广东省广州市天省实验学校2025-2026学年高二上学期第一次段考质量检测数学试题
1．（2025高二上·天河月考）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·天河月考）已知，则直线经过 （ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
3．（2025高二上·天河月考）若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（ ）
A．5 B． C． D．
4．（2025高二上·天河月考）如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，N是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·天河月考）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
6．（2025高二上·天河月考）已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
7．（2025高二上·天河月考）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高二上·天河月考）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（2025高二上·天河月考）已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．当m＝1时，直线l的倾斜角为
C．当m＝0时，直线l的斜率不存在
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
10．（2025高二上·天河月考）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知两个向量，且，则
B．已知，则在上的投影向量为
C．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
11．（2025高二上·天河月考）在正方体中，动点满足，则（ ）
A．是平面的法向量
B．不共面
C．三棱锥的体积是定值
D．与底面所成的角最小为
12．（2025高二上·天河月考）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为
13．（2025高二上·天河月考）已知//面，平面的一个法向量，平面内一点的坐标为，点的坐标为，则直线到平面的距离为 ．
14．（2025高二上·天河月考）如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为 .
15．（2025高二上·天河月考）已知平行六面体的底面是边长为的正方形，且，．
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值．
16．（2025高二上·天河月考）已知直线．
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
17．（2025高二上·天河月考）已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的一般式方程．
18．（2025高二上·天河月考）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥(如图2)，使得平面平面ABCM.
（1）求证：；
（2）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为
19．（2025高二上·天河月考）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面上的投影为的中点D，且.
（1）求点到直线的距离；
（2）求点C到侧面的距离；
（3）在线段上是否存在点E，使得直线与侧面所成角的正弦值为 若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称的规律是：y、z坐标保持不变，x坐标取相反数。
2．【答案】B
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：由于，故直线可变形为，
故，因此直线经过第一、三、四象限。
故答案为：B
【分析】将直线方程化为斜截式，通过、判断斜率和截距的符号，进而确定直线经过的象限。
3．【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
，故，
故答案为：C.
【分析】算，由于向量模长可通过平方后开方求解，所以先对进行平方，用向量数量积运算规则展开，代入已知条件计算，最后开方得到结果.
4．【答案】A
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∵，，
∴．
故答案为：A．
【分析】表示出，用空间向量的线性运算，将其转化为已知向量，，的组合.找到与相关的向量，比如可通过与来表示（或其他向量组合 ），根据已知的点的位置关系（是中点、 ），用向量的加减法、数乘运算规则进行转化.
5．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B
【分析】将用、表示，再利用正四面体中向量的夹角（均为）和数量积公式计算。
6．【答案】A
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为四点共面，所以向量共面，即存在实数使得，
又，，，
所以，
所以，解得，则.
故答案为：A.
【分析】四点共面等价于向量、、共面，即存在实数、使得，列方程组求解即可。
7．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由于点满足关系式，且，
可知在线段上移动，且
设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】将看作线段上的点与定点连线的斜率，先确定线段端点，再计算端点与的斜率，结合线段的位置确定斜率范围。
8．【答案】D
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点，
连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是棱上一动点，设，且，
因为，且，
所以，于是令，
所以，，
又函数在上为增函数，
所以当时，，即线段长度的最小值为.
故答案为：D.
【分析】建立空间直角坐标系，用参数表示动点M的坐标，结合线段比例关系得到MN的表达式，再通过函数最值求解最小值。
9．【答案】B,D
【知识点】直线的倾斜角；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：A，直线，令，解得直线l恒过定点，选项A错误；
B，当m＝1时，设直线l的方程为，斜率为，倾斜角为，选项B正确；
C，当m＝0时，直线l的方程化为，斜率为，斜率存在，选项C错误；
D，当m＝2时，直线，所以．
由，，可得，得，
所以直线l与直线AB垂直，选项D正确．
故答案为：BD．
【分析】对每个选项，分别根据直线方程的特点、斜率与倾斜角的关系、两直线垂直的判定条件，逐一分析判断.
10．【答案】A,B,C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：A：因为，所以，
因为，所以，解得，所以，故A正确；
B：因为，所以，，
所以在上的投影向量为，故B正确；
C：设是空间中的一组基底，则不共面，假设共面，则，显然无解，所以不共面，则也是空间的一组基底，故C正确；
D：，但，则四点不共面，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】围绕空间向量的共线、投影向量、基底、四点共面等核心知识展开.依据各知识点的定义与判定方法，分别对选项A、B、C、D进行分析，判断其正确性.
11．【答案】A,C,D
【知识点】共面向量定理；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设正方体的边长为1，则，.所以，.所以，.所以.
又平面，所以平面，
所以是平面的法向量，A正确.
因为，，所以又因为，，假设共面，则存在实数，使得，即.则有，
所以共面，故B错.
因为动点满足，所以点在上运动.三棱锥的体积满足：.，
到平面的距离为.
根据三棱锥体积公式：.
所以三棱锥的体积是定值，C正确.
因为，底面法向量为.设与底面所成的角为，
则，
因为，当或时，为最大值，对应，
此时为最小值，故D对.
故答案为：ACD.
【分析】通过建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算、线面垂直判定、共面向量定理、三棱锥体积公式及线面角的定义，对每个选项逐一分析.
12．【答案】2
【知识点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线平行，∴设直线的方程为，且，
又直线过点，∴，得，故直线的方程为.
故答案为：.
【分析】用两直线平行的性质，先设出与已知直线平行的直线方程的一般形式，再将已知点代入方程求出未知参数，从而得到直线方程.
13．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为//面，所以直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，
又，则点到平面的距离.
故答案为：
【分析】用线面平行的性质，将直线到平面的距离转化为直线上某点到平面的距离，再结合空间中点到平面的距离公式（利用平面法向量）进行计算.
14．【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
可得，
因为，即，可得，
则，则，整理可得，
可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，
所以端点的轨迹长度为.
故答案为：.
【分析】建立空间直角坐标系，利用垂直条件确定动点M的轨迹，再计算轨迹长度。
15．【答案】（1）证明：设，，
由题可知：的夹角为，夹角为
且，，于是
由
所以即证.
（2）解：由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）要证明，利用空间向量垂直的判定，即若两向量数量积为，则两向量垂直.通过选定合适的基向量，将和用基向量表示，计算它们的数量积来证明.
（2）求异面直线与夹角的余弦值，依据异面直线所成角的向量求法，先求出分别与两条异面直线平行的向量和，再计算这两个向量夹角的余弦值，最后结合异面直线夹角的范围确定最终结果.
（1）设，，
由题可知：的夹角为，夹角为
且，，于是
由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
16．【答案】（1）证明：因为直线，即，所以直线恒过定点．
（2）解：由题知，，则，由，解得，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
此时直线的方程为，即，
综上，的最小值为4．且此时直线的方程为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程；恒过定点的直线
【解析】【分析】（1）将直线方程整理为关于的线性式，通过令的系数和常数项分别为，求解定点坐标；
（2）先求出直线与坐标轴的交点坐标，根据交点的正负性确定的范围，再将三角形面积表示为关于的函数，利用基本不等式求最小值及对应的直线方程.
（1）因为直线，
即，所以直线恒过定点．
（2）由题知，，则，
由，解得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时直线的方程为，即，
综上，的最小值为4．
且此时直线的方程为．
17．【答案】（1）解：设，AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为，
∴，解得，
∴．
（2）解：设，则，解得，
∴，则．
∴直线BC的方程为，即为.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）通过设点的坐标，结合中线所在直线方程和高线的垂直关系（斜率之积为）建立方程组，求解的坐标；
（2）设点的坐标，利用点在高线上和中点在中线上的条件建立方程组，求出的坐标后，再用两点式求直线的方程并整理为一般式.
（1）设，AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为，
∴，解得，
∴．
（2）设，则，解得，
∴，则．
∴直线BC的方程为，即为.
18．【答案】（1）解：因为平面平面ABCM，且平面平面，
又因为，且，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）解：过点M作平面ABCM的垂线，并以此线为z轴，以MA为x轴，MB为y轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，，
因为点E是线段上的一动点，设，
所以，
所以，
易得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
因为即，
不妨取，则，
则，
因为二面角的余弦值为，
所以，
解得或（舍去），
故点E在线段三等分点且靠近B点时，
二面角的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）线线垂直证明：利用面面垂直的性质，先证线面垂直，再得线线垂直。
（2）二面角与点的位置：建立空间直角坐标系，设出点的参数坐标，求两个平面的法向量，利用二面角的余弦值公式列方程，求解参数确定点的位置。
19．【答案】（1）解：因为点在底面上的投影为的中点，所以平面，
又平面，故，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，点为的中点，故，
所以两两垂直，故以点为坐标原点，直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，则，，
因为侧面为菱形，所以，又，所以，
则，，，，，，
，，
所以点到直线的距离为.
（2）解：，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
故，
所以点到平面的距离为.
（3）解：假设存在满足条件的点，
则存在，使得，
则，
因为直线与侧面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，
又，故，
因此存在满足条件的点，且，即．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）点到直线的距离：利用向量投影，结合 距离公式 计算。
（2）点到平面的距离：先求平面法向量，再用点面距离公式（向量点积除以法向量模长）。
（3）线面角问题：设出点的坐标，利用线面角的向量公式列方程，求解参数判断存在性。
（1）因为点在底面上的投影为的中点，所以平面，
又平面，故，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，点为的中点，故，
所以两两垂直，故以点为坐标原点，直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，则，，
因为侧面为菱形，所以，又，所以，
则，，，，，，
，，
所以点到直线的距离为.
（2），，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
故，
所以点到平面的距离为.
（3）假设存在满足条件的点，
则存在，使得，
则，
因为直线与侧面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，
又，故，
因此存在满足条件的点，且，即．
1 / 1广东省广州市天省实验学校2025-2026学年高二上学期第一次段考质量检测数学试题
1．（2025高二上·天河月考）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称的规律是：y、z坐标保持不变，x坐标取相反数。
2．（2025高二上·天河月考）已知，则直线经过 （ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：由于，故直线可变形为，
故，因此直线经过第一、三、四象限。
故答案为：B
【分析】将直线方程化为斜截式，通过、判断斜率和截距的符号，进而确定直线经过的象限。
3．（2025高二上·天河月考）若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
，故，
故答案为：C.
【分析】算，由于向量模长可通过平方后开方求解，所以先对进行平方，用向量数量积运算规则展开，代入已知条件计算，最后开方得到结果.
4．（2025高二上·天河月考）如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，N是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∵，，
∴．
故答案为：A．
【分析】表示出，用空间向量的线性运算，将其转化为已知向量，，的组合.找到与相关的向量，比如可通过与来表示（或其他向量组合 ），根据已知的点的位置关系（是中点、 ），用向量的加减法、数乘运算规则进行转化.
5．（2025高二上·天河月考）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B
【分析】将用、表示，再利用正四面体中向量的夹角（均为）和数量积公式计算。
6．（2025高二上·天河月考）已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】A
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为四点共面，所以向量共面，即存在实数使得，
又，，，
所以，
所以，解得，则.
故答案为：A.
【分析】四点共面等价于向量、、共面，即存在实数、使得，列方程组求解即可。
7．（2025高二上·天河月考）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由于点满足关系式，且，
可知在线段上移动，且
设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】将看作线段上的点与定点连线的斜率，先确定线段端点，再计算端点与的斜率，结合线段的位置确定斜率范围。
8．（2025高二上·天河月考）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点，
连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是棱上一动点，设，且，
因为，且，
所以，于是令，
所以，，
又函数在上为增函数，
所以当时，，即线段长度的最小值为.
故答案为：D.
【分析】建立空间直角坐标系，用参数表示动点M的坐标，结合线段比例关系得到MN的表达式，再通过函数最值求解最小值。
9．（2025高二上·天河月考）已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．当m＝1时，直线l的倾斜角为
C．当m＝0时，直线l的斜率不存在
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
【答案】B,D
【知识点】直线的倾斜角；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：A，直线，令，解得直线l恒过定点，选项A错误；
B，当m＝1时，设直线l的方程为，斜率为，倾斜角为，选项B正确；
C，当m＝0时，直线l的方程化为，斜率为，斜率存在，选项C错误；
D，当m＝2时，直线，所以．
由，，可得，得，
所以直线l与直线AB垂直，选项D正确．
故答案为：BD．
【分析】对每个选项，分别根据直线方程的特点、斜率与倾斜角的关系、两直线垂直的判定条件，逐一分析判断.
10．（2025高二上·天河月考）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知两个向量，且，则
B．已知，则在上的投影向量为
C．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
【答案】A,B,C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：A：因为，所以，
因为，所以，解得，所以，故A正确；
B：因为，所以，，
所以在上的投影向量为，故B正确；
C：设是空间中的一组基底，则不共面，假设共面，则，显然无解，所以不共面，则也是空间的一组基底，故C正确；
D：，但，则四点不共面，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】围绕空间向量的共线、投影向量、基底、四点共面等核心知识展开.依据各知识点的定义与判定方法，分别对选项A、B、C、D进行分析，判断其正确性.
11．（2025高二上·天河月考）在正方体中，动点满足，则（ ）
A．是平面的法向量
B．不共面
C．三棱锥的体积是定值
D．与底面所成的角最小为
【答案】A,C,D
【知识点】共面向量定理；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设正方体的边长为1，则，.所以，.所以，.所以.
又平面，所以平面，
所以是平面的法向量，A正确.
因为，，所以又因为，，假设共面，则存在实数，使得，即.则有，
所以共面，故B错.
因为动点满足，所以点在上运动.三棱锥的体积满足：.，
到平面的距离为.
根据三棱锥体积公式：.
所以三棱锥的体积是定值，C正确.
因为，底面法向量为.设与底面所成的角为，
则，
因为，当或时，为最大值，对应，
此时为最小值，故D对.
故答案为：ACD.
【分析】通过建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算、线面垂直判定、共面向量定理、三棱锥体积公式及线面角的定义，对每个选项逐一分析.
12．（2025高二上·天河月考）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为
【答案】2
【知识点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线平行，∴设直线的方程为，且，
又直线过点，∴，得，故直线的方程为.
故答案为：.
【分析】用两直线平行的性质，先设出与已知直线平行的直线方程的一般形式，再将已知点代入方程求出未知参数，从而得到直线方程.
13．（2025高二上·天河月考）已知//面，平面的一个法向量，平面内一点的坐标为，点的坐标为，则直线到平面的距离为 ．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为//面，所以直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，
又，则点到平面的距离.
故答案为：
【分析】用线面平行的性质，将直线到平面的距离转化为直线上某点到平面的距离，再结合空间中点到平面的距离公式（利用平面法向量）进行计算.
14．（2025高二上·天河月考）如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为 .
【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
可得，
因为，即，可得，
则，则，整理可得，
可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，
所以端点的轨迹长度为.
故答案为：.
【分析】建立空间直角坐标系，利用垂直条件确定动点M的轨迹，再计算轨迹长度。
15．（2025高二上·天河月考）已知平行六面体的底面是边长为的正方形，且，．
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：设，，
由题可知：的夹角为，夹角为
且，，于是
由
所以即证.
（2）解：由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）要证明，利用空间向量垂直的判定，即若两向量数量积为，则两向量垂直.通过选定合适的基向量，将和用基向量表示，计算它们的数量积来证明.
（2）求异面直线与夹角的余弦值，依据异面直线所成角的向量求法，先求出分别与两条异面直线平行的向量和，再计算这两个向量夹角的余弦值，最后结合异面直线夹角的范围确定最终结果.
（1）设，，
由题可知：的夹角为，夹角为
且，，于是
由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
16．（2025高二上·天河月考）已知直线．
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【答案】（1）证明：因为直线，即，所以直线恒过定点．
（2）解：由题知，，则，由，解得，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
此时直线的方程为，即，
综上，的最小值为4．且此时直线的方程为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程；恒过定点的直线
【解析】【分析】（1）将直线方程整理为关于的线性式，通过令的系数和常数项分别为，求解定点坐标；
（2）先求出直线与坐标轴的交点坐标，根据交点的正负性确定的范围，再将三角形面积表示为关于的函数，利用基本不等式求最小值及对应的直线方程.
（1）因为直线，
即，所以直线恒过定点．
（2）由题知，，则，
由，解得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时直线的方程为，即，
综上，的最小值为4．
且此时直线的方程为．
17．（2025高二上·天河月考）已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的一般式方程．
【答案】（1）解：设，AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为，
∴，解得，
∴．
（2）解：设，则，解得，
∴，则．
∴直线BC的方程为，即为.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）通过设点的坐标，结合中线所在直线方程和高线的垂直关系（斜率之积为）建立方程组，求解的坐标；
（2）设点的坐标，利用点在高线上和中点在中线上的条件建立方程组，求出的坐标后，再用两点式求直线的方程并整理为一般式.
（1）设，AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为，
∴，解得，
∴．
（2）设，则，解得，
∴，则．
∴直线BC的方程为，即为.
18．（2025高二上·天河月考）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥(如图2)，使得平面平面ABCM.
（1）求证：；
（2）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为
【答案】（1）解：因为平面平面ABCM，且平面平面，
又因为，且，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）解：过点M作平面ABCM的垂线，并以此线为z轴，以MA为x轴，MB为y轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，，
因为点E是线段上的一动点，设，
所以，
所以，
易得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
因为即，
不妨取，则，
则，
因为二面角的余弦值为，
所以，
解得或（舍去），
故点E在线段三等分点且靠近B点时，
二面角的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）线线垂直证明：利用面面垂直的性质，先证线面垂直，再得线线垂直。
（2）二面角与点的位置：建立空间直角坐标系，设出点的参数坐标，求两个平面的法向量，利用二面角的余弦值公式列方程，求解参数确定点的位置。
19．（2025高二上·天河月考）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面上的投影为的中点D，且.
（1）求点到直线的距离；
（2）求点C到侧面的距离；
（3）在线段上是否存在点E，使得直线与侧面所成角的正弦值为 若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为点在底面上的投影为的中点，所以平面，
又平面，故，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，点为的中点，故，
所以两两垂直，故以点为坐标原点，直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，则，，
因为侧面为菱形，所以，又，所以，
则，，，，，，
，，
所以点到直线的距离为.
（2）解：，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
故，
所以点到平面的距离为.
（3）解：假设存在满足条件的点，
则存在，使得，
则，
因为直线与侧面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，
又，故，
因此存在满足条件的点，且，即．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）点到直线的距离：利用向量投影，结合 距离公式 计算。
（2）点到平面的距离：先求平面法向量，再用点面距离公式（向量点积除以法向量模长）。
（3）线面角问题：设出点的坐标，利用线面角的向量公式列方程，求解参数判断存在性。
（1）因为点在底面上的投影为的中点，所以平面，
又平面，故，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，点为的中点，故，
所以两两垂直，故以点为坐标原点，直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，则，，
因为侧面为菱形，所以，又，所以，
则，，，，，，
，，
所以点到直线的距离为.
（2），，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
故，
所以点到平面的距离为.
（3）假设存在满足条件的点，
则存在，使得，
则，
因为直线与侧面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，
又，故，
因此存在满足条件的点，且，即．
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