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浙教版2025-2026学年九年级上数学期末试题模拟卷（一）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．抛物线与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．从一个装有 6 个红球， 4 个蓝球， 2 个白球和 1 个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
3．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m．
A． B． C． D．
（第3题） （第5题） （第6题） （第7题）
4．将二次函数图象向右平移1个单位长度，平移后得到的新函数图象的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了( )
A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
10．如图，在中，，，，点D为上一动点，以为边，作正方形，延长至G，以为边作正方形，使点H恰好落在上，所作两正方形把分成如图所示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，则以下选项错误的是（ ）
A．Ⅰ与Ⅱ的周长和为定值 B．Ⅰ与Ⅱ的面积和为定值
C．Ⅲ与Ⅳ的周长差为定值 D．Ⅲ与Ⅳ的面积差为定值
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知实数 满足 ，则 的值为 ．
12．在 20件样品中，有一等品 10件，二等品7件，三等品3件，从中任取1件，结果为三等品的概率为 .
13．已知正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的边数是 ．
14．已知扇形的半径为6，弧长为3π，则扇形的面积为 .
15．如图，点 分别在 的边 上， ．若 ， ，则 的长为 。
（第15题） （第16题）
16．如图， 是 的一条弦，过 作半径 的平行线交 于点 ，过 作弦 ，垂足为 ，连结 。若 ，则 ， 的半径长为 。
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（1）计算：
（2）已知线段 是线段 的比例中项线段，若 ，求线段 的长．
18．一个不透明口袋里装有 4 个大小完全相同的球，其中红球 2 个，白球 2 个。
（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率。
（2）若第一次从口袋中任意摸出 1 个球，不放回搅匀，第二次再摸出 1 个球。用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率。
19．如图是由边长为 1 的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务。
（1）在图 1 中，画 ，使点 在格点上，且 与 相似；（只需画出一个即可）
（2）在图 2 中，线段 上找一点 ，使 ．
20．已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值和二次函数的对称轴．
（2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值．
21．如图，△ABC为等边三角形，E，F分别在边AB、AC上，沿EF折叠，点A落在BC边上的点D处，连结AD，已知 BD：CD=2：3，
（1）求tan∠BAD的值；
（2）求DE：DF的值.
22．如图，为的边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长；
（3）若，求的值．
23．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）求二次函数 的最大值。
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。
24．如图 1，四边形 为圆内接四边形，对角线 与 交于点 ，点 在 上， ．
（1）求证： ．
（2）如图 2，若点 为 的中点，求证： ．
（3）在（2）的条件下， 的面积为 2 ，求 的长．
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浙教版2025-2026学年九年级上数学期末试题模拟卷（一）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．抛物线与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】由题意得，，
∴抛物线与x轴的交点个数为0个，
故答案为：A．
2．从一个装有 6 个红球， 4 个蓝球， 2 个白球和 1 个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
【答案】D
【解析】∵所有的球中黑球最少，
∴摸出黑球的可能性最小，
故答案为： D.
3．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意得：这名滑雪运动员的高度下降了米；
故答案为：A．
4．将二次函数图象向右平移1个单位长度，平移后得到的新函数图象的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】二次函数的图象向右平移1个单位，得到的函数图象的表达式是.
故答案为：D．
5．如图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连接，如图：
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
6．如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设BC与ED交点为H，
，
，
是直角三角形，即，
，
沿着点A到点C的方向平移到的，
∴AB∥DE，AD为△ABC平移的距离，
，
，解得，
，
平移的距离为．
故答案为：D．
7．如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作直径，连接，如图：
为直径，
，
，
，
的半径为，
故选：C．
8．如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了( )
A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m
【答案】B
【解析】如图：
∵由题意可得AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴
∴
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故答案为：B．
9．如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】连结，
是的半径，弦，，，
，，
，，，
，，，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B．
10．如图，在中，，，，点D为上一动点，以为边，作正方形，延长至G，以为边作正方形，使点H恰好落在上，所作两正方形把分成如图所示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，则以下选项错误的是（ ）
A．Ⅰ与Ⅱ的周长和为定值 B．Ⅰ与Ⅱ的面积和为定值
C．Ⅲ与Ⅳ的周长差为定值 D．Ⅲ与Ⅳ的面积差为定值
【答案】B
【解析】A、如图，连接，
∵正方形与正方形中，，，
∴，
∴三点共线，
∴为定值，
∴为定值，
∵，
∴为定值，
∴Ⅰ与Ⅱ的周长和为定值，故A选项正确，不符合题意；
B、Ⅰ与Ⅱ的面积和为，
∵的值不固定，
∴Ⅰ与Ⅱ的面积和不为定值，故B选项错误，符合题意；
C、Ⅲ与Ⅳ的周长差为，
∵为定值，
∴Ⅲ与Ⅳ的周长差为定值，故C选项正确，不符合题意；
D、如图，延长交于点M，延长交于点N，
则Ⅲ的面积为：，Ⅳ的面积为：，
∵，，
∴，
∵，，
∴Ⅲ与Ⅳ的面积差为：，
=
=
由上知为定值，为定值，
∴Ⅲ与Ⅳ的面积差为定值，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知实数 满足 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】
设
故答案为：
12．在 20件样品中，有一等品 10件，二等品7件，三等品3件，从中任取1件，结果为三等品的概率为 .
【答案】
【解析】∵共20件样品，三等品有3件，
∴从中任取1件，结果为三等品的概率为
故答案为： .
13．已知正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的边数是 ．
【答案】10
【解析】
所以这个正多边形是正十边形.
故答案为：10.
14．已知扇形的半径为6，弧长为3π，则扇形的面积为 .
【答案】9π
【解析】
故答案为：9π.
15．如图，点 分别在 的边 上， ．若 ， ，则 的长为 。
【答案】6
【解析】∵BD=2AD，EC=2AE，
∴，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠AED=∠C，
∴，
∵DE =2，
∴BC =6，
∵∠AED=∠BEC，∠AED=∠C，
∴∠BEC =∠C，
∴BE=BC=6，
故答案为：6.
16．如图， 是 的一条弦，过 作半径 的平行线交 于点 ，过 作弦 ，垂足为 ，连结 。若 ，则 ， 的半径长为 。
【答案】2：1；3
【解析】过点O作OM⊥CD于点M，ON⊥AB于点N，如图所示：
∴CM=DN，AN=BN，∠OME=∠ONE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠OME=∠ONE=∠MEN = 90°，∠ONA=∠CEB=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴ON=ME，
∵DE=8，CE=2，
∴CD=DE+CE=10，
∴，
∴ME=CM-CE=3，
∴ON =3，
设AN=BN=x，EN=a，
∴AE=AN+EN=x+a，BE=BN-EN=x-a，
∵OA∥BC，
∴∠OAN=∠CBE，
又∵∠ONA=∠CEB=90°，
∴△ONA∽△CEB，
∴，
∴，
∴x=3a，
∴AE=x+a=4a，BE=x-a=2a，
∴AE：BE=4a：2a=2：1，
根据相交弦定理得：AE·BE=DE·CE，
∴4a×2a=8×2，
解得：，(不合题意，舍去)，
∴，
在Rt△OAN中，由勾股定理得：
，
∴⊙O的半径长为.
故答案为：2：1，.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（1）计算：
（2）已知线段 是线段 的比例中项线段，若 ，求线段 的长．
【答案】（1）解：==2
（2）解：∵ 线段 是线段 的比例中项线段 ，∴，即c=4或-4，
∵ ，∴线段c的长是4.
18．一个不透明口袋里装有 4 个大小完全相同的球，其中红球 2 个，白球 2 个。
（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率。
（2）若第一次从口袋中任意摸出 1 个球，不放回搅匀，第二次再摸出 1 个球。用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率。
【答案】（1）解：∵一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个，
∴从中任取一个球，求摸到红球的概率是
（2）解：
（列表亦可）
共有 12 种等可能的结果，同时摸两个球恰好是两个红球的有 2 种情况，
两次摸到的球都是红球的概率为
19．如图是由边长为 1 的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务。
（1）在图 1 中，画 ，使点 在格点上，且 与 相似；（只需画出一个即可）
（2）在图 2 中，线段 上找一点 ，使 ．
【答案】
（1）解：如图所示， 与 相似， （2）连接CF交AB于D点， ，
20．已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值和二次函数的对称轴．
（2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值．
【答案】（1）解：把代入得，
解得，
二次函数解析式为，
，
二次函数图象的对称轴为直线
（2）该函数图象向上平移个单位长度后所得函数图象的解析式为，
平移后的二次函数图象与轴只有一个交点，
关于的一元二次方程有个相等的实数解，
，
解得，
即的值为
21．如图，△ABC为等边三角形，E，F分别在边AB、AC上，沿EF折叠，点A落在BC边上的点D处，连结AD，已知 BD：CD=2：3，
（1）求tan∠BAD的值；
（2）求DE：DF的值.
【答案】（1）解：设AB=BC=AC=a，则，，
如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥AB于点N，
则，
∴，，
∴，
又∵，
解得：，
∴，
∴ tan∠BAD；
（2）设AB=BC=AC=a，BE=x，CF=y则AE=DE=a-x，AF=FD=a-y，，，
∵ △ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=∠EDF=60°，
∴∠B+∠DEB=∠EDC=∠EDF+∠FDC，
∴∠DEB=∠FDC，
∴△EBD∽△DCF，
∴，即，
解得：x=y=，
∴DE=a-x=，FD=a-y=，
∴ DE：DF =：=7：8.
22．如图，为的边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长；
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：设，，
则，
整理得
解得或（不合题意，舍去），
即，
，
．
23．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）求二次函数 的最大值。
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。
【答案】（1）解： 对称轴是直线 ．
的图象经过点 ．
（2）解： ，
其最大值为
（3）解： 的对称轴是直线 ．
当 时，二次函数取得最大值 ．
当 时，二次函数值为 2 ．
而 当 时，恰好符合．
根据二次函数的对称性可得，
当 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的函数值，亦符合．
故
24．如图 1，四边形 为圆内接四边形，对角线 与 交于点 ，点 在 上， ．
（1）求证： ．
（2）如图 2，若点 为 的中点，求证： ．
（3）在（2）的条件下， 的面积为 2 ，求 的长．
【答案】（1）证明： 四边形 为圆内接四边形，
，
，
，
，
．
（2）证明：解法一：
，
， ，
．
， ，
点 为 的中点， ，
， ．
解法二：
点 为 的中点， ， ．
，
，
， ，
.
（3）解：如图，连结 ，作 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
设 ，
在 Rt 中，
解得 舍去 ，
在 Rt 中，
解得 （舍去），
设 ，
在 Rt 中，
，
，
解得 （舍去），
的长为 ．
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