甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2025高二上·卓尼月考）数列的前n项和，则（ ）
A．140 B．120 C．40 D．52
2．（2025高二上·卓尼月考）数列，，，，，的第8项是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2025高二上·卓尼月考）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（ ）
A．18 B．20 C．32 D．66
4．（2025高二上·卓尼月考）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·卓尼月考），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
6．（2025高二上·卓尼月考）已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（ ）
A． B． C． D．50
7．（2025高二上·卓尼月考）已知各项均为整数的数列满足：对任意的，．若，，，则正整数m的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．65 D．66
8．（2025高二上·卓尼月考）记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（ ）
A．
B．数列是公差为1的等差数列
C．数列是公比为4的等比数列
D．数列的前2025项和为
9．（2025高二上·卓尼月考）在等差数列中，公差，为其前项和．若，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．若，则的最小值为6
10．（2025高二上·卓尼月考）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高二上·卓尼月考）已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．为递增数列 D．数列的最大项是第3项
12．（2025高二上·卓尼月考）已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式 ．
13．（2025高二上·卓尼月考）记为等差数列的前项和，若，则 .
14．（2025高二上·卓尼月考）已知为数列的前项和，若，则 ．
15．（2025高二上·卓尼月考）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
16．（2025高二上·卓尼月考）已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17．（2025高二上·卓尼月考）已知各项均不为0的数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若对于任意，成立，求实数的取值范围.
18．（2025高二上·卓尼月考）设等差数列 的公差为 ， 且 ， 令 ，记 分别为数列 ，的前项和.
（1）若，求 的通项公式；
（2）若为等差数列， 且 ，求 .
19．（2025高二上·卓尼月考）无穷数列的各项按如下规律排列：，数列的前项和为．
（1）求．
（2）若数列的各项为，求数列的前项和．
（3）是否存在正整数，使得，成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由，得.
故答案为：D
【分析】本题考查数列前项和与通项的关系，核心思路是利用（），通过计算和的差值得到。
2．【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：重写数列的前5项，，，，，
通过观察得该数列的通项公式为，，
所以第8项为．
故答案为：B．
【分析】本题考查数列通项公式的观察与推导，核心思路是分别分析分子、分母的规律，归纳出通项公式，再代入项数计算目标项。
3．【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数，
当或时，，故D错误；
当或时，，故C错误；
当或时，，故B正确；
当时，，故A错误．
故答案为：B．
【分析】本题考查数列通项与整数因数的结合，核心思路是通过分析 64 的正因数，代入通项公式验证选项是否为数列的项。
4．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，
由题意可得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为d，由题意，根据等差数列前n项和公式列出关于首项和公差d的方程组求数列的首项和公差d，再由等差数列前n项和公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故答案为：C
【分析】本题考查含绝对值数列的前n项和，核心思路是先求通项公式，判断项的正负，再利用 “正项和不变，负项和取反” 的方法，结合的公式计算前 12 项和。
6．【答案】A
【知识点】数列的求和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：由有，令，则，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，
即，故
，当时，符合题意，即.
又由有，
设数列的前项和为，.
故答案为：A.
【分析】本题考查等差数列的构造、累加法求通项与裂项相消求和，核心思路是通过递推关系构造等差数列，利用累加法求，再将裂项后求和。
7．【答案】B
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题可知：，
则，
因为，且，
所以，
当时，；当时，.
所以正整数m的最大值为64.
故答案为：B.
【分析】本题考查递推数列的单调性与累加求和，核心思路是通过变形递推关系得到差数列的递增性，再累加结合不等式求解m的最大值。
8．【答案】B
【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，时，得，而满足上式，因此数列的通项公式为，
A，，A正确；
B，，则，所以数列是公差为的等差数列，B错误；
C，，则，所以数列是公比为4的等比数列，C正确；
D，令，，数列前2025项和为
，D正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查数列的通项、等差数列与等比数列的判定及求和，核心思路是先由前n项和求出通项，再结合数列的定义与性质逐一分析选项。
9．【答案】A,C,D
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：由等差数列的性质及前项和公式，得，
因为，所以，即，所以．
所以．
因为，所以，解得或．
因为，所以，故A正确．
，故B错误．
，故C正确．
因为，所以当时，．，因为，所以当时，．故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】本题考查等差数列的基本量计算与性质应用，核心思路是通过已知条件建立关于和d的方程，求出基本量后，结合通项公式、前n项和公式逐一分析选项。
10．【答案】A,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得，解得，
A、由分析可得：，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，，
则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，根据等比数列通项公式以及等比数列的前项和公式列方程组，解出，即可判断A；再根据等比数列的通项公式求解即可判断B；根据等比数列的前项和公式计算即可判断C；根据通项和前项和公式计算即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：令，，
设等差数列的公差为，又因为是等比数列，所以，即，
解得，于是.
当时，，得，即，
又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，显然也符合，于是，.
A：是等比数列，故A错误
B：因为，所以是各项均为的常数列，
于是是公比为1的等比数列，故B正确；
C：由指数函数的单调性可知，数列为递增数列，故C正确；
D：，假设数列的第项最大，
则，即，解得，因为，
所以或，即数列的第3项和第4项相等且最大，故D错误.
故答案为：BC
【分析】本题考查等差等比数列的综合判定与通项求和，核心思路是利用“既是等差又是等比的数列为常数列”推导，进而求出与的通项，再结合数列的性质逐一分析选项。
12．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，
故答案为：.
【分析】本题考查递推数列的通项求解，核心思路是通过构造等比数列，将线性递推关系转化为等比数列的通项问题，进而求出原数列的通项。
13．【答案】95
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，
所以，解得，则.
故答案为：95.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，所以当时，；
当时，，所以，得，
所以数列从第2项开始，是首项为3，公比为2的等比数列．
所以当时，；
当时，，满足上式，所以．
故答案为：
【分析】本题考查前项和的递推关系与等比数列通项，核心思路是通过与、的关系，推导出的等比数列性质，进而求出通项。
15．【答案】（1）解：数列满足，则，
两式相减可得，则，即等比数列的公比为，
因为，所以，则；
（2）解：由（1）可得：，
则
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的性质求解即可；
（2）由（1）的结论以及等比数列求和公式可得：，再利用分组求和法求解即可.
（1）因为，故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由，得，即．
又因为，所以，解得，所以．
由，得．又因为，所以，解得，
所以．
（2）解：当为奇数时，，
记，则
①，
②．
①—②得
，
所以．
当为偶数时，，
记，则
．
所以．
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）通过等差数列前n项和公式与等比数列通项公式，结合已知条件建立方程，直接求解公差和公比，体现数列基本量的求解逻辑。
（2）将数列前2n项和分为奇数项（错位相减）与偶数项（裂项相消）分别求和，再整合结果，体现数列求和的分类策略与方法的综合应用。
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由，得，即．
又因为，所以，解得，所以．
由，得．又因为，所以，解得，
所以．
（2）当为奇数时，，
记，则
①，
②．
①—②得
，
所以．
当为偶数时，，
记，则
．
所以．
17．【答案】（1）解：当时，，
两式相减得
因为，故.
所以，，及，，均为公差为4的等差数列：
当时，由及，得.
所以
（2）解：由已知，
即恒成立，设，则
当，即，2时，
当，即，时，
所以，故，所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，得到时，，两式相减得到，得到及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）求得，证得为恒成立，设，求得数列的单调性和最大值，即可求解.
18．【答案】（1）∵且an是等差数列
∴，
整理得，
此时，
所以，解得
∴.
（2）由等差数列可设，
则，
∴
①若A=0时，则，此时，，
则，
则
解得
②若B=0时，则，此时，，
同理可得，
则
解得
综上所述
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)结合等差数列通项公式消元，均可以用d表示a1、an、bn；
(2)利用已知条件设等差数列为一次函数型，将已知条件消元整理转化成只含d表示.
19．【答案】（1）解：由数列各项的排列规律，把数列分组，如下：
第1组：；
第2组：；
第3组：；
第4组：；
…
第组：；
…
第组有项，各项的分母均为，分子依次是，
前组共有项，且，
令，解得．
当时，，且，所以．
（2）解：由（1）的分组及题意可知，数列的第项是的第组项的和．
，
当时，，
均符合上式，所以，又为常数，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
所以数列的前项和．
（3）解：由（2）可知，数列的前项和，即数列的前项和，
所以．
令，解得；令，解得．
当时，；当时，．
又，则，
所以存在，使得，成立，且．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的通项公式；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）通过分组找规律，利用前组的项数公式确定的位置，体现数列分组的结构分析。
（2）分析的通项为等差数列，结合等差数列前项和公式求解，体现数列求和的规律识别与公式应用。
（3）结合前组和的表达式，通过不等式确定范围，再逐次计算验证，体现存在性问题的逻辑推理与定量分析。
（1）由数列各项的排列规律，把数列分组，如下：
第1组：；
第2组：；
第3组：；
第4组：；
…
第组：；
…
第组有项，各项的分母均为，分子依次是，
前组共有项，且，
令，解得．
当时，，且，所以．
（2）由（1）的分组及题意可知，数列的第项是的第组项的和．
，
当时，，
均符合上式，所以，又为常数，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
所以数列的前项和．
（3）由（2）可知，数列的前项和，即数列的前项和，
所以．
令，解得；令，解得．
当时，；当时，．
又，则，
所以存在，使得，成立，且．
1 / 1甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2025高二上·卓尼月考）数列的前n项和，则（ ）
A．140 B．120 C．40 D．52
【答案】D
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由，得.
故答案为：D
【分析】本题考查数列前项和与通项的关系，核心思路是利用（），通过计算和的差值得到。
2．（2025高二上·卓尼月考）数列，，，，，的第8项是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：重写数列的前5项，，，，，
通过观察得该数列的通项公式为，，
所以第8项为．
故答案为：B．
【分析】本题考查数列通项公式的观察与推导，核心思路是分别分析分子、分母的规律，归纳出通项公式，再代入项数计算目标项。
3．（2025高二上·卓尼月考）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（ ）
A．18 B．20 C．32 D．66
【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数，
当或时，，故D错误；
当或时，，故C错误；
当或时，，故B正确；
当时，，故A错误．
故答案为：B．
【分析】本题考查数列通项与整数因数的结合，核心思路是通过分析 64 的正因数，代入通项公式验证选项是否为数列的项。
4．（2025高二上·卓尼月考）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，
由题意可得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为d，由题意，根据等差数列前n项和公式列出关于首项和公差d的方程组求数列的首项和公差d，再由等差数列前n项和公式求解即可.
5．（2025高二上·卓尼月考），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故答案为：C
【分析】本题考查含绝对值数列的前n项和，核心思路是先求通项公式，判断项的正负，再利用 “正项和不变，负项和取反” 的方法，结合的公式计算前 12 项和。
6．（2025高二上·卓尼月考）已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（ ）
A． B． C． D．50
【答案】A
【知识点】数列的求和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：由有，令，则，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，
即，故
，当时，符合题意，即.
又由有，
设数列的前项和为，.
故答案为：A.
【分析】本题考查等差数列的构造、累加法求通项与裂项相消求和，核心思路是通过递推关系构造等差数列，利用累加法求，再将裂项后求和。
7．（2025高二上·卓尼月考）已知各项均为整数的数列满足：对任意的，．若，，，则正整数m的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．65 D．66
【答案】B
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题可知：，
则，
因为，且，
所以，
当时，；当时，.
所以正整数m的最大值为64.
故答案为：B.
【分析】本题考查递推数列的单调性与累加求和，核心思路是通过变形递推关系得到差数列的递增性，再累加结合不等式求解m的最大值。
8．（2025高二上·卓尼月考）记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（ ）
A．
B．数列是公差为1的等差数列
C．数列是公比为4的等比数列
D．数列的前2025项和为
【答案】B
【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，时，得，而满足上式，因此数列的通项公式为，
A，，A正确；
B，，则，所以数列是公差为的等差数列，B错误；
C，，则，所以数列是公比为4的等比数列，C正确；
D，令，，数列前2025项和为
，D正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查数列的通项、等差数列与等比数列的判定及求和，核心思路是先由前n项和求出通项，再结合数列的定义与性质逐一分析选项。
9．（2025高二上·卓尼月考）在等差数列中，公差，为其前项和．若，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．若，则的最小值为6
【答案】A,C,D
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：由等差数列的性质及前项和公式，得，
因为，所以，即，所以．
所以．
因为，所以，解得或．
因为，所以，故A正确．
，故B错误．
，故C正确．
因为，所以当时，．，因为，所以当时，．故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】本题考查等差数列的基本量计算与性质应用，核心思路是通过已知条件建立关于和d的方程，求出基本量后，结合通项公式、前n项和公式逐一分析选项。
10．（2025高二上·卓尼月考）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得，解得，
A、由分析可得：，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，，
则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，根据等比数列通项公式以及等比数列的前项和公式列方程组，解出，即可判断A；再根据等比数列的通项公式求解即可判断B；根据等比数列的前项和公式计算即可判断C；根据通项和前项和公式计算即可判断D.
11．（2025高二上·卓尼月考）已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．为递增数列 D．数列的最大项是第3项
【答案】B,C
【知识点】数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：令，，
设等差数列的公差为，又因为是等比数列，所以，即，
解得，于是.
当时，，得，即，
又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，显然也符合，于是，.
A：是等比数列，故A错误
B：因为，所以是各项均为的常数列，
于是是公比为1的等比数列，故B正确；
C：由指数函数的单调性可知，数列为递增数列，故C正确；
D：，假设数列的第项最大，
则，即，解得，因为，
所以或，即数列的第3项和第4项相等且最大，故D错误.
故答案为：BC
【分析】本题考查等差等比数列的综合判定与通项求和，核心思路是利用“既是等差又是等比的数列为常数列”推导，进而求出与的通项，再结合数列的性质逐一分析选项。
12．（2025高二上·卓尼月考）已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式 ．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，
故答案为：.
【分析】本题考查递推数列的通项求解，核心思路是通过构造等比数列，将线性递推关系转化为等比数列的通项问题，进而求出原数列的通项。
13．（2025高二上·卓尼月考）记为等差数列的前项和，若，则 .
【答案】95
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，
所以，解得，则.
故答案为：95.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
14．（2025高二上·卓尼月考）已知为数列的前项和，若，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，所以当时，；
当时，，所以，得，
所以数列从第2项开始，是首项为3，公比为2的等比数列．
所以当时，；
当时，，满足上式，所以．
故答案为：
【分析】本题考查前项和的递推关系与等比数列通项，核心思路是通过与、的关系，推导出的等比数列性质，进而求出通项。
15．（2025高二上·卓尼月考）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）解：数列满足，则，
两式相减可得，则，即等比数列的公比为，
因为，所以，则；
（2）解：由（1）可得：，
则
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的性质求解即可；
（2）由（1）的结论以及等比数列求和公式可得：，再利用分组求和法求解即可.
（1）因为，故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
16．（2025高二上·卓尼月考）已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由，得，即．
又因为，所以，解得，所以．
由，得．又因为，所以，解得，
所以．
（2）解：当为奇数时，，
记，则
①，
②．
①—②得
，
所以．
当为偶数时，，
记，则
．
所以．
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）通过等差数列前n项和公式与等比数列通项公式，结合已知条件建立方程，直接求解公差和公比，体现数列基本量的求解逻辑。
（2）将数列前2n项和分为奇数项（错位相减）与偶数项（裂项相消）分别求和，再整合结果，体现数列求和的分类策略与方法的综合应用。
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由，得，即．
又因为，所以，解得，所以．
由，得．又因为，所以，解得，
所以．
（2）当为奇数时，，
记，则
①，
②．
①—②得
，
所以．
当为偶数时，，
记，则
．
所以．
17．（2025高二上·卓尼月考）已知各项均不为0的数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若对于任意，成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
两式相减得
因为，故.
所以，，及，，均为公差为4的等差数列：
当时，由及，得.
所以
（2）解：由已知，
即恒成立，设，则
当，即，2时，
当，即，时，
所以，故，所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，得到时，，两式相减得到，得到及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）求得，证得为恒成立，设，求得数列的单调性和最大值，即可求解.
18．（2025高二上·卓尼月考）设等差数列 的公差为 ， 且 ， 令 ，记 分别为数列 ，的前项和.
（1）若，求 的通项公式；
（2）若为等差数列， 且 ，求 .
【答案】（1）∵且an是等差数列
∴，
整理得，
此时，
所以，解得
∴.
（2）由等差数列可设，
则，
∴
①若A=0时，则，此时，，
则，
则
解得
②若B=0时，则，此时，，
同理可得，
则
解得
综上所述
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)结合等差数列通项公式消元，均可以用d表示a1、an、bn；
(2)利用已知条件设等差数列为一次函数型，将已知条件消元整理转化成只含d表示.
19．（2025高二上·卓尼月考）无穷数列的各项按如下规律排列：，数列的前项和为．
（1）求．
（2）若数列的各项为，求数列的前项和．
（3）是否存在正整数，使得，成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由数列各项的排列规律，把数列分组，如下：
第1组：；
第2组：；
第3组：；
第4组：；
…
第组：；
…
第组有项，各项的分母均为，分子依次是，
前组共有项，且，
令，解得．
当时，，且，所以．
（2）解：由（1）的分组及题意可知，数列的第项是的第组项的和．
，
当时，，
均符合上式，所以，又为常数，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
所以数列的前项和．
（3）解：由（2）可知，数列的前项和，即数列的前项和，
所以．
令，解得；令，解得．
当时，；当时，．
又，则，
所以存在，使得，成立，且．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的通项公式；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）通过分组找规律，利用前组的项数公式确定的位置，体现数列分组的结构分析。
（2）分析的通项为等差数列，结合等差数列前项和公式求解，体现数列求和的规律识别与公式应用。
（3）结合前组和的表达式，通过不等式确定范围，再逐次计算验证，体现存在性问题的逻辑推理与定量分析。
（1）由数列各项的排列规律，把数列分组，如下：
第1组：；
第2组：；
第3组：；
第4组：；
…
第组：；
…
第组有项，各项的分母均为，分子依次是，
前组共有项，且，
令，解得．
当时，，且，所以．
（2）由（1）的分组及题意可知，数列的第项是的第组项的和．
，
当时，，
均符合上式，所以，又为常数，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
所以数列的前项和．
（3）由（2）可知，数列的前项和，即数列的前项和，
所以．
令，解得；令，解得．
当时，；当时，．
又，则，
所以存在，使得，成立，且．
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