广东省广州市天河外国语学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷
1．（2025高二上·天河月考）“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，即，解得或．
当时，两直线分别为，，不重合满足题意；
当时，两直线分别为，，不重合满足题意，
故由直线与直线平行可得或，
所以“直线与直线平行”不能推出“”，反之可以.
故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据两直线平行的条件求出参数的取值，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断.
2．（2025高二上·天河月考）已知空间向量，共线，m，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：由题设有非零向量共线，则存在实数，使得，故，
故，故．
故答案为：C．
【分析】根据空间向量共线的性质，若两向量共线，则存在实数使得一个向量是另一个向量的倍，由此建立方程组求解参数，进而得出结果.
3．（2025高二上·天河月考）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，在四面体中，是四面体的棱的中点，∴，
∴
∵，∴，∴，
故答案为：C.
【分析】通过向量的线性运算，逐步将用、、表示出来，再根据表达式求出的值.
4．（2025高二上·天河月考）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，
由题意可得：，
因为，所以，所以，
则，即，，
则直线的倾斜角的取值范围是.
故答案为：D．
【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率公式表示，由，求得斜率的范围，即可求出倾斜角的范围.
5．（2025高二上·天河月考）如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解： 由题意知，平面平面，如图，连接．
因为四边形是菱形，是的中点，所以，
又平面平面平面，所以平面，
又平面，所以，从而两两互相垂直．
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
令，则，，，，，，
则，．
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，得平面的一个法向量为．
易知平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
故答案为：A．
【分析】根据面面垂直的性质建立空间直角坐标系，再求出相关点的坐标和向量，最后利用空间向量的夹角公式求解二面角的余弦值.
6．（2025高二上·天河月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），
设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2），
∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，
所以N到该面的距离为
故答案为：D．
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求点到平面的距离，再结合是中点的性质，得到到平面的距离。
7．（2025高二上·天河月考）二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由条件，知．
即，，即，
所以二面角的大小为.
故答案为：B．
【分析】将向量分解为，利用向量模的平方等于向量自身平方，结合向量数量积的性质，求出两个半平面内直线方向向量的夹角，进而得到二面角的大小.
8．（2025高二上·天河月考）如图，在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轨迹方程；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
设，则，，，
又，，
整理得，
联立方程，则，可得，解得，
当时，；当时，，
记的中垂面为，又是内（包括边界）的动点，在空间中满足，
点的轨迹是平面与三角形的公共部分，
即点的轨迹为线段，则，
故答案为：.
【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式结合条件列出方程，确定点的轨迹为线段，再求出轨迹的两个端点，最后计算线段长度.
9．（2025高二上·天河月考）下列命题中正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
【答案】A,C
【知识点】空间向量的概念；空间向量基本定理；共面向量定理；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A：因为，所以本选项命题正确；
B：因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以直线与平面所成的角等于，因此本选项命题不正确；
C：假设不是空间一个基底，所以有成立，
因为组是空间的一个基底，所以可得，显然该方程组没有实数解，
因此假设不成立，所以也是空间的一个基底，因此本选项命题正确；
D：因为只有当时，四点才共面，所以本选项命题不正确，
故答案为：AC
【分析】根据空间向量的运算规则、线面角的定义、空间基底的判定条件以及四点共面的性质，逐一分析每个选项的正确性.
10．（2025高二上·天河月考）在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（ ）
A．若点为的中点，则平面平面
B．
C．点到平面距离的最小值为
D．异面直线，所成角的取值范围是
【答案】B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以D为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图，
得：，
对A，若点P为的中点，则，
设平面的法向量为，，，
由，取，得，
设平面的法向量为，，
由，取，得，显然不平行，
即平面平面不成立，故A错误；
对B，设，则，，
则，故，故B正确；
对C，设，，平面的一个法向量为，
则点P到平面距离为，
∵，，∴当时，取得最小值为，故C错误；
对D，设，，
设异面直线所成角为，则，
由，得，则，
则，又，则，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】建立空间直角坐标系，通过向量运算分析平面平行、线线垂直、点到平面的距离以及异面直线所成角的问题，逐一判断各选项的正确性.
11．（2025高二上·天河月考）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（ ）
A．平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形
B．向量在向量上的投影向量的模为
C．存在点P，使得
D．点P到棱距离的最小值为
【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对A，如图直线与、的延长线分别交于、，连接、分别交、于、，连接、，
则五边形即为所得的截面图形，故A正确；
对B，，所以向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以，所以
所以向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量的模为，故B错误；
对C，借助B选项，，，，，
设，其中，所以，
又、、，所以，，，假设存在点，使得，
所以，整理得，
所以（舍去）或，故存在点，使得，故C正确；
对D ，由上知，所以点在的射影为，
所以点到的距离为：，
所以当时，，故D错误，
故答案为：AC．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算、截面图形绘制、投影向量计算及点到直线距离公式，逐一分析各选项的正确性.
12．（2025高二上·天河月考）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：当时，，故直线不过原点，
则直线一定通过三个象限，而直线不过第一象限，
故其必过第二，三，四象限，得到，解得.
故答案为：
【分析】分析直线的截距特征，再结合一次函数的斜率与象限分布的关系，确定斜率的取值范围，进而求解实数的取值范围.
13．（2025高二上·天河月考）已知点，点，点，则点到直线的距离为 .
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为点，点，点，
所以，
取
则，
得点到直线的距离为：，
故答案为：
【分析】利用向量的投影公式，先求向量在直线方向向量上的投影长度，再结合勾股定理计算点到直线的距离。
14．（2025高二上·天河月考）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ．
【答案】；
【知识点】球内接多面体；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积，
因为，
因为点在正方体表面上运动，所以，故范围为
故答案为：，．
【分析】根据正方体外接球的半径与正方体棱长的关系求出棱长，进而计算体积；再将向量数量积化简为与相关的表达式，结合在正方体表面运动时的范围求解数量积的范围.
15．（2025高二上·天河月考）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．
（1）在轴、轴上的截距互为相反数；
（2）与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
【答案】（1）解：①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（2）解：由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，
将代入可得，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
故此时面积最小为，故直线方程为，即
【知识点】直线的截距式方程；待定系数法求直线方程
【解析】【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况，结合截距的关系求解直线方程；
（2）设出直线的截距式方程，代入已知点坐标，利用基本不等式求三角形面积的最小值，进而得到直线方程.
（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得，
故，故，当且仅当，即时等号成立，
故此时面积最小为，
故直线方程为，即
16．（2025高二上·天河月考）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大．
（1）求直线的方程；
（2）若点在直线上，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，
则的倾斜角为，可知的斜率，
所以的方程为，即
（2）解：表示与点连线的斜率，
又是直线在部分上的动点，如下图示：
则，直线AB的斜率不存在，则，
即的取值范围为.
【知识点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）直线方程：先由已知直线的斜率得倾斜角，再计算直线的倾斜角与斜率，最后用点斜式写方程。
（2）取值范围：将用表示后，化简分式为“常数+分式”的形式，结合的范围，分析分式部分的取值，进而得到整体的范围。
（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，
则的倾斜角为，可知的斜率，
所以的方程为，即；
（2）表示与点连线的斜率，
又是直线在部分上的动点，如下图示：
则，直线AB的斜率不存在，则，
即的取值范围为.
17．（2025高二上·天河月考）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动.
（1）求证：直线平面；
（2）a为何值时，的长最小
（3）为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明：在平面内，过点作，交于点，连接，如图所示：
因为，所以，
由已知可得，，，则，，，，
又因为，所以，
因为平面，，平面，所以平面，
同理可得，平面，
因为平面，平面，，所以平面平面，
因为平面，所以直线平面
（2）解：由（1）可知，，，则，，
同理可得，，
又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，所以是直角三角形，
所以，
又因为，所以，即为线段中点时，有最小值，
则当时，的长度最小，最小值为；
（3）解：由（2）知，平面，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，设，，
，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，则是平面的一个法向量，
因为，
设与平面所成的角为，则，
当时，；
当时，，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以，，
所以，
因为，所以，
综上所述，与平面所成角的正弦值的最大值为.
【知识点】基本不等式；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）过点作，交于点，连接，由题意证明，再根据线面平行以及面面平行的判定证明平面平面，最后根据面面平行的性质证明即可；
（2）先求出，，根据面面垂直的性质定理以及（1）结论推得，根据勾股定理得出，结合的取值范围求解即可；
（3）由（2）知，平面，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出，以及平面的一个法向量，设线面角为，根据向量表示出，分以及结合基本不等式求解即可.
（1）如图1，在平面内，过点作，交于点，连接，
因为，所以.
由已知可得，，，
所以，，，
所以，，
所以，.
又，所以.
因为平面，，平面，
所以，平面.
同理可得，平面.
因为平面，平面，，
所以，平面平面.
因为平面，所以直线平面.
（2）由（1）可知，，，
所以，，
所以，.
同理可得，.
又平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面.
因为平面，所以.
因为，，所以.
所以，是直角三角形，
所以，
.
又，所以，即为线段中点时，有最小值，
所以，当时，的长度最小，最小值为.
（3）由（2）知，平面.
又，
如图2，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，，
所以，，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，则是平面的一个法向量.
因为.
设与平面所成的角为，
则.
当时，；
当时，
有
.
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，，，
所以，.
因为，所以.
综上所述，与平面所成角的正弦值的最大值为.
18．（2025高二上·天河月考）如图，是矩形的对角线，以为折痕将折起，使点到达点的位置.
（1）若，证明：平面平面.
（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：过点作，垂足为，连接，则，
所以就是二面角的平面角.
因为，所以，
作，垂足为，则，
因为，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面ABCD，
所以.
过作垂足为，
因为，所以，
所以，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值是.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)通过线面垂直的判定定理，先证平面得，再结合证平面，最终由面面垂直判定定理得结论。
(2)先由二面角求出点的坐标，再求平面的法向量，利用线面角公式（线面角的正弦值等于直线方向向量与法向量夹角的余弦值）计算。
（1）因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）过点作，垂足为，连接，则，
所以就是二面角的平面角.
因为，所以，
作，垂足为，则，
因为，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面ABCD，
所以.
过作垂足为，
因为，所以，
所以，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值是.
19．（2025高二上·天河月考）在空间直角坐标系中，已知向量（其中a、b、c不同时为0），点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，将其整理为一般式方程为，其中.
（1）已知直线的方程为，直线的方程为，求直线与所成角的余弦值；
（2）若直线与直线都在平面内，求平面的一般方程；
（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求实数m的值.
【答案】（1）解：由直线的方程为，可知直线的一个方向向量坐标为，
由直线的方程为，可知的一个方向向量为，
设直线与所成角为，所以，
即直线与所成角的余弦值为.
（2）解：由题意可知，直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，则，解得，
取，则，易知直线过点，
所以，平面的方程为.
即.
（3）解：因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量为，则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为，
则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
由，则，解得.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据直线的标准方程求出方向向量，再利用空间向量的夹角公式求解异面直线所成角的余弦值；
（2）求出两条直线的方向向量，再找平面内的一个点，进而求出平面的法向量，得到平面的一般方程；
（3）先求出平面的法向量，再结合平面的一般式方程求出实数的值.
（1）由直线的方程为，
可知直线的一个方向向量坐标为，
由直线的方程为，
可知的一个方向向量为，
设直线与所成角为，
所以，
即直线与所成角的余弦值为.
（2）由题意可知，直线的一个方向向量为，
直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，则，
解得，取，则，
易知直线过点，所以，平面的方程为.
即.
（3）因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量为，
则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为，
则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
由，则，解得.
1 / 1广东省广州市天河外国语学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷
1．（2025高二上·天河月考）“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025高二上·天河月考）已知空间向量，共线，m，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025高二上·天河月考）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·天河月考）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·天河月考）如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·天河月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·天河月考）二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
8．（2025高二上·天河月考）如图，在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·天河月考）下列命题中正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
10．（2025高二上·天河月考）在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（ ）
A．若点为的中点，则平面平面
B．
C．点到平面距离的最小值为
D．异面直线，所成角的取值范围是
11．（2025高二上·天河月考）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（ ）
A．平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形
B．向量在向量上的投影向量的模为
C．存在点P，使得
D．点P到棱距离的最小值为
12．（2025高二上·天河月考）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ．
13．（2025高二上·天河月考）已知点，点，点，则点到直线的距离为 .
14．（2025高二上·天河月考）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ．
15．（2025高二上·天河月考）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．
（1）在轴、轴上的截距互为相反数；
（2）与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
16．（2025高二上·天河月考）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大．
（1）求直线的方程；
（2）若点在直线上，且，求的取值范围．
17．（2025高二上·天河月考）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动.
（1）求证：直线平面；
（2）a为何值时，的长最小
（3）为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
18．（2025高二上·天河月考）如图，是矩形的对角线，以为折痕将折起，使点到达点的位置.
（1）若，证明：平面平面.
（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2025高二上·天河月考）在空间直角坐标系中，已知向量（其中a、b、c不同时为0），点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，将其整理为一般式方程为，其中.
（1）已知直线的方程为，直线的方程为，求直线与所成角的余弦值；
（2）若直线与直线都在平面内，求平面的一般方程；
（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求实数m的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，即，解得或．
当时，两直线分别为，，不重合满足题意；
当时，两直线分别为，，不重合满足题意，
故由直线与直线平行可得或，
所以“直线与直线平行”不能推出“”，反之可以.
故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据两直线平行的条件求出参数的取值，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断.
2．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：由题设有非零向量共线，则存在实数，使得，故，
故，故．
故答案为：C．
【分析】根据空间向量共线的性质，若两向量共线，则存在实数使得一个向量是另一个向量的倍，由此建立方程组求解参数，进而得出结果.
3．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，在四面体中，是四面体的棱的中点，∴，
∴
∵，∴，∴，
故答案为：C.
【分析】通过向量的线性运算，逐步将用、、表示出来，再根据表达式求出的值.
4．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，
由题意可得：，
因为，所以，所以，
则，即，，
则直线的倾斜角的取值范围是.
故答案为：D．
【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率公式表示，由，求得斜率的范围，即可求出倾斜角的范围.
5．【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解： 由题意知，平面平面，如图，连接．
因为四边形是菱形，是的中点，所以，
又平面平面平面，所以平面，
又平面，所以，从而两两互相垂直．
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
令，则，，，，，，
则，．
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，得平面的一个法向量为．
易知平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
故答案为：A．
【分析】根据面面垂直的性质建立空间直角坐标系，再求出相关点的坐标和向量，最后利用空间向量的夹角公式求解二面角的余弦值.
6．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），
设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2），
∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，
所以N到该面的距离为
故答案为：D．
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求点到平面的距离，再结合是中点的性质，得到到平面的距离。
7．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由条件，知．
即，，即，
所以二面角的大小为.
故答案为：B．
【分析】将向量分解为，利用向量模的平方等于向量自身平方，结合向量数量积的性质，求出两个半平面内直线方向向量的夹角，进而得到二面角的大小.
8．【答案】B
【知识点】轨迹方程；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
设，则，，，
又，，
整理得，
联立方程，则，可得，解得，
当时，；当时，，
记的中垂面为，又是内（包括边界）的动点，在空间中满足，
点的轨迹是平面与三角形的公共部分，
即点的轨迹为线段，则，
故答案为：.
【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式结合条件列出方程，确定点的轨迹为线段，再求出轨迹的两个端点，最后计算线段长度.
9．【答案】A,C
【知识点】空间向量的概念；空间向量基本定理；共面向量定理；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A：因为，所以本选项命题正确；
B：因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以直线与平面所成的角等于，因此本选项命题不正确；
C：假设不是空间一个基底，所以有成立，
因为组是空间的一个基底，所以可得，显然该方程组没有实数解，
因此假设不成立，所以也是空间的一个基底，因此本选项命题正确；
D：因为只有当时，四点才共面，所以本选项命题不正确，
故答案为：AC
【分析】根据空间向量的运算规则、线面角的定义、空间基底的判定条件以及四点共面的性质，逐一分析每个选项的正确性.
10．【答案】B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以D为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图，
得：，
对A，若点P为的中点，则，
设平面的法向量为，，，
由，取，得，
设平面的法向量为，，
由，取，得，显然不平行，
即平面平面不成立，故A错误；
对B，设，则，，
则，故，故B正确；
对C，设，，平面的一个法向量为，
则点P到平面距离为，
∵，，∴当时，取得最小值为，故C错误；
对D，设，，
设异面直线所成角为，则，
由，得，则，
则，又，则，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】建立空间直角坐标系，通过向量运算分析平面平行、线线垂直、点到平面的距离以及异面直线所成角的问题，逐一判断各选项的正确性.
11．【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对A，如图直线与、的延长线分别交于、，连接、分别交、于、，连接、，
则五边形即为所得的截面图形，故A正确；
对B，，所以向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以，所以
所以向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量的模为，故B错误；
对C，借助B选项，，，，，
设，其中，所以，
又、、，所以，，，假设存在点，使得，
所以，整理得，
所以（舍去）或，故存在点，使得，故C正确；
对D ，由上知，所以点在的射影为，
所以点到的距离为：，
所以当时，，故D错误，
故答案为：AC．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算、截面图形绘制、投影向量计算及点到直线距离公式，逐一分析各选项的正确性.
12．【答案】
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：当时，，故直线不过原点，
则直线一定通过三个象限，而直线不过第一象限，
故其必过第二，三，四象限，得到，解得.
故答案为：
【分析】分析直线的截距特征，再结合一次函数的斜率与象限分布的关系，确定斜率的取值范围，进而求解实数的取值范围.
13．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为点，点，点，
所以，
取
则，
得点到直线的距离为：，
故答案为：
【分析】利用向量的投影公式，先求向量在直线方向向量上的投影长度，再结合勾股定理计算点到直线的距离。
14．【答案】；
【知识点】球内接多面体；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积，
因为，
因为点在正方体表面上运动，所以，故范围为
故答案为：，．
【分析】根据正方体外接球的半径与正方体棱长的关系求出棱长，进而计算体积；再将向量数量积化简为与相关的表达式，结合在正方体表面运动时的范围求解数量积的范围.
15．【答案】（1）解：①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（2）解：由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，
将代入可得，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
故此时面积最小为，故直线方程为，即
【知识点】直线的截距式方程；待定系数法求直线方程
【解析】【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况，结合截距的关系求解直线方程；
（2）设出直线的截距式方程，代入已知点坐标，利用基本不等式求三角形面积的最小值，进而得到直线方程.
（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得，
故，故，当且仅当，即时等号成立，
故此时面积最小为，
故直线方程为，即
16．【答案】（1）解：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，
则的倾斜角为，可知的斜率，
所以的方程为，即
（2）解：表示与点连线的斜率，
又是直线在部分上的动点，如下图示：
则，直线AB的斜率不存在，则，
即的取值范围为.
【知识点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）直线方程：先由已知直线的斜率得倾斜角，再计算直线的倾斜角与斜率，最后用点斜式写方程。
（2）取值范围：将用表示后，化简分式为“常数+分式”的形式，结合的范围，分析分式部分的取值，进而得到整体的范围。
（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，
则的倾斜角为，可知的斜率，
所以的方程为，即；
（2）表示与点连线的斜率，
又是直线在部分上的动点，如下图示：
则，直线AB的斜率不存在，则，
即的取值范围为.
17．【答案】（1）证明：在平面内，过点作，交于点，连接，如图所示：
因为，所以，
由已知可得，，，则，，，，
又因为，所以，
因为平面，，平面，所以平面，
同理可得，平面，
因为平面，平面，，所以平面平面，
因为平面，所以直线平面
（2）解：由（1）可知，，，则，，
同理可得，，
又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，所以是直角三角形，
所以，
又因为，所以，即为线段中点时，有最小值，
则当时，的长度最小，最小值为；
（3）解：由（2）知，平面，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，设，，
，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，则是平面的一个法向量，
因为，
设与平面所成的角为，则，
当时，；
当时，，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以，，
所以，
因为，所以，
综上所述，与平面所成角的正弦值的最大值为.
【知识点】基本不等式；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）过点作，交于点，连接，由题意证明，再根据线面平行以及面面平行的判定证明平面平面，最后根据面面平行的性质证明即可；
（2）先求出，，根据面面垂直的性质定理以及（1）结论推得，根据勾股定理得出，结合的取值范围求解即可；
（3）由（2）知，平面，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出，以及平面的一个法向量，设线面角为，根据向量表示出，分以及结合基本不等式求解即可.
（1）如图1，在平面内，过点作，交于点，连接，
因为，所以.
由已知可得，，，
所以，，，
所以，，
所以，.
又，所以.
因为平面，，平面，
所以，平面.
同理可得，平面.
因为平面，平面，，
所以，平面平面.
因为平面，所以直线平面.
（2）由（1）可知，，，
所以，，
所以，.
同理可得，.
又平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面.
因为平面，所以.
因为，，所以.
所以，是直角三角形，
所以，
.
又，所以，即为线段中点时，有最小值，
所以，当时，的长度最小，最小值为.
（3）由（2）知，平面.
又，
如图2，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，，
所以，，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，则是平面的一个法向量.
因为.
设与平面所成的角为，
则.
当时，；
当时，
有
.
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，，，
所以，.
因为，所以.
综上所述，与平面所成角的正弦值的最大值为.
18．【答案】（1）证明：因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：过点作，垂足为，连接，则，
所以就是二面角的平面角.
因为，所以，
作，垂足为，则，
因为，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面ABCD，
所以.
过作垂足为，
因为，所以，
所以，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值是.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)通过线面垂直的判定定理，先证平面得，再结合证平面，最终由面面垂直判定定理得结论。
(2)先由二面角求出点的坐标，再求平面的法向量，利用线面角公式（线面角的正弦值等于直线方向向量与法向量夹角的余弦值）计算。
（1）因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）过点作，垂足为，连接，则，
所以就是二面角的平面角.
因为，所以，
作，垂足为，则，
因为，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面ABCD，
所以.
过作垂足为，
因为，所以，
所以，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值是.
19．【答案】（1）解：由直线的方程为，可知直线的一个方向向量坐标为，
由直线的方程为，可知的一个方向向量为，
设直线与所成角为，所以，
即直线与所成角的余弦值为.
（2）解：由题意可知，直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，则，解得，
取，则，易知直线过点，
所以，平面的方程为.
即.
（3）解：因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量为，则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为，
则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
由，则，解得.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据直线的标准方程求出方向向量，再利用空间向量的夹角公式求解异面直线所成角的余弦值；
（2）求出两条直线的方向向量，再找平面内的一个点，进而求出平面的法向量，得到平面的一般方程；
（3）先求出平面的法向量，再结合平面的一般式方程求出实数的值.
（1）由直线的方程为，
可知直线的一个方向向量坐标为，
由直线的方程为，
可知的一个方向向量为，
设直线与所成角为，
所以，
即直线与所成角的余弦值为.
（2）由题意可知，直线的一个方向向量为，
直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，则，
解得，取，则，
易知直线过点，所以，平面的方程为.
即.
（3）因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量为，
则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为，
则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
由，则，解得.
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