仅当时等号成立，则在上单调递减，
而，故，即，所以，
综上所述，可得.
故答案为：B
【分析】将指数形式转化为可比较的幂次或利用函数单调性建立不等关系.、
9．（2025高三上·汕头月考）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对A，，，即，解得，故A选项正确；
对B，，故B选项正确；
对C，，又，，所以，
所以，故C选项错误；
对D，，故D选项错误.
故答案为：AB
【分析】围绕正数、满足的条件，结合基本不等式的“一正、二定、三相等”原则，对每个选项逐一分析，判断不等式是否成立.
10．（2025高三上·汕头月考）已知函数，则（ ）
A．当时，在R上单调递增
B．当时，有两个极值
C．过点且与曲线相切的直线恰有两条
D．恒成立
【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对A，，，，
所以在R上单调递增，故A正确；
对B，，，，则有两个零点，
不妨设为，，所以当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以有两个极值，故B正确；
对C，不妨设切点为，则，切线方程为，整理得，
又过，所以，即，又，所以无根，即只有一个解，
所以过点且与曲线相切的直线只有一条，故C错误；
对D，
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，通过求导，判断导函数的符号，确定函数单调性；对于B，根据导函数的判别式，分析极值点个数；对于C，设切点，利用导数的几何意义写出切线方程，代入定点后分析方程解的个数；对于D，代入函数表达式，化简后判断等式是否恒成立.
11．（2025高三上·汕头月考）函数和的定义域均为且不恒为零，若对任意，，则和互为“关联函数”.已知，互为“关联函数”，则以下说法正确的是（ ）
A．，中必有一个为周期函数
B．若，则的解析式可以为
C．与中至少有一个函数为奇函数
D．若，，则
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：对A，令，，则，，，满足，
但，均不是周期函数，故A错误.
对B，若，，则，
所以与是“关联函数”，B正确.
对C，令，则，得，
令，则，因为不恒为零，所以，
令，得，将，代入，得，
所以为奇函数，故C正确.
对D，由为奇函数，得，，
令，，则，得，
分别令和，得，，
两式相加得，所以，即，
所以是以4为一个周期的周期函数，故，
所以，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】围绕“关联函数”的定义，结合函数的周期性、奇偶性及特殊函数验证，对每个选项逐一分析.用定义式赋值推导，或通过举反例、代入已知函数验证来判断命题真假路是利用定义式赋值推导，或通过举反例、代入已知函数验证来判断命题真假.
12．（2025高三上·汕头月考）函数 的单调递减区间是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】函数的定义域为 ，且 ，
令 ，解得，
则函数的单调递减区间是 ，
故答案为：.
【分析】先求出函数的定义域，再求导令 ，解得，即可求出单调递减区间.
13．（2025高三上·汕头月考）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：在上的奇函数满足，则，
所以，即是函数的最小正周期，
因为定义在上的奇函数，则，解得，
而，则，，
又当时，，所以
故答案为：.
【分析】通过条件变形得到周期，再通过赋值确定解析式中的参数，最后利用周期和奇偶性化简计算.
14．（2025高三上·汕头月考）已知函数，上有四个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
令，则，
又函数的图象如下所示：
要使函数，上有四个不同的零点，
对于关于的方程，
若，则或，
当时，解得，此时有且仅有个不同的零点，不符合题意；
当时，解得，此时无零点，不符合题意；
若为方程的一个根，则，则方程有两个实数根和，
此时有且仅有个不同的零点，不符合题意；
所以有两个不相等实数根，且两根均大于或一根小于0，一根大于0小于1，
①当两根均大于时，令，则有两个零点，且两个零点均大于，
所以，解得；
②当一根小于0，一根大于0小于1，则，解得；
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】通过换元法将函数转化为关于的二次函数，结合的图象（，且时对应2个，时对应4个），分析方程的根分布，使原函数有4个零点。
15．（2025高三上·汕头月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
（1）求角A；
（2）若，边中线长为1，求的面积．
【答案】（1）解：由可知，，
也即，，
又因为，
所以，．
（2）解：由，
两边平方得
又，
所以，解得，所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）求角A：利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换（和角公式）化简，最终由三角函数值确定角。
（2）求三角形面积：利用中线的向量表达式平方，结合余弦定理联立方程，求出bc的值，再代入面积公式计算。
（1）由可知，，
也即，，
又因为，
所以，．
（2）由，
两边平方得
又，
所以，解得，所以．
16．（2025高三上·汕头月考）如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线．
（1）证明：平面平面．
（2）若，，，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以．
因为为该圆柱的母线，所以平面，平面，
所以，又，平面．
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）解：设点在圆柱下底面的射影为，连接．
以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，，所以，
所以，
．
设平面的法向量为，
则，即，
取，得．
由，
得与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）面面垂直证明：先由直径和母线性质证线面垂直（平面），再由线面垂直推面面垂直。
（2）线面角计算：建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用“线面角的正弦值=直线向量与法向量夹角的余弦值的绝对值”计算。
（1）证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以．
因为为该圆柱的母线，所以平面，平面，
所以，又，平面．
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）设点在圆柱下底面的射影为，连接．
以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，，所以，
所以，
．
设平面的法向量为，
则，即，
取，得．
由，
得与平面所成角的正弦值为．
17．（2025高三上·汕头月考）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响.
（1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
（2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.
【答案】（1）解：若选择方案一，
设该同学获得学习用品的价值为元，则，
则，，，
所以；
若选择方案二，
设该同学获得学习用品的价值为元，则，
则，
，
，
所以，
因为，
故选择方案一比较合适.
（2）解：设“该同学抽取中奖”为事件，
“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，
则，
，
，
所以
则，
则所求概率为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件分别计算出两种方案的期望，再根据期望值判断该同学选择方案一比较合适.
（2）根据已知条件和全概率公式以及条件概率公式，从而得出该同学选择乙抽奖箱的概率.
（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则；
则，，，
所以，
若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则；
则，，
，
所以
因为，故选择方案一比较合适
（2）设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，
则，，，
所以，
故，
所以所求概率为.
18．（2025高三上·汕头月考）已知数列的前项和为，且．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）记，记数列的前项和为．
①求；②对，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）证明：在数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，即，
而，即，则，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
，，经检验当也符合.
（2）解： ①由（1）知，，，
所以
.
②由①知，，，
，
由数列单调递增，得，因此，
由对，，得，
所以的取值范围是
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据已知的前项和公式，利用推导递推关系，结合等比数列定义证明是等比数列，进而求通项.
（2）先对裂项，再通过分组求和求；分析的单调性求最小值，从而确定的取值范围.
（1）在数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，即，
而，即，则，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，，
经检验当也符合.
（2）①由（1）知，，，
所以
.
②由①知，，，
，
由数列单调递增，得，因此，
由对，，得，
所以的取值范围是．
19．（2025高三上·汕头月考）已知，
（1）求在处的切线方程；
（2）若不等式对任意成立，求a的最大整数解．
（3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
【答案】（1）解：的定义域为，，，
又，所以在处的切线方程为，
即.
（2）解：，，，
即，即对任意成立，
令，，则，
令，，故，
所以在上单调递增，，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
所以，a的最大整数解为3
（3）证明： ，定义域为，
当时，在上单调递增，此时不存在两个零点，
所以，，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，故，
要使得有两个零点，需满足，
即，解得，
因为，所以，
令，由得，
所以，
要证，只需证，
即证，即证，
，只需证，
令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求函数的导数，得到切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程；
（2）将不等式整理后进行参变分离，构造新函数，通过求导分析其单调性和最小值，进而确定参数的最大整数解；
（3）先分析函数的单调性和极值点，再结合零点关系，通过变量代换和构造函数证明不等式.
（1）的定义域为，
，，又，
所以在处的切线方程为，
即；
（2），，
，
即，
即对任意成立，
令，，则，
令，，
故，所以在上单调递增，
，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
所以，a的最大整数解为3；
（3），定义域为，
当时，在上单调递增，此时不存在两个零点，
所以，，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，故，
要使得有两个零点，需满足，
即，解得，
因为，所以，
令，由得，
所以，
要证，只需证，
即证，即证，
，只需证，
令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
所以.
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